Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực,…

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết đường trung trực, đường cao của tam giác.
Nhận biết sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác.
Nhận biết sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác.

Thuật ngữ: Đường trung trực · Đường cao

Có thể coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu vườn là ba đỉnh của một tam giác (không tù). Họ muốn khoan một giếng chung trong vườn cách đều ba ngôi nhà (H.9.36). Em có thể giúp họ chọn địa điểm để khoan giếng không?

Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác

Đường trung trực của tam giác

Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác. Trên Hình 9.37, d là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC.

Mỗi tam giác có mấy đường trung trực?

Sự đồng quy của ba đường trung trực

HĐ1

Vẽ tam giác ABC (không tù) và ba đường trung trực của các đoạn thẳng BC, CA, AB. Quan sát hình và cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm không.

HĐ2

Dùng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để suy ra tính chất nói ở HĐ1 bằng cách trả lời các câu hỏi sau:Cho O là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh BC và CA (H.9.38).a) Tại sao $O B = O C$ , $O C = O A$ ?b) Điểm O có nằm trên đường trung trực của cạnh AB không?

Hình/bảng: Hình 9.38: Tam giác ABC với các đường trung trực của BC và CA cắt nhau tại O.

Từ HĐ2, ta có định lí sau:

Định lí 1

Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.

Chẳng hạn, trong tam giác ABC (H.9.39), các đường trung trực d, m, n đồng quy tại O và $O A = O B = O C$ .

Nhận xét

Vì giao điểm O của ba đường trung trực trong tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó ( $O A = O B = O C$ ) nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C (H.9.40).

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường trung tuyến AI của tam giác ABC.a) Chứng minh AI là đường trung trực của cạnh BC.b) Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC có nằm trên AI không?

Hình/bảng: Hình 9.41: Tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AI. Trong tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AI cũng là đường trung trực của BC.

Lời giải

a) GT $△ A B C$ có $A B = A C$ , AI là đường trung tuyến.KL AI là đường trung trực của cạnh BC.Chứng minhHai tam giác AIB và AIC có: $A B = A C$ (GT), $I B = I C$ (do AI là trung tuyến);cạnh AI chung.Do đó $△ A I B = △ A I C$ (c.c.c).Suy ra $\hat{A I B} = \hat{A I C}$ , mà $\hat{A I B}$ và $\hat{A I C}$ là hai góc kề bù nên $\hat{A I B} = \hat{A I C} = 90^{\circ}$ . Do đó AI là đường trung trực của cạnh BC.b) Do điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường trung trực của BC nên theo câu a, ta có điểm đó nằm trên trung tuyến AI.

Luyện tập 1

Chứng minh rằng trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Vận dụng 1

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Thử thách nhỏ

Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy giải thích nếu điểm Q cách đều ba đỉnh của tam giác ABC thì Q phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác

Đường cao của tam giác

Trong Hình 9.42, đoạn thẳng AI kẻ từ đỉnh A, vuông góc với cạnh đối diện BC là một đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói AI là đường cao xuất phát từ đỉnh A (hay đường cao ứng với cạnh BC).

Mỗi tam giác có mấy đường cao?

Sự đồng quy của ba đường cao

HĐ3

Vẽ tam giác ABC và ba đường cao của nó. Quan sát hình và cho biết, ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm không.

Ta có thể chứng minh được định lí sau:

Định lí 2

Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm.

Chẳng hạn, trong tam giác ABC (H.9.43), các đường cao AI, BJ, CK đồng quy tại H.

Chú ý

a) Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.b) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC (H.9.44), ta có:• Khi ABC là tam giác nhọn thì H nằm bên trong tam giác.• Khi ABC là tam giác vuông tại A thì H trùng với A (kí hiệu là $H = A$ ).• Khi ABC là tam giác tù thì H nằm bên ngoài tam giác.

Ví dụ 2

Chứng minh trong tam giác đều, trực tâm của nó cách đều ba đỉnh của tam giác.

Hình/bảng: Hình 9.45: Tam giác đều ABC với trực tâm H và đường cao AI.

Lời giải

GT Tam giác đều ABC có H là trực tâm.KL H cách đều ba đỉnh tam giác ABC.Chứng minh (H.9.45)Trong tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AI.Hai tam giác vuông ABI và ACI có: AI chung, $A B = A C$ (gt).Do đó $△ A B I = △ A C I$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra $B I = C I$ .Vậy đường cao AI là đường trung trực của cạnh BC.Vì tam giác đều cũng là tam giác cân tại mỗi đỉnh nên ba đường cao cũng là ba đường trung trực của nó. Vậy trực tâm H của tam giác đều cũng là giao điểm của ba đường trung trực nên nó cách đều ba đỉnh của tam giác.

Luyện tập 2

a) Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

Hình/bảng: Trong tam giác cân tại A, đường cao xuất phát từ đỉnh A đồng thời là đường trung trực, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác đó.

Bài tập

9.26

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB.

9.27

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 100^{\circ}$ và trực tâm H. Tính góc $\hat{B H C}$ .

9.28

Xét điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.

9.29

a) Có một chi tiết máy (đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này?b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ đó một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học.

Hình/bảng: Hình 9.46: Một phần đường tròn bị gãy.

9.30

Cho hai đường thẳng không vuông góc b, c cắt nhau tại điểm A và cho điểm H không thuộc b và c (H.9.47). Hãy tìm điểm B thuộc b, điểm C thuộc c sao cho tam giác ABC nhận H làm trực tâm.

Hình/bảng: Hình 9.47: Hai đường thẳng b, c cắt nhau tại A và điểm H.

EM CÓ BIẾT ?

Ta có thể chứng minh trong tam giác ABC, ba đường cao AI, BJ, CK đồng quy như sau:Ở bên ngoài tam giác ABC, ghép thêm ba tam giác CB'A, BAC' và A'CB cùng bằng tam giác ABC (H.9.48).– Khi đó ba góc tại đỉnh A bằng ba góc của tam giác ABC nên có tổng số đo bằng $180^{\circ}$ , suy ra ba điểm B', C' và A thẳng hàng. Do $A B^{'} = A C^{'} = B C$ nên A là trung điểm của B'C'.- Đường thẳng AB cắt hai đường thẳng B'C' và BC tạo thành hai góc so le trong bằng nhau nên B'C' // BC. Vì đường cao AI vuông góc với BC nên nó vuông góc với B'C', từ đó AI là đường trung trực của cạnh B'C'.– Tương tự, BJ, CK lần lượt là trung trực của A'C', A'B'. Suy ra A'B'C' là tam giác nhận AI, BJ, CK là ba đường trung trực. Ta đã biết ba đường trung trực của tam giác A'B'C' đồng quy nên AI, BJ, CK đồng quy.

Hình 9.43. Hình vẽ tam giác ABC với ba đường cao AI, BJ, CK đồng quy tại H.

Hình 9.44. Ba hình vẽ minh họa vị trí trực tâm H trong tam giác nhọn, tam giác vuông (H trùng A), và tam giác tù.

Hình 9.45. Hình vẽ tam giác đều ABC với trực tâm H.

Trong tam giác cân tại A, đường cao xuất phát từ đỉnh A đồng thời là đường trung trực, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác đó.

9.26

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, НСА, НАВ.

9.27

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 100^{\circ}$ và trực tâm H. Tính góc BHC.

Hình 9.46. Hình vẽ một chi tiết máy bị gãy, có đường viền ngoài là đường tròn.

b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ đó một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học.

9.30

Cho hai đường thẳng không vuông góc b, c cắt nhau tại điểm A và cho điểm H không thuộc b và c (Н.9.47). Hãy tìm điểm B thuộc b, điểm C thuộc c sao cho tam giác ABC nhận H làm trực tâm.

Hình 9.47. Hình vẽ hai đường thẳng b, c cắt nhau tại A và điểm H không thuộc b, c.

EM CÓ BIẾT?

Ta có thể chứng minh trong tam giác ABC, ba đường cao Al, BJ, CK đồng quy như sau:
Ở bên ngoài tam giác ABC, ghép thêm ba tam giác CB'A, BAC' và A'CB cùng bằng tam giác ABC (H.9.48).
Khi đó ba góc tại đỉnh A bằng ba góc của tam giác ABC nên có tổng số đo bằng $180^{\circ}$ , suy ra ba điểm $B^{'}$ , C' và A thẳng hàng. Do $A B^{'} = A C^{'} = B C$ nên A là trung điểm của $B^{'} C^{'}$ .
Đường thẳng AB cắt hai đường thẳng $B^{'} C^{'}$ và BC tạo thành hai góc so le trong bằng nhau nên B'C' // BC. Vì đường cao Al vuông góc với BC nên nó vuông góc với B'C , từ đó Al là đường trung trực của cạnh B'C'.
Tương tự, BJ, CK lần lượt là trung trực của A'C', A'B'. Suy ra $A^{'} B^{'} C^{'}$ là tam giác nhận Al, BJ, CK là ba đường trung trực.
Ta đã biết ba đường trung trực của tam giác A'B'C' đồng quy nên AI, BJ, CK đồng quy.

Hình 9.48. Hình vẽ tam giác ABC và các tam giác ghép thêm CB'A, BAC', A'CB.

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Chứng minh rằng tam giác ABC có đường trung tuyến AM cũng là đường phân giác thì ABC là tam giác cân tại A.

Lời giải

Giải (H.9.49)
GT $△ A B C .$ $B M = C M$ $B A M = C A M .$
KL $A B = A C$ .
Chứng minh
Trên đường thẳng AM, lấy điểm E sao cho M nằm giữa A, E và $A M = E M$ .
Ta có $△ B A M = △ C E M$ (c.g.c), suy ra $A B = E C$ và $B A M = C E M$
Mặt khác $B A M = C A M$ (gt), suy ra $\overline{C E M} = C A M$ ; từ đó tam giác CAE cân tại C tức là $C E = C A$ Ta đã có $A B = E C,$ suy ra $A B = A C$

Hình 9.49. Hình vẽ tam giác ABC với đường trung tuyến AM và điểm E trên đường thẳng AM.

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC có $B A C = 135^{\circ}$ ba đường cao Al, BJ, CK và trực tâm H (H.9.50). Chứng minh rằng:
a) Tam giác AKC vuông cân, từ đó suy ra $A K = C K;$
b) Hai tam giác HAK và BCK bằng nhau, từ đó suy ra $A H = B C$

Lời giải

Giải
GT AI, BJ, CK là ba đường cao của $△ A B C$ $B A C = 135^{\circ}$ , H là trực tâm của $△ A B C .$
KL a) $△ A K C$ vuông cân, $A K = C K .$ b) $△ H A K = △ B C K,$ $A H = B C$
Chứng minh
a) Ta có $\overline{K A C}$ và CAB là hai góc kề bù, $\overline{B A C} = 135^{\circ}$ suy ra $\overline{K A C} = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$ .
Tam giác KAC vuông tại K có:
$\hat{K A C} + K C A + A K C = 180^{\circ}$ (tổng ba góc trong tam giác),
hay $45^{\circ} + K C A + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ , suy ra $K C A = 45^{\circ}$ .
Do đó, tam giác KAC vuông cân tại K, suy ra $A K = C K$

Hình 9.50. Hình vẽ tam giác ABC với ba đường cao AI, BJ, CK và trực tâm H.

b) Tam giác AHK vuông tại K nên $\hat{H A K} + \hat{H_{1}} = 90^{\circ}$
Tam giác HIC vuông tại nên $\hat{H C B} + \hat{H_{1}} = 90^{\circ} .$ Do đó $\overline{H A K} = \overline{H C B}$ .
Hai tam giác HAK và BCK có:
$A K = C K$ (chứng minh câu a);
$\overline{H A K} = \overline{H C B}$ ;
$A K H = B K C (= 90^{\circ})$ .
Do đó, $△ H A K = △ B C K$ (g.c.g), suy ra $A H = B C$ .

Bài tập

9.31

Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.

9.32

Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C. Gọi d là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A. Với điểm M thuộc d, M khác A, vẽ đường thẳng CM. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM, cắt d tại N. Chứng minh đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng CN.

9.33

Có một mảnh tôn hình tròn cần đục một lỗ ở tâm. Làm thế nào để xác định được tâm của mảnh tôn đó?

9.34

Cho tam giác ABC. Kẻ tia phân giác At của góc tạo bởi tia AB và tia đối của tia AC. Chứng minh rằng nếu đường thẳng chứa tia At song song với đường thẳng BC thì tam giác ABC cân tại A.

9.35

Kí hiệu $S_{A B C}$ là diện tích tích tam tam giác giác ABC. ABC. Gọi Gọi Gọi G G là là trọng trọng tâm tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh $S_{G B C} = \frac{1}{3} S_{A B C .}$
Gợi ý. Sử dụng $G M = \frac{1}{3} A M d \hat{e}$ chứng minh $S_{G B M} = \frac{1}{3} S_{A B M},$ $S_{G C M} = \frac{1}{3} S_{A C M} .$
b) Chứng minh $S_{G C A} = S_{G A B} = \frac{1}{3} S_{A B C} .$
Nhận xét. Từ bài tập trên ta có: $S_{G B C} = S_{G C A} = S_{G A B} = \frac{1}{3} S_{A B C},$ điều này giúp ta cảm nhận tại sao có thể đặt thăng bằng miếng bìa hình tam giác trên giá nhọn đặt tại trọng tâm của tam giác đó.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 77–83).