Bài 26. Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Thuật ngữ: Tổng, hiệu của hai đa thức

Khái niệm, thuật ngữ | Kiến thức, kĩ năng
Tổng, hiệu của hai đa thức | Thực hiện các phép tính cộng, trừ hai đa thức.
| Nhận biết các tính chất của phép cộng đa thức.
| • Vận dụng các tính chất của phép cộng đa thức trong tính toán.

Xét hai biểu thức số $A = 5 \cdot 7^{2} + 2$ và $B = 7^{2} - 12 \cdot 7$ . Dựa vào tính chất các phép toán đối với các số, ta có: $A + B = (5 \cdot 7^{2} + 2) + (7^{2} - 12 \cdot 7) = (5 \cdot 7^{2} + 7^{2}) - 12 \cdot 7 + 2 = (5 + 1) \cdot 7^{2} - 12 \cdot 7 + 2 = 6 \cdot 7^{2} - 12 \cdot 7 + 2$ .

Tương tự, ta cũng có thể thực hiện các phép tính cộng và trừ hai đa thức; kết quả của mỗi phép tính đó cũng là một đa thức. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu cách cộng và trừ đa thức.

1 cộng hai đa thức một biến

Tổng của hai đa thức

Cho hai đa thức: $P = x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x$ và $Q = - x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1$ .

Giả sử ta cần tìm tổng: $P + Q = (x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x) + (- x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1)$ .

Ta có thể trình bày phép cộng này theo một trong hai cách sau:

Cách 1. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc: $(x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x) + (- x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1) = x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1$ ← Bỏ dấu ngoặc $= x^{4} + (3 x^{3} - x^{3}) + (4 x^{2} - 5 x^{2}) + (7 x - 2 x) + 1$ ← Nhóm các hạng tử cùng bậc $= x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 5 x + 1$ . Vậy $P + Q = x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 5 x + 1$ .

Cách 2. Đặt tính cộng sao cho các hạng tử cùng bậc đặt thẳng cột với nhau rồi cộng theo từng cột: $x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x$ $+ - x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1$ $P + Q = x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 5 x + 1$

Nếu một đa thức khuyết một hạng tử bậc nào đó thì hãy để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

Tìm tổng của hai đa thức: $x^{3} - 5 x + 2$ và $x^{3} - x^{2} + 6 x - 4$ .

A cartoon character with a question mark.

Chú ý

Phép cộng đa thức cũng có các tính chất như phép cộng các số thực. Cụ thể là:

Tính chất giao hoán: $A + B = B + A$ .

Tính chất kết hợp: $(A + B) + C = A + (B + C)$ .

Cộng với đa thức không: $A + 0 = 0 + A = A$ .

Luyện tập 1

Cho hai đa thức $M = 0, 5 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x - 2, 5$ và $N = 2 x^{3} + x^{2} + 1, 5$
Hãy tính tổng $M + N$ (trình bày theo hai cách).

Vận dụng 1

Đặt tính cộng để tìm tổng của ba đa thức sau:
$A = 2 x^{3} - 5 x^{2} + x - 7;$
$B = x^{2} - 2 x + 6$ ;
$C = - x^{3} + 4 x^{2} - 1$ .

2. Trừ hai đa thức một biến

Hiệu của hai đa thức

Đối với phép trừ: $P - Q = (x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x) - (- x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1)$ , ta cũng có hai cách trình bày, tương tự như phép cộng hai đa thức.

Cụ thể, hãy thực hiện các hoạt động sau:

HĐ1

Tìm hiệu $P - Q$ bằng cách bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

HĐ2

Tìm hiệu $P - Q$ bằng cách đặt tính trừ: đặt đa thức Q dưới đa thức P sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau rồi trừ theo từng cột.

Luyện tập 2

Cho hai đa thức:
$M = 0, 5 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x - 2, 5$ và $N = 2 x^{3} + x^{2} + 1, 5$ .
Hãy tính hiệu $M - N$ (trình bày theo hai cách).

Chú ý.

Tương tự như các số, đối với các đa thức P, Q, R, ta cũng có: Nếu $Q + R = P$ thì $R = P - Q$ . Nếu $R = P - Q$ thì $Q + R = P$ .

Vận dụng 2

Cho đa thức $A = x^{4} - 3 x^{2} - 2 x + 1$ . Tìm các đa thức B và C sao cho: $A + B = 2 x^{5} + 5 x^{3} - 2$ $A - C = x^{3},$

Bài tập

7.12.

Tìm tổng của hai đa thức sau bằng cách nhóm các hạng tử cùng bậc: $x^{2} - 3 x + 2$ và $4 x^{3} - x^{2} + x - 1$ .

7.13.

Tìm hiệu sau theo cách đặt tính trừ: $(- x^{3} - 5 x + 2) - (3 x + 8)$ .

7.14.

Cho hai đa thức $A = 6 x^{4} - 4 x^{3} + x - \frac{1}{3}$ và $B = - 3 x^{4} - 2 x^{3} - 5 x^{2} + x + \frac{2}{3} .$ Tính $A + B$ và $A - B$ .

7.15.

Cho các đa thức $A = 3 x^{4} - 2 x^{3} - x + 1$ ; $B = - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x$ và $C = - 3 x^{4} + 2 x^{2} + 5$ . Tính $A + B + C;$ $A - B + C$ và $A - B - C$ .

7.16.

Bạn Nam được phân công mua một số sách làm quà tặng trong buổi tổng kết cuối năm học của lớp. Nam dự định mua ba loại sách với giá bán như bảng sau. Giả sử Nam cần mua x cuốn sách khoa học, $x + 8$ cuốn sách tham khảo và $x + 5$ cuốn truyện tranh.
a) Viết các đa thức biểu thị số tiền Nam phải trả cho từng loại sách.
b) Tìm đa thức biểu thị tổng số tiền Nam phải trả để mua số sách đó.

Hình/bảng: Table with two columns: 'Loại sách' and 'Giá bán một cuốn (đồng)'. Rows: 'Truyện tranh', 'Sách tham khảo', 'Sách khoa học'. Values for 'Giá bán một cuốn (đồng)': 15 000, 12 500, 21 500.

7.17.

Trên một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 65 m, người ta định làm một bể bơi có chiều rộng là x mét, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Sơ đồ và kích thước cụ thể (tính bằng mét) được cho trong Hình 7.1. Tìm đa thức (biến x):
a) Biểu thị diện tích của bể bơi.
b) Biểu thị diện tích mảnh đất.
c) Biểu thị diện tích phần đất xung quanh bể bơi.

Hình/bảng: A rectangular plot of land with dimensions 65m (length) and 5m (width). Inside, there's a swimming pool with width x and length 3x. The remaining land has dimensions indicated by 4m and x.

Cách 2. Đặt tính cộng sao cho các hạng tử cùng bậc đặt thẳng cột với nhau rồi cộng theo từng cột:

$x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x$
$+ \frac{- x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1}{P + Q = x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 5 x + 1}$

Tìm tổng của hai đa thức: $x^{3} - 5 x + 2$ và $x^{3} - x^{2} + 6 x - 4$ .

Chú ý

Phép cộng đa thức cũng có các tính chất như phép cộng các số thực. Cụ thể là:

Tính chất giao hoán: $A + B = B + A$ .
Tính chất kết hợp: $(A + B) + C = A + (B + C)$ .
Cộng với đa thức không: $A + 0 = 0 + A = A$ .

Vận dụng 1

Đặt tính cộng để tìm tổng của ba đa thức sau:
$A = 2 x^{3} - 5 x^{2} + x - 7;$
$B = x^{2} - 2 x + 6$ ;
$C = - x^{3} + 4 x^{2} - 1$ .

Cho hai đa thức $P = x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x$ và $Q = - x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1$ .
Đối với phép trừ: $P - Q = (x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x) - (- x^{3} + 4 x^{2} - 2 x + 1)$ , ta cũng có hai cách trình bày, tương tự như phép cộng hai đa thức.
Cụ thể, hãy thực hiện các hoạt động sau:

Vận dụng 2

Cho đa thức $A = x^{4} - 3 x^{2} - 2 x + 1$ Tìm các đa thức B và C sao cho:
$A + B = 2 x^{5} + 5 x^{3} - 2$
$A - C = x^{3},$

7.15

Cho các đa thức $A = 3 x^{4} - 2 x^{3} - x + 1$ ; $B = - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x v \overset{ˋ}{a} C = - 3 x^{4} + 2 x^{2} + 5$ .
Tính $A + B + C;$ $A - B + C v \overset{ˋ}{a} A - B - C$ .

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Ba bạn Lan, Bình và Dung rủ nhau đến cửa hàng sách để mua sách cũ được bán đồng giá (nghĩa là các cuốn sách cũ trong cửa hàng đó đều được bán với cùng một giá). Lan mua 5 cuốn, Bình mua 3 cuốn, Dung mua 6 cuốn. Gọi x (đồng) là giá bán một cuốn sách cũ.
a) Tìm đa thức biểu thị tổng số tiền cả ba bạn phải trả.
b) Nếu mỗi cuốn sách cũ đều có giá là 30 000 đồng thì tổng số tiền cả ba bạn phải trả là bao nhiêu?

Lời giải

Giải. a) Lan mua 5 cuốn sách nên phải trả 5x (đồng).
Bình mua 3 cuốn nên phải trả 3x (đồng).
Dung mua 6 cuốn nên phải trả 6x (đồng).
Vậy đa thức biểu thị tổng số tiền cả ba bạn phải trả là:
$T (x) = 5 x + 3 x + 6 x = (5 + 3 + 6) x = 14 x .$
b) Nếu mỗi cuốn sách cũ có giá 30 000 đồng thì tổng số tiền cả ba bạn phải trả là giá trị của đa thức $T (x) = 14 x$ tại $x = 30000$ Giá trị đó là:
$T (30000) = 14 \cdot 30000 = 420000 (d \overset{ˋ}{\hat{o}} ng) .$

Ví dụ 2

Cho hai đa thức $F = x^{3} - x^{2} - 3 x - 5$ và $G = 3 x^{2} - 2 x - 1$ .
a) Gọi $H (x)$ là tổng của hai đa thức F và G. Tìm $H (x)$ .
b) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của $H (x)$ .
c) Trong tập hợp ${- 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3}$ , những số nào là nghiệm của $H (x)$ ?

Lời giải

Giải
a) Ta có: $H (x) = (x^{3} - x^{2} - 3 x - 5) + (3 x^{2} - 2 x - 1)$
$= x^{3} - x^{2} - 3 x - 5 + 3 x^{2} - 2 x - 1$
$= x^{3} + (- x^{2} + 3 x^{2}) + (- 3 x - 2 x) + (- 5 - 1)$
$= x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$
b) Hệ số cao nhất của $H (x)$ là 1; hệ số tự do của $H (x)$ là -6.
c) Để tính giá trị của $H (x)$ tại các giá trị đã cho của x ta lập bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
x^{3} & -27 & -8 & -1 & 0 & 1 & 8 & 27 \\
\hline
2x^{2} & 18 & 8 & 2 & 0 & 2 & 8 & 18 \\
\hline
-5x & 15 & 10 & 5 & 0 & -5 & -10 & -15 \\
\hline
H(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6 & 0 & 4 & 0 & -6 & -8 & 0 & 24 \\
\hline
\end{array}

Trong đó, số ghi trong mỗi ô thuộc dòng cuối bằng tổng các số ở cùng cột và thuộc ba dòng không tô màu phía trên, cộng thêm -6.

Dựa vào bảng trên ta được:
$H (- 3) = 0$ ; $H (- 2) = 4$ ; $H (- 1) = 0$ ; $H (0) = - 6$ ;
$H (1) = - 8$ ; $H (2) = 0$ ; $H (3) = 24$ .
Từ đó suy ra $x = - 3$ ; $x = - 1$ và $x = 2$ là ba nghiệm của đa thức $H (x)$ .

Bài tập

7.18

Cho các đơn thức: $2 x^{6};$ $- 5 x^{3};$ $- 3 x^{5}$ ; $x^{3}$ ; $\frac{3}{5} x^{2};$ $- \frac{1}{2} x^{2};$ 8; $- 3 x .$ Gọi A là tổng của các đơn thức đã cho.
a) Hãy thu gọn tổng A và sắp xếp các hạng tử để được một đa thức.
b) Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do và hệ số của $x^{2}$ của đa thức thu được.

7.19

Một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật được thiết kế với kích thước theo tỉ lệ:
Chiều cao : chiều rộng: chiều dài $= 1 : 2 : 3$ .
Trong bể hiện còn 0,7 m³ nước. Gọi chiều cao của bể là x (mét).
Hãy viết đa thức biểu thị số mét khối nước cần phải bơm thêm vào bể đề bề đầy nước.
Xác định bậc của đa thức đó.

7.20

Ngoài thang nhiệt độ Celsius (độ C), nhiều nước còn dùng thang nhiệt độ Fahrenheit, gọi là độ F để đo nhiệt độ trong dự báo thời tiết. Muốn tính xem $x^{\circ} C$ tương ứng với bao nhiêu độ F, ta dùng công thức:
$T (x) = 1, 8 x + 32$
Chẳng hạn, $0^{\circ} C$ tương ứng với $T (0) = 32$ ( $^{\circ} F$ ).
a) Hỏi $0^{\circ} F$ tương ứng với bao nhiêu độ C?
b) Nhiệt độ vào một ngày mùa hè ở Hà Nội là $35^{\circ} C$ . Nhiệt độ đó tương ứng với bao nhiêu độ F?
c) Nhiệt độ vào một ngày mùa đông ở New York (Mỹ) là $41^{\circ} F .$ Nhiệt độ đó tương ứng với bao nhiêu độ C?

Hình/bảng: Hình ảnh hai nhiệt kế, một hiển thị độ C và một hiển thị độ F, với các mức nhiệt độ khác nhau.

7.21

Cho hai đa thức $P = - 5 x^{4} + 3 x^{3} + 7 x^{2} + x - 3$ và $Q = 5 x^{4} - 4 x^{3} - x^{2} + 3 x + 3$ .
a) Xác định bậc của mỗi đa thức $P + Q$ và $P - Q .$
b) Tính giá trị của mỗi đa thức $P + Q$ và $P - Q$ tại $x = 1$ ; $x = - 1$ .
c) Đa thức nào trong hai đa thức $P + Q$ và $P - Q$ có nghiệm là $x = 0$ ?

7.22

Một xe khách đi từ Hà Nội lên Yên Bái (trên đường cao tốc Hà Nội – Lào Cai) với vận tốc $60 k m / h$ . Sau đó 25 phút, một xe du lịch cũng đi từ Hà Nội lên Yên Bái (đi cùng đường với xe khách) với vận tốc 85 $k m / h$ . Cả hai xe đều không nghỉ dọc đường.
a) Gọi $D (x)$ là đa thức biểu thị quãng đường xe du lịch đi được và $K (x)$ là đa thức biểu thị quãng đường xe khách đi được kể từ khi xuất phát cho đến khi xe du lịch đi được x giờ. Tìm D(x) và $K (x)$ .
b) Chứng tỏ rằng đa thức $f (x) = K (x) - D (x)$ có nghiệm là $x = 1$ Hãy giải thích ý nghĩa nghiệm $x = 1$ của đa thức $f (x)$ .

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 31–35).