Bài 28. Phép chia đa thức một biến

Yêu cầu cần đạt

Thực hiện các phép tính chia hai đa thức một biến.
Nhận biết và vận dụng các tính chất của các phép tính về đa thức trong tính toán.

Thuật ngữ: Phép chia hết · Phép chia có dư · Thương, dư (trong phép chia đa thức)

Khái niệm, thuật ngữ

Bài toán: Tìm đa thức P sao cho $A=B\cdot P,$ trong đó $A=2x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+6x-2$ và $B=x^{2}-2.$

Mình nghĩ mãi mà chưa giải được bài toán này. Vuông có cách nào giải không?
Ừ nhỉ! nếu A và B là hai số thì chỉ việc lấy A chia cho B là xong nhưng A và B lại là hai đa thức.
Cũng thế thôi các em ạ.
Trước hết các em phải tìm hiểu cách chia hai đa thức.

1 làm quen với phép chia đa thức

1. Xét hai đơn thức $6 x^{4}$ và $- 2 x^{3},$ ta thấy $6 x^{4} = (- 2 x^{3})$ (-3x).
Từ đó, tương tự như đối với các số, ta cũng có thể viết:
$6 x^{4} : (- 2 x^{3}) = - 3 x,$ hay $\frac{6 x^{4}}{- 2 x^{3}} = - 3 x$
và nói rằng đó là một phép chia hết.

2. Một cách tổng quát, cho hai đa thức A và B với $B \neq 0$ .
Nếu có một đa thức Q sao cho $A = B \cdot Q$ thì ta có phép chia hết:
A: $B = Q$ hay $\frac{A}{B} = Q$ trong đó:
A là đa thức bị chia;
B là đa thức chia;
Q là đa thức thương (gọi tắt là thương).
Khi đó ta còn nói đa thức A chia hết cho đa thức B.

Kí hiệu $B \neq 0$ có nghĩa B không phải là đa thức không.

Nhớ lại quy tắc chia hai luỹ thừa cùng cơ số nhé!

3. Để thực hiện phép chia $6 x^{4}$ cho $(- 2 x^{3})$ , ta làm như sau:

Chia hai hệ số: $6 : (- 2) = - 3.$
Chia hai luỹ thừa của biến: $x^{4} : x^{3} = x$ .
Nhân hai kết quả trên, ta tìm được thương là $- 3 x .$

Khi nào thì $ax^{n}$ chia hết cho $bx^{m}$?

HĐ1

Tìm thương của mỗi phép chia hết sau:
a) $12 x^{3} : 4 x;$
b) $(- 2 x^{4}) : x^{4}$ ;
c) $2 x^{5} : 5 x^{2}$ .

Hình/bảng: Hình ảnh một phép chia $12x^3 : 4x$ được hiểu là $12x^3 : (4x)$.

HĐ2

Giả sử $x \neq 0$ Hãy cho biết:
a) Với điều kiện nào (của hai số mũ) thì thương hai luỹ thừa của x cũng là một luỹ thừa của x với số mũ nguyên dương?
b) Thương hai luỹ thừa của x cùng bậc bằng bao nhiêu?

Cho hai đơn thức $a x^{m}$ và $b x^{n}$ (m, $n \in N;$ a, $b \in R$ và $b \neq 0$ . Khi đó nếu $m \geq n$ thì phép chia $a x^{m}$ cho $b x^{n}$ là phép chia hết và ta có:
$a x^{m} : b x^{n} = \frac{a}{b} x^{m - n}$ (quy ước: $x^{0} = 1$ .

Luyện tập 1

Thực hiện các phép chia sau:
a) $3 x^{7} : \frac{1}{2} x^{4};$
b) $(- 2 x) : x;$
c) $0, 25 x^{5} : (- 5 x^{2})$ .

2. Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết

Cách đặt tính chia

Để chia đa thức $A = 2 x^{4} - 13 x^{3} + 15 x^{2} + 11 x - 3$ cho đa thức $B = x^{2} - 4 x - 3$ , ta làm như sau:
Bước 1. Đặt tính chia tương tự chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:
$2 x^{4} : x^{2} = 2 x^{2}$
Bước 2. Lấy A trừ đi tích $B \cdot (2 x^{2})$ ta được dư thứ nhất là $- 5 x^{3} + 21 x^{2} + 11 x - 3$ :

$\begin{array}{cc} 2 x^{4} - 13 x^{3} + 11 x - 3 & \underline{x^{2} - 4 x - 3} \\ \underline{2 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2}} & 2 x^{2} \\ - 5 x^{3} + 21 x^{2} + 11 x - 3 \end{array}$
$\leftarrow 2 x^{4} : x^{2} = 2 x^{2} .$
(Dư thứ nhất)

Bước 3. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:
$(- 5 x^{3}) : x^{2} = - 5 x .$

Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B (-5x), ta được dư thứ hai là $x^{2} - 4 x - 3;$

$\begin{array}{cc} 2 x^{4} - 13 x^{3} + 15 x^{2} + 11 x - 3 & \underline{x^{2} - 4 x - 3} \\ \underline{2 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2}} & 2 x^{2} - 5 x \\ - 5 x^{3} + 21 x^{2} + 11 x - 3 \\ \underline{- 5 x^{3} + 20 x^{2} + 15 x} & \leftarrow (- 5 x^{3}) : x^{2} = - 5 x \\ x^{2} - 4 x - 3 \end{array}$
(Dư thứ nhất)
(Dư thứ hai)

Bước 5. Làm tương tự như trên, ta được:

$\begin{array}{cc} 2 x^{4} - 13 x^{3} + 15 x^{2} + 11 x - 3 & \underline{x^{2} - 4 x - 3} \\ \underline{2 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2}} & 2 x^{2} - 5 x + 1 \\ - 5 x^{3} + 21 x^{2} + 11 x - 3 \\ \underline{- 5 x^{3} + 20 x^{2} + 15 x} \\ x^{2} - 4 x - 3 \\ \underline{x^{2} - 4 x - 3} \\ 0 \end{array}$

Dư cuối cùng bằng 0 nên quá trình chia kết thúc.
Ta được thương là đa thức $2 x^{2} - 5 x + 1$ .

Kiểm tra lại rằng ta có phép chia hết $A : B = 2 x^{2} - 5 x + 1$ nghĩa là xảy ra:
$A = B \cdot (2 x^{2} - 5 x + 1)$ .

Chú ý

Khi chia đa thức cho một đơn thức thì ta có thể không cần đặt tính chia. Cách làm như trong ví dụ sau:
$(- 6 x^{5} + 7 x^{4} - 6 x^{3}) : 3 x^{3}$
$= (- 6 x^{5} : 3 x^{3}) + (7 x^{4} : 3 x^{3}) + (- 6 x^{3} : 3 x^{3})$
$= - 2 x^{2} + \frac{7}{3} x - 2.$

Luyện tập 2

Thực hiện phép chia: a) $(- x^{6} + 5 x^{4} - 2 x^{3}) : 0, 5 x^{2}$
b) $(9 x^{2} - 4) : (3 x + 2)$ .

Viết đa thức bị chia là:
$9 x^{2} + 0 x - 4$ sẽ dễ làm hơn.

Vận dụng

Em hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu.

3. Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia có dư

Bốn bước đầu tiên khi chia đa thức $D = 5 x^{3} - 3 x^{2} - x + 7$ cho đa thức $E = x^{2} + 1$ được viết gọn như sau:

Nếu đa thức ở một dòng khuyết một hạng tử bậc nào đó thì hãy để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

$\begin{array}{cc} 5 x^{3} - 3 x^{2} - x + 7 & \underline{x^{2} + 1} \\ \underline{5 x^{3} + 5 x} & 5 x - 3 \\ - 3 x^{2} - 6 x + 7 \\ \underline{- 3 x^{2} - 3} \\ - 6 x + 10 \end{array}$
(Dư thứ nhất)
(Dư thứ hai)

HĐ3

Hãy mô tả lại các bước đã thực hiện trong phép chia đa thức D cho đa thức E.

HĐ4

Kí hiệu dư thứ hai là $G = - 6 x + 10$ Đa thức này có bậc bằng 1. Lúc này phép chia có thể tiếp tục được không? Vì sao?

HĐ5

Hãy kiểm tra lại đẳng thức: $D = E \cdot (5 x - 3) + G$

Phép chia đa thức D cho đa thức E trong trường hợp này được gọi là phép chia có dư với đa thức thương là $5 x - 3$ và đa thức dư là G.

Khi chia đa thức A cho đa thức B:

Đa thức dư R phải bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của B.
Nếu thương là đa thức Q, dư là R thì ta có đẳng thức $A = B Q + R$

Luyện tập 3

Tìm dư R và thương Q trong phép chia đa thức $A = 3 x^{4} - 6 x - 5$ cho đa thức $B = x^{2} + 3 x - 1$ rồi viết A dưới dạng $A = B \cdot Q + R .$

Thử thách nhỏ

Đố Vuông tìm được dư trong phép chia $x^{3} - 3 x^{2} + x - 1$ cho $x^{2} - 3 x .$

Mình chỉ nhìn qua cũng biết được dư là $x - 1$ .

Em có biết tại sao Vuông làm nhanh thế không?

Bài tập

7.30

Tính:
a) $8 x^{5} : 4 x^{3}$ ;
b) $120 x^{7} : (- 24 x^{5});$
c) $\frac{3}{4} (- x)^{3} : \frac{1}{8} x;$
d) $- 3, 72 x^{4} : (- 4 x^{2})$ .

7.31

Thực hiện các phép chia đa thức sau:
a) $(- 5 x^{3} + 15 x^{2} + 18 x) : (- 5 x)$ ;
b) $(- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 3 x^{2}) : 2 x^{2} .$

7.32

Thực hiện các phép chia đa thức sau bằng cách đặt tính chia:
a) $(6 x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 3) : (3 x - 1)$
b) $(4 x^{4} + 14 x^{3} - 21 x - 9) : (2 x^{2} - 3)$

7.33

Thực hiện phép chia $0, 5 x^{5} + 3, 2 x^{3} - 2 x^{2}$ cho $0.25 x^{n}$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $n = 2$ ;
b) $n = 3$ .

7.34

Trong mỗi trường hợp sau đây, tìm thương $Q (x)$ và dư $R (x)$ trong phép chia $F (x)$ cho $G (x)$ rồi biểu diễn $F (x)$ dưới dạng:
$F (x) = G (x) \cdot Q (x) + R (x)$ .
a) $F (x) = 6 x^{4} - 3 x^{3} + 15 x^{2} + 2 x - 1; G (x) = 3 x^{2} .$
b) $F (x) = 12 x^{4} + 10 x^{3} - x - 3;$ $G (x) = 3 x^{2} + x + 1$ .

7.35

Bạn Tâm lúng túng khi muốn tìm thương và dư trong phép chia đa thức $21 x - 4$ cho $3 x^{2}$ .
Em có thể giúp bạn Tâm được không?

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Cho một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là x $x + 1$ và $x + 2 (x > 0) .$
a) Chứng tỏ rằng biểu thức biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật đã cho là một đa thức bậc ba.
b) Chứng tỏ rằng biểu thức biểu thị diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đã cho là một đa thức bậc hai.

Lời giải

Giải
a) Thể tích của hình hộp đã cho là:
$V = x (x + 1) (x + 2) = x (x^{2} + 3 x + 2) = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x .$
Ta nhận được V là một đa thức bậc ba.
b) Ta đã biết hình hộp chữ nhật có 6 mặt là 6 hình chữ nhật, trong đó:

Hai mặt có kích thước x và $x + 1$ Tổng diện tích của chúng là $2 x (x + 1)$ .
Hai mặt có kích thước $x + 1$ và $x + 2$ Tổng diện tích của chúng là $2 (x + 1) (x + 2)$ .
Hai mặt có kích thước x và $x + 2$ Tổng diện tích của chúng là $2 x (x + 2)$ .

Vậy diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đã cho là:
$S = 2 x (x + 1) + 2 (x + 1) (x + 2) + 2 x (x + 2)$
$= 2 (x^{2} + x) + 2 (x^{2} + 2 x + x + 2) + 2 (x^{2} + 2 x)$
$= 2 x^{2} + 2 x + 2 x^{2} + 4 x + 2 x + 4 + 2 x^{2} + 4 x$
$= (2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x^{2}) + (2 x + 6 x + 4 x) + 4$
$= 6 x^{2} + 12 x + 4$ .
Ta có S là một đa thức bậc hai.

Ví dụ 2

Với giá trị nào của m trong các giá trị cho sau đây thì phép chia đa thức $3 x^{2} + 7 x - 11 m$ cho đa thức $x - 5$ là phép chia hết?
a) $m = 0$ .
b) $m = 10$ .

Lời giải

Giải. Thực hiện phép chia bằng cách đặt tính chia:
$\begin{array}{cc} 3 x^{2} + 7 x - 11 m & \underline{x - 5} \\ \underline{3 x^{2} - 15 x} & 3 x + 22 \\ 22 x - 11 m \\ \underline{22 x - 110} \\ - 11 m + 110 \end{array}$
a) Khi $m = 0$ thì đa thức dư $- 11 m + 110$ bằng 110 (khác 0) nên ta không có phép chia hết.
b) Khi $m = 10$ thì đa thức dư $- 11 m + 110$ bằng 0 nên ta có phép chia hết. Từ đó suy ra $m = 10$ .

Bài tập

7.36

Rút gọn biểu thức sau:
$(5 x^{3} - 4 x^{2}) : 2 x^{2} + (3 x^{4} + 6 x) : 3 x - x (x^{2} - 1) .$

7.37

Rút gọn các biểu thức sau:
a) $2 x (x + 3) - 3 x^{2} (x + 2) + x (3 x^{2} + 4 x - 6);$
b) $3 x (2 x^{2} - x) - 2 x^{2} (3 x + 1) + 5 (x^{2} - 1) .$

7.38

Tìm giá trị của x, biết rằng:
a) $3 x^{2} - 3 x (x - 2) = 36$
b) $5 x (4 x^{2} - 2 x + 1) - 2 x (10 x^{2} - 5 x + 2) = - 36$ .

7.39

Thực hiện các phép tính sau:
a) $(x^{3} - 8) : (x - 2)$ ;
b) $(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)$ .

7.40

Trong một trò chơi ở câu lạc bộ Toán học, chủ trò viết lên bảng biểu thức:
$P (x) = x^{2} (7 x - 5) - (28 x^{5} - 20 x^{4} - 12 x^{3}) : 4 x^{2}$ .
Luật chơi là sau khi chủ trò đọc một số a nào đó, các đội chơi phải tính giá trị của $P (x)$ tại $x = a .$ Đội nào tính đúng và tính nhanh nhất thì thắng cuộc.
Khi chủ trò vừa đọc $a = 5$ , Vuông đã tính ngay được $P (a) = 15$ và thắng cuộc. Em có biết Vuông làm cách nào không?

7.41

Tìm số b sao cho đa thức $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - b$ chia hết cho đa thức $x - 3$ .

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 39–45).