Bài 30. Làm quen với xác suất của biến cố

Yêu cầu cần đạt

Làm quen với xác suất của biến cố ngẫu nhiên trong một số ví dụ đơn giản.

Thuật ngữ: Xác suất của biến cố · Đồng khả năng

Trong cuộc sống ta thường gặp những câu mô tả khả năng xảy ra của biến cố ngẫu nhiên, chẳng hạn:

Nhiều khả năng ngày mai trời sẽ có mưa.

Ít khả năng xảy ra động đất ở Hà Nội.

Nếu gieo hai con xúc xắc thì ít khả năng số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc đều là 6.

Trong bài này, chúng ta sẽ làm quen với việc đo lường khả năng xảy ra của một biến cố bằng con số.

1. Xác suất của biến cố

Xác suất là gì?

HĐ1

Chọn cụm từ thích hợp (không thể, ít khả năng, nhiều khả năng, chắc chắn) thay vào dấu “?” trong các câu sau:
a) Tôi ... đi bộ 20 km mà không nghỉ.
b) .?.. có tuyết rơi ở Hà Nội vào mùa đông.
c) Anh An là một học sinh giỏi. Anh An .?.. sẽ đỗ thủ khoa trong kì thi Trung học phổ thông quốc gia tới.

HĐ2

Một hộp đựng 20 viên bi, trong đó 13 viên màu đỏ và 7 viên màu đen có cùng kích thước. Bạn Nam lấy ngẫu nhiên một viên bi từ trong hộp. Hỏi khả năng Nam lấy được viên bi màu nào lớn hơn?

Nếu có thể đo lường được khả năng xảy ra của biến cố “Lấy được viên bi đỏ” và biến cố “Lấy được viên bi đen” bằng một con số rồi so sánh hai số đó với nhau thì ta sẽ có câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi trong HĐ2.

Khả năng xảy ra của một biến cố được đo lường bởi một số nhận giá trị từ 0 đến 1, gọi là xác suất của biến cố đó.

Nhận xét

Xác suất của một biến cố càng gần 1 thì biến cố đó càng có nhiều khả năng xảy ra. Xác suất của một biến cố càng gần 0 thì biến cố đó càng ít khả năng xảy ra.

Ví dụ 1

Người ta tính được xác suất để trúng giải độc đắc xổ số Vietlott 6/45 (một loại xổ số đang được lưu hành ở Việt Nam) là 0,0000001228 hay 0,00001228%.
Bản tin dự báo thời tiết ghi: Khả năng (hay xác suất) có mưa là 43%.
Xác suất để xuất hiện mặt sấp khi gieo một đồng xu cân đối là $\frac{1}{2}$ hay 50%.

Hình/bảng: Hình ảnh dự báo thời tiết Hà Nội: Thứ Tư 07:54, $27^{\circ}C$, Nhiều mây, Khả năng có mưa: 43%. Hình ảnh một đồng xu.

Xác suất của một biến cố được viết dưới dạng phân số, số thập phân hoặc phần trăm.

Ví dụ 2

Các chuyên gia bóng đá nhận định trong trận bóng đá ngày mai giữa đội A và đội B, xác suất thắng của đội A là 60%, xác suất thua là 35% và xác suất hoà là 5%. Theo nhận định trên, đội nào có khả năng thắng cao hơn?

Lời giải

Giải
Xác suất thua của đội A là 35%, tức là xác suất thắng của đội B là 35%. Xác suất thắng của đội A lớn hơn xác suất thắng của đội B. Vậy đội A có khả năng thắng cao hơn.

Luyện tập 1

Dạng bài: So sánh xác suất

Hình 8.2 cho biết thông tin dự báo thời tiết tại thành phố Hà Nội trong 5 ngày (từ 8-5-2021 đến 12-5-2021).
Quan sát hình trên, em hãy cho biết ngày nào có khả năng (hay xác suất) mưa nhiều nhất, ít nhất.

Hình/bảng: Hình 8.2 (Theo weather.com): Bảng dự báo thời tiết 5 ngày cho Hà Nội. Các ngày: Hôm nay, Chủ nhật 09, Thứ Hai 10, Thứ Ba 11, Thứ Tư 12. Nhiệt độ cao/thấp và phần trăm khả năng mưa: 40%, 24%, 22%, 15%, 24%.

2. Xác suất của một số biến cố đơn giản

Xác suất của biến cố chắc chắn, biến cố không thể

Khả năng xảy ra của biến cố chắc chắn là 100%. Vậy biến cố chắc chắn có xác suất bằng 1.

Khả năng xảy ra của biến cố không thể là 0%. Vậy biến cố không thể có xác suất bằng 0.

Ví dụ 3

Xác suất của biến cố A: “Ngày mai, Mặt Trời mọc ở phía Tây” bằng 0 vì A là biến cố không thể.
Xác suất của biến cố B: “Tháng Ba có ít hơn 32 ngày” bằng 1 vì B là biến cố chắc chắn.

Luyện tập 2

Dạng bài: Tính xác suất

Gieo đồng thời hai con xúc xắc. Tìm xác suất của các biến cố sau:
Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 13.
Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 1.

Xác suất của các biến cố đồng khả năng

Gieo một đồng xu cân đối. Xét hai biến cố sau:
A: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa".
B: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp".

Do đồng xu cân đối nên biến cố A và biến cố B có khả năng xảy ra như nhau. Ta nói hai biến cố A và B là đồng khả năng.

Vì chỉ xảy ra hoặc biến cố A hoặc biến cố B nên xác suất của biến cố A và xác suất của biến cố B bằng nhau và bằng $\frac{1}{2}$ (hay 50%).

Nếu chỉ xảy ra hoặc A hoặc B và hai biến cố A, B là đồng khả năng thì xác suất của chúng bằng nhau và bằng 0,5.

Đường thẳng số từ 0 đến 1, với

\frac{1}{2}

ở giữa. 0 ghi "Không thể", 1 ghi "Chắc chắn",

\frac{1}{2}

ghi "Đồng khả năng".

Ví dụ 4

Trong buổi liên hoan, lớp 7A tổ chức trò chơi Rút phiếu trúng thưởng. Cô giáo đã chuẩn bị 10 lá phiếu giống nhau ghi các số từ 1 đến 10, được gấp lại và đặt trong hộp. Mỗi bạn lần lượt rút ngẫu nhiên một lá phiếu và sẽ trúng thưởng nếu rút được phiếu ghi số 5. Bạn Mai rút phiếu đầu tiên. Tìm xác suất để Mai rút được lá phiếu trúng thưởng.

Hình/bảng: Hình ảnh hai cô gái đang rút phiếu từ một hộp.

Lời giải

Giải
Xét 10 biến cố sau:
$E_{1}$ : “Rút được lá phiếu ghi số 1";
$E_{2}$ : “Rút được lá phiếu ghi số 2";
$E_{3}$ “Rút được lá phiếu ghi số 3";
$E_{4}$ “Rút được lá phiếu ghi số $4^{''}$ ;
$E_{5}$ “Rút được lá phiếu ghi số $5^{''}$ ;
$E_{6}$ : “Rút được lá phiếu ghi số 6";
$E_{7}$ “Rút được lá phiếu ghi số 7";
$E_{8}$ : “Rút được lá phiếu ghi số $8^{''}$ ;
$E_{9}$ “Rút được lá phiếu ghi số $9^{''}$ ;
$E_{10}$ : “Rút được lá phiếu ghi số $10^{''}$ .
Vì Mai rút phiếu ngẫu nhiên nên khả năng xảy ra của mỗi biến cố E1, E2, ..., E10 là như nhau. Ta nói 10 biến cố này đồng khả năng. Mặt khác, trong mỗi lượt rút phiếu luôn xảy ra duy nhất một trong các biến cố này nên xác suất của chúng bằng nhau và bằng $\frac{1}{10}$ . Vậy xác suất để Mai rút được lá phiếu trúng thưởng là $\frac{1}{10}$ .

Trong một trò chơi hay thí nghiệm, nếu có k biến cố đồng khả năng và luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong k biến cố này thì xác suất của mỗi biến cố đó đều bằng $\frac{1}{k}$ .

Luyện tập 3

Dạng bài: Tính xác suất

Trong trò chơi Ô cửa bí mật, có ba ô cửa 1, 2, 3 và người ta đặt phần thưởng sau một ô cửa. Người chơi sẽ chọn ngẫu nhiên một ô cửa trong ba ô cửa và nhận phần thưởng sau ô cửa đó. Tìm xác suất để người chơi chọn được ô cửa có phần thưởng.

Hình/bảng: Hình ảnh ba ô cửa được đánh số 1, 2, 3, với một phần thưởng (túi tiền) sau ô cửa số 3.

Luyện tập 4

Dạng bài: Tính xác suất

Gieo một con xúc xắc được chế tạo cân đối.
Tìm xác suất để số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 2.

Hình/bảng: Hình ảnh một con xúc xắc.

Bài tập

8.4.

Dạng bài: Tính xác suất

Mai và Việt mỗi người gieo một con xúc xắc. Tìm xác suất của các biến cố sau:
a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn 1;
b) Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn 36.

Hình/bảng: Hình ảnh hai con xúc xắc.

8.5.

Dạng bài: Tính xác suất

Trước trận chung kết bóng đá World Cup năm 2010 giữa hai đội Hà Lan và Tây Ban Nha, để dự đoán kết quả người ta bỏ cùng loại thức ăn vào hai hộp giống nhau, một hộp có gắn cờ Hà Lan, một hộp gắn cờ Tây Ban Nha và cho Paul chọn hộp thức ăn. Người ta cho rằng nếu Paul chọn hộp gắn cờ nước nào thì đội bóng của nước đó thắng. Paul chọn ngẫu nhiên một hộp. Tính xác suất để Paul dự đoán đội Tây Ban Nha thắng.

Hình/bảng: Hình ảnh một quả bóng đá và hai hộp thức ăn có cờ Hà Lan và Tây Ban Nha.

8.6.

Dạng bài: Tính xác suất

Một tổ học sinh của lớp 7B có 5 bạn nam và 5 bạn nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên một bạn lên bảng để kiểm tra bài tập. Xét hai biến cố sau:
A: "Bạn được gọi là bạn nam và B: “Bạn được gọi là bạn nữ".
a) Hai biến cố A và B có đồng khả năng không? Vì sao?
b) Tìm xác suất của biến cố A và biến cố B.

8.7.

Dạng bài: Tính xác suất

Gieo một con xúc xắc được chế tạo cân đối. Tìm xác suất của các biến cố sau:
A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc nhỏ hơn 7";
B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 0";
C: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 6".

Luyện tập chung

Ví dụ

Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm sáu phần bằng nhau và ghi số 1; 2; 3; 4; 5; 6 (H.8.3), được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm.
Bạn Nam quay tấm bìa.
a) Tìm xác suất của các biến cố sau:

A: “Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số bé hơn 7";
B: “Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 0";
C: “Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 2".

b) Biết rằng nếu mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 1 hoặc 2 thì Nam nhận được 100 điểm; dừng ở hình quạt ghi số 3 hoặc 4 thì Nam nhận được 200 điểm; dừng ở hình quạt ghi số 5 hoặc 6 thì Nam nhận được 300 điểm. Xét các biến cố sau:
E: “Nam nhận được 100 điểm";
F: “Nam nhận được 200 điểm";
G: “Nam nhận được 300 điểm”.

Các biến cố E, F, G có đồng khả năng không? Vì sao?
Tìm xác suất của các biến cố E, F, G.

Hình/bảng: Hình 8.3: Vòng quay may mắn chia 6 phần bằng nhau, ghi số 1 đến 6. Mũi tên chỉ vào số 4.

Lời giải

Giải
a)

Biến cố A là biến cố chắc chắn, do đó có xác suất bằng 1.
Biến cố B là biến cố không thể, do đó có xác suất bằng 0.
Vì 6 hình quạt có diện tích bằng nhau nên 6 biến cố sau đồng khả năng:

“Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 1";
“Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số $2^{''}$ ;
“Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số $3^{''}$ ;
“Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số $4^{''}$ ;
“Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số $5^{''}$ ;
“Mũi tên dừng ở hình quạt ghi số $6^{''}$ .
Mặt khác, luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong sáu biến cố này.
Vậy xác suất của biến cố C là $\frac{1}{6}$
b)

Biến cố E xảy ra khi mũi tên dừng ở hình quạt OAB.

Biến cố F xảy ra khi mũi tên dừng ở hình quạt OBC.
Biến cố G xảy ra khi mũi tên dừng ở hình quạt OCA.
Vì ba hình quạt này có diện tích bằng nhau nên ba biến cố E, F, G là đồng khả năng.

Vì luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong ba biến cố này nên xác suất của biến cố E, F, G bằng nhau và bằng $\frac{1}{3}$

Bài tập

8.8.

Dạng bài: Phân loại biến cố

Một túi đựng các tấm thẻ được ghi số 9; 12; 15; 18; 21; 24. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong túi. Chọn từ thích hợp (chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên) thay vào dấu “?” trong các câu sau:

Biến cố A: “Rút được thẻ ghi số là số chẵn” là biến cố .?.
Biến cố B: “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 3" là biến cố.?.
Biến cố C: “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 10” là biến cố .?.

8.9.

Dạng bài: Tính xác suất

Vuông và Tròn mỗi người gieo một con xúc xắc.
Tìm xác suất để
a) Hiệu giữa số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6.
b) Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều bé hơn 7.

Hình/bảng: Hình ảnh hai con xúc xắc.

8.10.

Dạng bài: Tính xác suất

Trong một chiếc hộp có 15 quả cầu màu xanh, 15 quả cầu màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ trong hộp. Xét hai biến cố sau:
A: “Lấy được quả cầu màu đỏ” và B: “Lấy được quả cầu màu xanh".
a) Hai biến cố A và B có đồng khả năng không? Vì sao?
b) Tìm xác suất của biến cố A và biến cố B.

8.11.

Dạng bài: Tính xác suất

Chọn ngẫu nhiên một số trong bốn số 11; 12; 13 và 14. Tìm xác suất để
a) Chọn được số chia hết cho 5.
b) Chọn được số có hai chữ số.
c) Chọn được số nguyên tố.
d) Chọn được số chia hết cho 6.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 51–57).