Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện…

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết hai định lí về cạnh và góc đối diện trong tam giác.
Vận dụng vào tam giác vuông để nhận biết được cạnh lớn nhất trong tam giác vuông.

Thuật ngữ: Góc đối diện cạnh, cạnh đối diện góc trong tam giác · Cạnh huyền

Quan hệ giữa các yêu tố trong một tam giác

Qua chương IV, các em đã biết được thế nào là hai tam giác bằng nhau, các trường hợp bằng nhau của tam giác và sự đặc biệt của chúng trong tam giác vuông. Trên cơ sở đó, trong chương IX các em sẽ tìm hiểu về quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác. Đó là quan hệ giữa góc, cạnh; quan hệ giữa các cạnh trong một tam giác. Ngoài các yếu tố về góc, cạnh, các em còn được tìm hiểu về sự đồng quy của các đường đặc biệt trong một tam giác.

Trong trận bóng đá, trái bóng đang ở vị trí D, ba cầu thủ đứng thẳng hàng tại vị trí A, B, C trên sân với số áo lần lượt là 4, 2, 3 như Hình 9.1. Theo em cầu thủ nào gần trái bóng nhất, cầu thủ nào xa trái bóng nhất? Tại sao? (Biết rằng góc ACD là góc tù)

1 góc đối diện với cạnh lớn hơn trong một tam giác

Ta đã biết trong tam giác cân ABC, $A B = A C,$ góc đối diện với cạnh AB (góc C), bằng góc đối diện với cạnh AC (góc B). Hỏi trong một tam giác, nếu biết hai cạnh không bằng nhau thì có thể so sánh được hai góc đối diện với hai cạnh đó không?

So sánh hai góc theo cạnh đối diện

HĐ1

Quan sát ê ke có góc $60^{\circ}$ (H.9.2a). Kí hiệu đỉnh góc vuông là A, đỉnh góc $60^{\circ}$ là B và đỉnh góc $30^{\circ}$ là C.
Sắp xếp độ dài các cạnh theo thứ tự từ bé đến lớn.
Sắp xếp độ lớn các góc theo thứ tự từ bé đến lớn.
Góc lớn nhất đối diện với cạnh nào? Góc bé nhất đối diện với cạnh nào?

Hình/bảng: Hình 9.2a: Một ê ke hình tam giác vuông với các góc $90^{\circ}$ (tại A), $60^{\circ}$ (tại B), $30^{\circ}$ (tại C).

HD2

Em hãy vẽ một tam giác ABC có $A B = 3$ cm, $A C = 5$ cm. Quan sát hình vừa vẽ và dự đoán xem trong hai góc B và C, góc nào lớn hơn.

Hình/bảng: Hình 9.2b: Tam giác ABC với cạnh AC dài hơn AB.

Ta có thể chứng minh được định lí sau:

Định lí 1

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
GT $△ A B C,$ $A C > A B .$
KL $\hat{B} > \hat{C} .$

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC có $A B = 2$ cm, $B C = 4$ cm, $A C = 5$ cm (H.9.3).
a) Hãy so sánh góc A và góc C của tam giác ABC.
b) Trong tam giác ABC, góc nào lớn nhất, góc nào nhỏ nhất?

Hình/bảng: Hình 9.3: Tam giác ABC với độ dài các cạnh AB=2, BC=4, AC=5.

Lời giải

Giải
a) Trong tam giác ABC, vì $A B = 2$ cm, $B C = 4$ cm nên $B C > A B .$ Do đó, theo định lí 1 ta có: $\hat{A} > \hat{C} .$
b) Sắp xếp các cạnh từ lớn đến bé ta có: $A C > B C > A B .$ Từ đó, theo định lí 1 ta được: $\hat{B} > \hat{A} > \hat{C} .$
Vậy trong tam giác ABC, góc B lớn nhất, góc C nhỏ nhất.

Góc A đối diện cạnh BC, góc B đối diện cạnh AC, góc C đối diện cạnh AB.

Luyện tập 1

Dạng bài: So sánh góc trong tam giác

Cho tam giác MNP có độ dài các cạnh: $M N = 3$ cm, $N P = 5$ cm, $M P = 7$ cm. Hãy xác định góc đối diện với từng cạnh rồi sắp xếp các góc của tam giác MNP theo thứ tự từ bé đến lớn.

2 cạnh đối diện với góc lớn hơn trong một tam giác

Cho tam giác ABC có $\hat{B} > \hat{C}$ Liệu có thể so sánh được các cạnh đối diện tương ứng là AC và AB mà không cần đo độ dài các cạnh đó không?

So sánh hai cạnh theo góc đối diện

HĐ3

Em hãy dự đoán xem giữa hai cạnh đối diện với hai góc B và C (tức là cạnh AC và AB) thì cạnh nào lớn hơn.

Hình/bảng: Hình 9.4a: Tam giác ABC với góc B = $80^{\circ}$ và góc C = $45^{\circ}$.

HĐ4

Em hãy đo độ dài hai cạnh AC và AB để kiểm tra lại dự đoán của mình trong HĐ3.

Người ta chứng minh được định lí sau:

Định lí 2

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
GT $△ A B C$ $\hat{B} > \hat{C}$
KL $A C > A B .$

Ví dụ 2

Trong tam giác ABC trên Hình 9.4a, em hãy sắp xếp ba cạnh AB, BC và CA theo thứ tự độ dài từ lớn đến bé.

Lời giải

Giải
Trong tam giác ABC (H.9.4a) có $\hat{B} = 80^{\circ}$ $\hat{C} = 45^{\circ}$ .
Vì tổng số đo các góc trong một tam giác bằng $180^{\circ}$ nên $\hat{A} = 180^{\circ} - (\hat{B} + \hat{C}) = 180^{\circ} - (80^{0} + 45^{\circ}) = 55^{\circ} .$
Từ đó trong tam giác ABC, ta có $\hat{B} > \hat{A} > \hat{C} .$ Theo định lí 2, ta được $A C > B C > A B$ .

Luyện tập 2

Dạng bài: So sánh cạnh trong tam giác

Cho tam giác MNP có $\hat{M} = 47^{\circ}$ , $\hat{N} = 53^{\circ}$ . Hãy viết các cạnh của tam giác đó theo thứ tự độ dài từ bé đến lớn.

Tranh luận

Cho tam giác ABC có góc A là góc tù.
Tam giác ABC có cạnh AB lớn nhất.
Không đúng, tam giác ABC có cạnh BC lớn nhất chứ!
Theo em, bạn nào nói đúng? Vì sao?

Nhận xét

Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc vuông (tức là cạnh huyền) là cạnh lớn nhất.
Tương tự trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

Vận dụng

Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Bài tập

9.1.

Dạng bài: Xác định loại tam giác, so sánh cạnh

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 105^{\circ}$ , $\hat{B} = 35^{\circ}$ .
a) Tam giác ABC là tam giác gì?
b) Tìm cạnh lớn nhất của tam giác ABC.

9.2.

Dạng bài: So sánh góc trong tam giác

Trong Hình 9.6 có hai đoạn thẳng BC và DC bằng nhau, D nằm giữa A và C. Hỏi kết luận nào trong các kết luận sau là đúng? Tại sao?
a) $\hat{A} = \hat{B}$
b) $\hat{A} > \hat{B} .$
c) $\hat{A} < \hat{B}$

Hình/bảng: Hình 9.6: Tam giác ABC với điểm D nằm trên AC. Đoạn BC = DC.

9.3.

Dạng bài: So sánh cạnh trong tam giác

Trong tam giác cân có một góc bằng $96^{\circ}$ hỏi cạnh lớn nhất của tam giác cân đó là cạnh bên hay cạnh đáy? Vì sao?

9.4.

Dạng bài: So sánh độ dài đoạn thẳng

Ba bạn Mai, Việt và Hà đi đến trường tại địa điểm D lần lượt theo ba con đường AD, BD và CD (H.9.7). Biết rằng ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng, B nằm giữa A và C, ACD là góc tù. Hỏi bạn nào đi xa nhất, bạn nào đi gần nhất? Vì sao?

Hình/bảng: Hình 9.7: Ba điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Điểm D nằm ngoài đường thẳng. Các đoạn AD, BD, CD được vẽ.

9.5.

Dạng bài: Vận dụng so sánh cạnh trong tam giác

Ba địa điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác ABC với $\hat{A}$ tù, $A C = 500$ m. Đặt một loa truyền thanh tại một điểm nằm giữa A và B thì tại C có thể nghe tiếng loa không nếu bán kính để nghe rõ tiếng của loa là 500 m?

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 59–62).