Bài 23. Đại lượng tỉ lệ nghịch – Toán 7 tập 2 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Giải một số bài toán đơn giản về đại lượng tỉ lệ nghịch.

Thuật ngữ: Đại lượng tỉ lệ nghịch · Hệ số tỉ lệ

Bốn người thợ cùng làm sẽ xây xong một bức tường trong 9 ngày. Hỏi 6 người thợ cùng làm sẽ xây xong bức tường đó trong bao nhiêu ngày (biết năng suất lao động của mỗi người thợ là như nhau)?

Nhận biết đại lượng tỉ lệ nghịch

Một ô tô đi từ thành phố A đến thành phố B trên quãng đường 180 km. Gọi $t$ (h) là thời gian để ô tô đi từ A đến B với vận tốc $v$ (km/h).

HĐ1

Thay mỗi dấu “?” trong bảng sau bằng số thích hợp.

Hình/bảng: Bảng với hàng v (km/h) có giá trị 40, 50, 60, 80; hàng t (h) có giá trị ?, ?, ?, ?.

HĐ2

Viết công thức tính thời gian $t$ theo vận tốc tương ứng $v$ .

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức $y = \frac{a}{x}$ ( $a$ là một hằng số khác 0) thì ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ .

Trong HĐ2, thời gian $t$ có tỉ lệ nghịch với vận tốc $v$ không? Vận tốc $v$ có tỉ lệ nghịch với thời gian $t$ không?

Chú ý

Nếu $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a$ thì $x$ cũng tỉ lệ nghịch với $y$ theo hệ số tỉ lệ $a$ và ta nói hai đại lượng $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau.

Ví dụ 1

Biết rằng $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch với nhau và khi $x = 2$ thì $y = - 4$ .a) Tìm hệ số tỉ lệ $a$ trong công thức $y = \frac{a}{x}$ . Từ đó viết công thức tính $y$ theo $x$ .b) Tìm giá trị của $y$ khi $x = 4$ .c) Tìm giá trị của $x$ khi $y = 0, 5$ .

Lời giải

Giải
a) Ta có $a = x y = 2 (- 4) = - 8$ . Do đó $y = - \frac{8}{x}$ .
b) Khi $x = 4$ ta có $y = - \frac{8}{4} = - 2$ .
c) Từ $y = - \frac{8}{x}$ suy ra $x = - \frac{8}{y}$ . Do đó khi $y = 0, 5$ ta có $x = - \frac{8}{0, 5} = - 16$ .

Ví dụ 2

Cho $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ $a = 12$ .a) Thay mỗi dấu "?" trong bảng bên bằng số thích hợp.b) Tính $x_{1} y_{1}, x_{2} y_{2}, x_{3} y_{3}$ và so sánh với hệ số tỉ lệ $a$ .

Hình/bảng: Bảng giá trị x và y. Bảng 1: x có giá trị 2, 3, 4; y có giá trị ?, ?, ?. Bảng 2: x có giá trị 2, 3, 4; y có giá trị 6, 4, 3.

Lời giải

Giải
a) Theo đề bài ta có $y = \frac{12}{x}$ . Do đó ta có bảng bên:
b) Ta có: $x_{1} y_{1} = 2 \cdot 6 = 12, x_{2} y_{2} = 3 \cdot 4 = 12, x_{3} y_{3} = 4 \cdot 3 = 12$ .Như vậy $x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2} = x_{3} y_{3} = 12 = a$ .

Nhận xét

Nếu hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ nghịch với nhau thì:• Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ): $x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2} = x_{3} y_{3} = . . . = a$ hay $\frac{y_{1}}{1 / x_{1}} = \frac{y_{2}}{1 / x_{2}} = \frac{y_{3}}{1 / x_{3}} = . . . = a$ .• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: $\frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}; \frac{y_{1}}{y_{3}} = \frac{x_{3}}{x_{1}}; \frac{y_{2}}{y_{3}} = \frac{x_{3}}{x_{2}}; . . .$

Luyện tập 1

Chiều dài và chiều rộng của các hình chữ nhật có cùng diện tích bằng 12 cm² có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Vận dụng 1

a) Một cửa hàng bán gạo cần đóng 300 kg gạo thành các túi gạo có khối lượng như nhau. Thay mỗi dấu "?" trong bảng sau bằng số thích hợp.b) Số túi gạo và số kilôgam gạo trong mỗi túi có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Hình/bảng: Bảng với hàng Lượng gạo trong mỗi túi (kg) có giá trị 5, 10, ?, ?, 15; hàng Số túi tương ứng có giá trị ?, ?, 9, 18, 12.

2. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Trong mục này ta sẽ vận dụng tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch để giải một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch.

Giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Để giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch, ta cần nhận biết được hai đại lượng tỉ lệ nghịch trong bài toán. Từ đó ta có thể lập các tỉ số bằng nhau và dựa vào tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm các yếu tố chưa biết.

Ví dụ 3

Hãy giải bài toán mở đầu.

Lời giải

GiảiGọi $x$ (ngày) là thời gian để 6 người thợ cùng xây xong bức tường.Vì năng suất lao động của mỗi người thợ là như nhau nên số người thợ và thời gian để họ xây xong bức tường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó, ta có $\frac{x}{9} = \frac{4}{6}$ .Suy ra $x = \frac{4 \cdot 9}{6} = 6$ (ngày).Vậy thời gian để 6 người thợ cùng xây xong bức tường là 6 ngày.

Luyện tập 2

Một nhà thầu ước tính rằng có thể hoàn thành một hợp đồng xây dựng trong 12 tháng với 280 công nhân. Nếu được yêu cầu phải hoàn thành hợp đồng trong 10 tháng thì nhà thầu đó phải thuê bao nhiêu công nhân (biết năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau)?

Ví dụ 4

Một người mua 65 quả trứng gà gồm ba loại: loại I giá 4 nghìn đồng một quả, loại II giá 3 nghìn đồng một quả và loại III giá 2 nghìn đồng một quả. Hỏi người đó mua bao nhiêu quả trứng mỗi loại, biết rằng số tiền mà người đó phải trả cho mỗi loại trứng là như nhau?

Lời giải

GiảiGọi $x, y, z$ lần lượt là số quả trứng gà loại I, loại II và loại III. Ta có $x + y + z = 65$ .Vì số tiền mà người đó phải trả cho mỗi loại trứng là như nhau nên $4 x = 3 y = 2 z$ hay $\frac{x}{1 / 4} = \frac{y}{1 / 3} = \frac{z}{1 / 2}$ .Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có $\frac{x}{1 / 4} = \frac{y}{1 / 3} = \frac{z}{1 / 2} = \frac{x + y + z}{1 / 4 + 1 / 3 + 1 / 2} = \frac{65}{13 / 12} = 60$ .Suy ra $x = 60 \cdot \frac{1}{4} = 15; y = 60 \cdot \frac{1}{3} = 20; z = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$ .Vậy số trứng gà loại I, loại II, loại III lần lượt là 15 quả; 20 quả và 30 quả.

Ví dụ 1

Biết rằng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi $x = 2$ thì $\underline{y} = 4$ .
a) Tìm hệ số tỉ lệ a trong công thức $y = \frac{a}{x}$ Từ đó viết công thức tính y theo x.
b) Tìm giá trị của y khi $x = 4$ .
c) Tìm giá trị của x khi $y = 0, 5$ .

Lời giải

Giải
a) Ta có $a = x y = 2 \cdot (- 4) = - 8$ . Do đó $y = \frac{- 8}{x}$
b) Khi $x = 4$ ta có $y = \frac{- 8}{4} = - 2.$
c) Từ $y = \frac{- 8}{x}$ suy ra $x = \frac{- 8}{y} .$ Do đó khi $y = 0, 5$ ta có $x = \frac{- 8}{0, 5} = - 16.$

Luyện tập 1

Chiều dài và chiều rộng của các hình chữ nhật có cùng diện tích bằng $12 c m^{2}$ có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Chú ý.

Trong thực hành, để tiện lợi từ dãy đẳng thức $4 x = 3 y = 2 z$ ta thường chia 4x; 3y; 2z cho 12 (là BCNN của 4; 3; 2) để được dãy tỉ số bằng nhau $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6}$ Sau đó giải tiếp tương tự như trên.

Luyện tập 3

Bạn An mua tổng cộng 34 quyển vở gồm ba loại: loại 120 trang giá 12 nghìn đồng một quyển, loại 200 trang giá 18 nghìn đồng một quyển và loại 240 trang giá 20 nghìn đồng một quyển. Hỏi An mua bao nhiêu quyển vở mỗi loại, biết rằng số tiền bạn ấy dành để mua mỗi loại vở là như nhau?

Bài tập

6.22.

Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Thay mỗi dấu "?" trong bảng sau bằng số thích hợp.
Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng x và y.

Hình/bảng: Table with two rows: x and y. x row: 2, 4, 5, ?, ?, ?. y row: -6, ?, ?, 3, 10, 0.5.

6.23.

Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượng x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?
a)
b)

Hình/bảng: Table a) with x and y values. x row: 3, 6, 16, 24. y row: 160, 80, 30, 20. Table b) with x and y values. x row: 4, 8, 25, 32. y row: 160, 80, 26, 20.

6.24.

Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a, x tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ b. Hỏi y tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với z và hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu?

6.25.

Với cùng số tiền để mua 17 tập giấy A4 loại I có thể mua bao nhiêu tập giấy A4 loại II, biết rằng giá tiền giấy loại II chỉ bằng 85% giá tiền giấy loại I.

6.26.

Ba đội máy cày làm trên ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày và đội thứ ba trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có mấy máy cày, biết rằng số máy của đội thứ nhất nhiều hơn số máy của đội thứ hai là 2 máy và năng suất của các máy như nhau?

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Cho biết x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ 2, y tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ 3. Hỏi x tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với z và hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu?

Lời giải

Giải
Theo đề bài, ta có: $x = 2 y$ và $y = \frac{3}{z}$
Từ đây suy ra $x = 2 y = 2 \cdot \frac{3}{z} = \frac{6}{z} .$
Vậy x tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ 6.

Ví dụ 2

Biết rằng giá một quyển vở loại 120 trang bằng 80% giá một quyển vở loại 200 trang. Hỏi với cùng số tiền để mua 16 quyển vở loại 200 trang, bạn Minh có thể mua được bao nhiêu quyển vở loại 120 trang?

Lời giải

Giải
Gọi x là số quyển vở loại 120 trang mà Minh có thể mua được.
Với cùng số tiền để mua thì số quyển vở mua được và giá tiền của mỗi quyển vở là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: 16 = 80% $\cdot$ x = 0,8 $\cdot$ x.
Suy ra $x = \frac{16}{0, 8} = 20.$
Vậy với cùng số tiền để mua 16 quyển vở loại 200 trang, Minh có thể mua được 20 quyển vở loại 120 trang.

Ví dụ 3

Tính độ dài các cạnh của một tam giác, biết chu vi của tam giác là 48 cm và độ dài các cạnh của nó tỉ lệ với 3; 4; 5.

Lời giải

Giải
Gọi x, y, z (cm) lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác.
Theo đề bài ta có: $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ và $x + y + z = 48$ .
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{x + y + z}{3 + 4 + 5} = \frac{48}{12} = 4.$
Từ đây tìm được $x = 4.3 = 12$ , $y = 4.4 = 16$ và $z = 4.5 = 20$ .
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 12 cm, 16 cm và 20 cm.

Bài tập

6.27.

Các giá trị của hai đại lượng x và y được cho bởi bảng sau đây:
Hỏi hai đại lượng x và y có quan hệ tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch không? Viết công thức liên hệ giữa x và y.

Hình/bảng: Table with two rows: X and y. X row: 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5. y row: 2.5, 5, 7.5, 10, 12.5.

6.28.

Cho ba đại lượng x, y, z. Tìm mối quan hệ giữa hai đại lượng x và z, biết rằng:
a) x và y tỉ lệ thuận, y và z tỉ lệ thuận;
b) x và y tỉ lệ thuận, y và z tỉ lệ nghịch;
c) x và y tỉ lệ nghịch, y và z tỉ lệ nghịch.

6.29.

Để thu được một loại đồng thau, người ta pha chế đồng và kẽm nguyên chất theo tỉ lệ 6 : 4. Tính khối lượng đồng và kẽm nguyên chất cần thiết để sản xuất 150 kg đồng thau.

6.30.

Với thời gian để một thợ lành nghề làm được 12 sản phẩm thì người thợ học việc chỉ làm được 8 sản phẩm. Hỏi người thợ học việc phải mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong 48 giờ?

6.31.

Học sinh khối lớp 7 đã quyên góp được một số sách nộp cho thư viện. Sĩ số của các lớp 7A, 7B, 7C, 7D tương ứng là 38; 39; 40 và 40 em. Biết rằng số sách quyên góp được tỉ lệ với số học sinh của lớp và lớp 7D góp được nhiều hơn lớp 7A là 4 quyển sách. Hỏi mỗi lớp quyên góp được bao nhiêu quyển sách?

6.32.

Thư viện của một trường Trung học cơ sở mua ba đầu sách tham khảo môn Toán lớp 6, lớp 7 và lớp 8, tổng cộng 121 cuốn. Giá của mỗi cuốn sách tham khảo môn Toán lớp 6, lớp 7 và lớp 8 lần lượt là 40 nghìn đồng, 45 nghìn đồng và 50 nghìn đồng. Hỏi thư viện đó mua bao nhiêu cuốn sách tham khảo môn Toán mỗi loại, biết rằng số tiền dùng để mua mỗi loại sách đó là như nhau?

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 16–20).