Bài 3. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số…

Yêu cầu cần đạt

Mô tả phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ.
Thực hiện tính tích, thương hai luỹ thừa cùng cơ số, luỹ thừa của luỹ thừa.

Thuật ngữ: Luỹ thừa · Cơ số · Số mũ

Trái Đất, ngôi nhà chung của tất cả chúng ta có khoảng 71% diện tích bề mặt được bao phủ bởi nước. Nếu gom hết toàn bộ lượng nước trên Trái Đất để đổ đầy vào một bể chứa hình lập phương thì kích thước cạnh của bể phải lên tới 1 111,34 km. (Theo usgs.gov)

Muốn biết lượng nước trên Trái Đất là khoảng bao nhiêu kilômét khối, ta cần tính $1111, 34 \times 1111, 34 \times 1111, 34$ . Biểu thức này có thể viết gọn hơn dưới dạng luỹ thừa giống như luỹ thừa của một số tự nhiên mà em đã học ở lớp 6.

1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

HĐ1

Viết các tích sau dưới dạng luỹ thừa rồi chỉ ra cơ số và số mũ của luỹ thừa đó. a) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ ; b) $5 \cdot 5 \cdot 5$ .

$a^{n} = a \cdot a \cdot a \cdot . . . \cdot a$ ( $n$ thừa số) ( $a, n \in N, n > 1$ ).

HĐ2

Thực hiện phép tính: a) $(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$ ; b) $(- 0, 5) \cdot (- 0, 5)$ ; c) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

HĐ3

Hãy viết các biểu thức trong HĐ2 dưới dạng luỹ thừa tương tự như luỹ thừa của số tự nhiên.

Với số hữu tỉ $x$ , ta cũng có định nghĩa sau:

Luỹ thừa bậc $n$ của một số hữu tỉ $x$ , kí hiệu $x^{n}$ , là tích của $n$ thừa số $x$ ( $n$ là số tự nhiên lớn hơn 1): $x^{n} = x \cdot x \cdot x \cdot . . . \cdot x$ ( $x \in Q, n \in N, n > 1$ ). $n$ thừa số $x^{n}$ đọc là $x$ mũ $n$ hoặc $x$ luỹ thừa $n$ hoặc luỹ thừa bậc $n$ của $x$ . $x$ gọi là cơ số, $n$ gọi là số mũ. Quy ước: $x^{0} = 1$ ( $x \neq 0$ ); $x^{1} = x$ .

Ví dụ 1

Tính: a) $(- 3)^{3}$ ; b) $(\frac{1}{3})^{4}$ .

Lời giải

Giải. a) $(- 3)^{3} = (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) = - 27$ ; b) $(\frac{1}{3})^{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{81}$ .

Luyện tập 1

Tính: a) $(- \frac{4}{5})^{4}$ ; b) $(0, 7)^{3}$ .

Ví dụ 2

Tính và so sánh: a) $2^{2} \cdot 3^{2}$ và $(2 \cdot 3)^{2}$ ; b) $(\frac{- 14}{7})^{2}$ và $(\frac{14}{7})^{2}$ .

Lời giải

Giải. a) $2^{2} \cdot 3^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ và $(2 \cdot 3)^{2} = 6^{2} = 36$ nên $2^{2} \cdot 3^{2} = (2 \cdot 3)^{2}$ . b) $(\frac{- 14}{7})^{2} = (- 2)^{2} = 4$ và $(\frac{14}{7})^{2} = 2^{2} = 4$ nên $(\frac{- 14}{7})^{2} = (\frac{14}{7})^{2}$ .

Chú ý.

Luỹ thừa của một tích bằng tích các luỹ thừa; Luỹ thừa của một thương bằng thương các luỹ thừa. • $(x \cdot y)^{n} = x^{n} \cdot y^{n}$ . • $(\frac{x}{y})^{n} = \frac{x^{n}}{y^{n}}$ ( $y \neq 0$ ).

Luyện tập 2

Tính: a) $(\frac{- 2}{3})^{10} : (\frac{2}{3})^{10}$ ; b) $(- 125)^{3} : 25^{3}$ ; c) $(0, 08)^{3} \cdot 10^{3}$ .

Vận dụng

Viết công thức tính thể tích của hình lập phương cạnh $a$ dưới dạng luỹ thừa. Từ đó viết biểu thức luỹ thừa để tính toàn bộ lượng nước trên Trái Đất trong bài toán mở đầu (đơn vị kilômét khối).

Hình/bảng: Image of a cube with side length 'a'.

2. Nhân và chia hai luỹ thừa cùng cơ số

Cách tính nhân và chia hai luỹ thừa cùng cơ số

HĐ4

Tính và so sánh: a) $(- 3)^{2} \cdot (- 3)^{4}$ và $(- 3)^{6}$ ; b) $0, 6^{3} : 0, 6^{2}$ và $0, 6$ .

Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ. $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ . • Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của luỹ thừa bị chia trừ số mũ của luỹ thừa chia. $x^{m} : x^{n} = x^{m - n}$ ( $x \neq 0, m \geq n$ ).

Ví dụ 1

Tính: a) $(- 3)^{3}$ ; b) ${(\frac{1}{3})}^{4}$ .

Lời giải

Giải. a) $(- 3)^{3} = (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) = - 27$ ; b) ${(\frac{1}{3})}^{4} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{81}$ .

Luyện tập 1

Tính: a) ${(- \frac{4}{5})}^{2}$ ; b) $(0, 7)^{2}$ .

Ví dụ 2

Tính và so sánh: a) $2^{2} \cdot 3^{2}$ và $(2 \cdot 3)^{2}$ ; b) $\frac{(- 14)^{2}}{7^{2}}$ và ${(\frac{- 14}{7})}^{2}$ .

Lời giải

Giải. a) $2^{2} \cdot 3^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ và $(2 \cdot 3)^{2} = 6^{2} = 36$ nên $2^{2} \cdot 3^{2} = (2 \cdot 3)^{2}$ . b) $\frac{(- 14)^{2}}{7^{2}} = \frac{196}{49} = 4$ và ${(\frac{- 14}{7})}^{2} = (- 2)^{2} = 4$ nên $\frac{(- 14)^{2}}{7^{2}} = {(\frac{- 14}{7})}^{2}$ .

Chú ý

Luỹ thừa của một tích bằng tích các luỹ thừa; Luỹ thừa của một thương bằng thương các luỹ thừa.

Formulas:

(x \cdot y)^{n} = x^{n} \cdot y^{n}

{(\frac{x}{y})}^{n} = \frac{x^{n}}{y^{n}}

(y \neq 0)

Luyện tập 2

Tính: a) ${(\frac{2}{3})}^{10} \cdot 3^{10}$ ; b) $(- 125)^{3} : 25^{3}$ ; c) $(0, 08)^{3} \cdot 10^{3}$ .

Vận dụng

Viết công thức tính thể tích của hình lập phương cạnh a dưới dạng luỹ thừa. Từ đó viết biểu thức luỹ thừa để tính toán bộ lượng nước trên Trái Đất trong bài toán mở đầu (đơn vị kilômét khối).

2 nhân và chia hai luỹ thừa cùng cơ số

Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ. $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ .

Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của luỹ thừa bị chia trừ số mũ của luỹ thừa chia. $x^{m} : x^{n} = x^{m - n}$ ( $x \neq 0, m \geq n$ ).

Ví dụ 3

Tính: a) ${(\frac{2}{3})}^{5} : {(\frac{2}{3})}^{2}$ ; b) $(- 5)^{5} : (- 5)^{5}$ .

Lời giải

Giải. a) ${(\frac{2}{3})}^{5} : {(\frac{2}{3})}^{2} = {(\frac{2}{3})}^{5 - 2} = {(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{8}{27}$ ; b) $(- 5)^{5} : (- 5)^{5} = (- 5)^{5 - 5} = (- 5)^{0} = 1$ .

Luyện tập 3

Viết kết quả của các phép tính sau dưới dạng luỹ thừa. a) $(- 2)^{7} \cdot (- 2)^{4}$ ; b) $(0, 25)^{8} : (0, 25)^{2}$ .

3 luỹ thừa của luỹ thừa

Tính luỹ thừa của luỹ thừa

HĐ5

Viết số $(2^{2})^{3}$ dưới dạng luỹ thừa cơ số 2 và số $[(- 3)^{2}]^{3}$ dưới dạng luỹ thừa cơ số -3.

Example calculation showing

(2^{2})^{3} = 2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2} = \dots

Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ. $(x^{m})^{n} = x^{m \cdot n}$ .

Ví dụ 4

Tính: $[(- 5)^{2}]^{7}$ .

Lời giải

Giải. $[(- 5)^{2}]^{7} = (- 5)^{2 \cdot 7} = (- 5)^{14}$ .

Luyện tập 4

Viết các số ${(\frac{1}{4})}^{3} : {(\frac{1}{8})}^{3}$ dưới dạng luỹ thừa cơ số $\frac{1}{2}$ .

Thử thách nhỏ

Cho hình vuông như Hình 1.12. Em hãy thay mỗi dấu “?” bằng một luỹ thừa của 2, biết tích các luỹ thừa trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau.

Bài tập

1.18

Viết các số 125; 3 125 dưới dạng luỹ thừa của 5.

1.19

Viết các số ${(\frac{1}{9})}^{7}$ ; ${(\frac{1}{27})}^{5}$ dưới dạng luỹ thừa cơ số $\frac{1}{3}$ .

1.20

Thay mỗi dấu “?” bởi một luỹ thừa của 3, biết rằng từ ô thứ ba, luỹ thừa cần tìm là tích của hai luỹ thừa ở hai ô liền trước.

1.21

Không sử dụng máy tính, hãy tính: a) $(- 3)^{5}$ , biết $(- 3)^{7} = - 2187$ ; b) ${(\frac{2}{3})}^{12}$ , biết ${(\frac{2}{3})}^{11} = - \frac{2048}{177147}$ .

1.22

Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ. a) $15^{8} : 2^{4}$ ; b) $27^{5} : 32^{3}$ .

1.23

Tính: a) ${(1 - \frac{1}{2})}^{2} \cdot (\frac{2}{3} + \frac{3}{7})$ ; b) $4 : {(\frac{2}{3})}^{3}$ .

1.24

Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời bằng khoảng $1, 5 \cdot 10^{8}$ km. Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời khoảng $7, 78 \cdot 10^{8}$ km. Hỏi khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng bao nhiêu lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời?

(Theo solarsystem.nasa.gov)

1.25

Bảng thống kê dưới đây cho biết số lượt khách quốc tế đến thăm Việt Nam trong năm 2019.

Quốc gia | Số lượt khách đến thăm Hàn Quốc | $4, 3 \cdot 10^{6}$ Hoa Kỳ | $7, 4 \cdot 10^{5}$ Pháp | $2, 9 \cdot 10^{5}$ Ý | $7 \cdot 10^{4}$

(Theo Viện Nghiên cứu Phát triển Du lịch)

Em hãy sắp xếp tên các quốc gia theo thứ tự số lượng khách đến thăm Việt Nam từ nhỏ đến lớn.

Em có biết?

LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ ÂM Cùng với luỹ thừa với số mũ tự nhiên, người ta còn xét cả luỹ thừa với số mũ nguyên âm của một số khác 0. Ta định nghĩa $x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}$ với n là số nguyên dương, $x \neq 0$ . Ví dụ: $\frac{1}{100} = \frac{1}{10^{2}} = 10^{- 2}$ ; $\frac{1}{1000} = \frac{1}{10^{3}} = 10^{- 3}$ . Luỹ thừa với số mũ nguyên âm của 10 thường được dùng để viết những số rất nhỏ cho thuận tiện. Ví dụ, phần lớn vi khuẩn có kích thước là 1 micromét, tức $10^{- 6}$ m. Đơn vị đo thời gian nhỏ nhất là yocto giây, 1 yocto giây = $10^{- 24}$ giây.

(Theo chemistryviews.org)

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 17–19).