Bài 33. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết liên hệ về độ dài của ba cạnh trong một tam giác.

Thuật ngữ: Bất đẳng thức tam giác

Một trạm biến áp và một khu dân cư ở hai bên bờ sông (H.9.14). Trên bờ sông phía khu dân cư, hãy tìm một địa điểm C để dựng một cột điện kéo điện từ cột điện A của trạm biến áp đến cột điện B của khu dân cư sao cho tổng độ dài dây dẫn điện cần sử dụng là ngắn nhất.

HĐ1

Cho hai bộ ba thanh tre nhỏ có độ dài như sau:Bộ thứ nhất: 10 cm, 20 cm, 25 cm;Bộ thứ hai: 5 cm, 15 cm, 25 cm.Em hãy ghép và cho biết bộ nào ghép được thành một tam giác.

Hình/bảng: Không phải ba độ dài nào cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác.

HĐ2

Với bộ ba thanh tre ghép lại được thành một tam giác trong HĐ1, em hãy so sánh độ dài của thanh bất kì với tổng độ dài của hai thanh còn lại.

Ta có thể chứng minh được định lí sau:

Định lí

Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

$r i a n g l e A B C$

$A B < A C + B C$ , $A C < A B + B C$ , $B C < A B + A C$ .

Ba hệ thức $A B < A C + B C$ , $A C < A B + B C$ , $B C < A B + A C$ , gọi là các bất đẳng thức tam giác.

Từ Định lí trên, người ta suy ra được tính chất sau:

Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.

Nhận xét

Nếu kí hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh tuỳ ý của một tam giác thì từ định lí và tính chất vừa nêu ta có: $b - c < a < b + c$ .

Tranh luận

Ba đoạn thẳng có độ dài 1 cm, 2 cm, 4 cm ghép được thành một tam giác vì $2 < 4 + 1$ .

Vuông sai rồi.

Ý kiến của em thì sao?

Chú ý

Để kiểm tra ba độ dài có là độ dài ba cạnh của một tam giác hay không, ta chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất có nhỏ hơn tổng hai độ dài còn lại hoặc độ dài nhỏ nhất có lớn hơn hiệu hai độ dài còn lại hay không.

Ví dụ

Hãy kiểm tra ba độ dài nào sau đây không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác. Với bộ ba còn lại, hãy vẽ tam giác nhận ba độ dài đó làm độ dài ba cạnh.a) 2 cm, 4 cm, 7 cm.b) 2 cm, 3 cm, 4 cm.

Hình/bảng: Hình 9.16: Tam giác ABC với các cạnh có độ dài 2, 3, 4.

Lời giải

a) Ta có: $2 + 4 = 6 < 7$ , ba độ dài 2 cm, 4 cm, 7 cm không thoả mãn một bất đẳng thức tam giác nên không là độ dài ba cạnh của một tam giác.b) Ta có: $2 > 4 - 3 = 1$ , ba độ dài 2 cm, 3 cm, 4 cm thoả mãn điều kiện trong chú ý trên nên đây có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.Ta dùng thước và compa vẽ được tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 2 cm, 3 cm, 4 cm như Hình 9.16 nên ba độ dài 2 cm, 3 cm, 4 cm đúng là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Luyện tập

Hỏi ba độ dài nào sau đây không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác? Vì sao? Hãy vẽ tam giác nhận ba độ dài còn lại làm độ dài ba cạnh.a) 5 cm, 4 cm, 6 cm.b) 3 cm, 6 cm, 10 cm.

Hình/bảng: Em hãy dùng Chú ý trên để kiểm tra nhé!

Vận dụng

Trở lại tình huống mở đầu, em hãy giải thích vì sao nếu dựng cột điện ở vị trí C trên đoạn thẳng AB thì tổng độ dài dây dẫn điện cần sử dụng là ngắn nhất (H.9.17).

Hình/bảng: Hình 9.17: Sơ đồ trạm biến áp A, khu dân cư B và sông với điểm C trên đoạn thẳng AB.

Bài tập

9.10

Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:a) 2 cm, 3 cm, 5 cm;b) 3 cm, 4 cm, 6 cm;c) 2 cm, 4 cm, 5 cm.Hỏi bộ ba nào không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác? Vì sao? Với mỗi bộ ba còn lại, hãy vẽ một tam giác có độ dài ba cạnh được cho trong bộ ba đó.

9.11

a) Cho tam giác ABC có $A B = 1$ cm và $B C = 7$ cm. Hãy tìm độ dài cạnh CA biết rằng đó là một số nguyên (cm).b) Cho tam giác ABC có $A B = 2$ cm, $B C = 6$ cm và BC là cạnh lớn nhất. Hãy tìm độ dài cạnh CA biết rằng đó là một số nguyên (cm).

9.12

Cho điểm M nằm bên trong tam giác ABC. Gọi N là giao điểm của đường thẳng AM và cạnh BC (H.9.18).a) So sánh MB với $M N + N B$ , từ đó suy ra $M A + M B < N A + N B$ .b) So sánh NA với $C A + C N$ , từ đó suy ra $N A + N B < C A + C B$ .c) Chứng minh $M A + M B < C A + C B$ .

Hình/bảng: Hình 9.18: Tam giác ABC với điểm M bên trong và N trên BC.

9.13

Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Cho M là một điểm nằm bên trong góc xOy mà khoảng cách từ M đến hai cạnh Ox, Oy của góc bằng nhau. Chứng minh rằng M nằm trên tia phân giác của góc xOy.

Hình/bảng: Hình 9.19: Góc xOy với điểm M bên trong và MH, MK vuông góc với các cạnh.

Lời giải

GT M nằm trong góc xOy, $M H ⊥ O x$ , $M K ⊥ O y$ , $M H = M K$ .KL M nằm trên tia phân giác của góc xOy.Chứng minh. Hai tam giác vuông OHM và OKM có:OM chung,MH = MK (gt).Vậy $△ O H M = △ O K M$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).Do đó $\hat{M O H} = \hat{M O K}$ , suy ra OM là tia phân giác của góc xOy.

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC. Hãy chứng minh $A B + A C > B C$ .

Hình/bảng: Hình 9.20: Tam giác ABC với điểm D trên tia đối của AB.

Lời giải

Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho $A D = A C$ .Trong tam giác BCD, ta so sánh BD và BC.Do tia CA nằm giữa hai cạnh CB và CD của góc BCD nên $\hat{B C D} > \hat{A C D}$ . (1)Mặt khác, theo cách dựng, tam giác ACD cân tại A nên $\hat{A C D} = \hat{A D C} = \hat{B D C}$ . (2)Từ (1) và (2) suy ra $\hat{B C D} > \hat{B D C}$ . (3)Trong tam giác BCD, từ (3) suy ra: $A B + A C = B D > B C$ (theo định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác).

Bài tập

9.14

Hãy giải thích: Nếu M là một điểm tuỳ ý nằm trên cạnh BC hoặc CD của hình vuông ABCD thì độ dài đoạn thẳng AM luôn lớn hơn hoặc bằng độ dài cạnh của hình vuông đó (H.9.21).

Hình/bảng: Hình 9.21: Hình vuông ABCD với điểm M trên cạnh BC.

9.15

Hỏi có tam giác nào với độ dài ba cạnh là 2,5 cm; 3,4 cm và 6 cm không? Vì sao?

9.16

Tính chu vi của tam giác cân biết hai cạnh của nó có độ dài là 2 cm và 5 cm.

9.17

Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 7 cm và 2 cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó theo xentimét là một số tự nhiên lẻ.

9.18

Biết hai cạnh của tam giác có độ dài a và b. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, hãy giải thích tại sao chu vi của tam giác đó lớn hơn 2a và nhỏ hơn $2 (a + b)$ .

9.19

Hai khu vườn A và B nằm về một phía của con kênh d. Hãy xác định bên bờ kênh cùng phía với A và B, một điểm C để đặt máy bơm nước từ kênh tưới cho hai khu vườn sao cho tổng độ dài đường ống dẫn nước từ máy bơm đến hai khu vườn là ngắn nhất (HD: Gọi B' là điểm sao cho d là đường trung trực của BB' (H.9.22). Khi đó $C B = C B^{'}$ . Xem Vận dụng, Bài 33).

Hình/bảng: Hình 9.22: Hai điểm A, B và đường thẳng d. Điểm B' đối xứng với B qua d.

EM CÓ BIẾT ?

Cho tam giác ABC. Ta có thể chứng minh bất đẳng thức tam giác $B C < A B + A C$ như sau:Xét ba trường hợp:• Trường hợp 1: Góc B là góc tù (H.9.23) hoặc góc vuông. Khi đó, trong tam giác ABC có B là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với nó là AC lớn nhất, từ đó $B C < A B + A C$ .• Trường hợp 2: Góc C là góc tù (H.9.24) hoặc góc vuông. Khi đó, C là góc lớn nhất. Tương tự trên, ta có: $B C < A B + A C$ .• Trường hợp 3: Cả hai góc B và C là góc nhọn. Kẻ AH vuông góc với BC (H.9.25). Xét hai tam giác vuông ABH và ACH có: $B H < A B$ , $H C < A C$ . Suy ra $B C = B H + H C < A B + H C < A B + A C$ .Vậy trong mọi trường hợp ta có $B C < A B + A C$ .

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 7 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 66–71).