Bài 8. Quan hệ chia hết và tính chất

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết quan hệ chia hết, khái niệm ước và bội.
Tìm các ước và bội của một số tự nhiên.
Nhận biết tính chia hết của một tổng cho một số.

Thuật ngữ: Chia hết · Ước · Bội

KHÁI NIỆM, THUẬT NGỮ

Chia hết Ước Bội

Trong đợt tổng kết học kì I, lớp 6A được Hội cha mẹ học sinh thưởng 50 cái bút. Trường lại thưởng thêm cho lớp 4 hộp bút nữa (số bút trong mỗi hộp là như nhau). Các bạn đề nghị chia đều phần thưởng cho 4 tổ. Nếu không biết số bút trong mỗi hộp, ta có thể chia đều số bút đó cho 4 tổ được không?

1. Quan hệ chia hết

Khi nào thì a chia hết cho b?

Trong hai số 15 và 16, số nào chia hết cho 3, số nào không chia hết cho 3? Số 15 chia hết cho 3 vì 15 : $3 = 5$ và không còn dư. Số 16 không chia hết cho 3 vì 16 chia 3 bằng 5 dư 1.

Cho hai số tự nhiên a và b $(b \neq 0) .$ Nếu có số tự nhiên k sao cho $a = k b$ thì ta nói a chia hết cho b và kí hiệu là aib. Nếu a không chia hết cho b ta kí hiệu là a b.

Ví dụ:

15:3; 16 3.

Tìm kí hiệu thích hợp ( , ) thay cho dấu "?": 2426 452 10 3525 4224.

Ví dụ 1

Nhân dịp sinh nhật, mẹ cho Việt 12 gói kẹo để liên hoan với các bạn, mỗi gói có 35 chiếc. Biết lớp Việt có 5 tổ, hỏi Việt có thể chia đều số kẹo cho các tổ không?

Hình/bảng: Hình ảnh người đang nhảy múa.

Lời giải

Giải Việt có số kẹo là 12-35. Vì 35 5 nên $(12 \cdot 35)$ :5, do đó Việt có thể chia đều số kẹo cho mỗi tổ. Trong một tích, nếu có một thừa số chia hết cho một số thì tích chia hết cho số đó.

Ước và bội

Sơ đồ 15:3, với 3 là ước của 15 và 15 là bội của 3.

Nếu a chia hết cho b, ta nói b là ước của a và a là bội của b.

Ta kí hiệu (a) là tập hợp các ước của a và B(b) là tập hợp các bội của b.

Bạn Vuông hay Tròn đúng nhỉ?

Hình/bảng: Hình ảnh hai nhân vật hoạt hình đang nói chuyện, một người nói '5 là ước của 15', người kia nói '6 là ước của 15'.

Cách tìm ước và bội

HĐ1

Lần lượt chia 12 cho các số từ 1 đến 12, em hãy viết tập hợp tất cả các ước của 12.

HĐ2

Bằng cách nhân 8 với 0; 1; 2;... em hãy viết các bội của 8 nhỏ hơn 80.

Muốn tìm các ước của a $(a > 1)$ , ta lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem a chia hết cho những số nào thì các số đó là ước của a. • Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lượt với 0; 1; 2; 3; ...

Ví dụ 2

a) Lần lượt chia 15 cho các số từ 1 đến 15, ta thấy 15 chia hết cho 1; 3; 5; 15 nên $U (15) = {1; 3; 5; 15}$ b) Lần lượt nhân 6 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6,... ta được các bội của 6 là: 0; 6; 12; 18; 24; 30; 36;... Các bội của 6 nhỏ hơn 30 là: 0; 6; 12; 18; 24.

Luyện tập 1

a) Hãy tìm tất cả các ước của 20; b) Hãy tìm tất cả các bội nhỏ hơn 50 của 4.

Thử thách nhỏ

Hãy tìm ba ước khác nhau của 12 sao cho tổng của chúng bằng 12.

2. Tính chất chia hết của một tổng

Trường hợp chia hết

HĐ3

Viết hai số chia hết cho 5. Tổng của chúng có chia hết cho 5 không?

HĐ4

Viết ba số chia hết cho 7. Tổng của chúng có chia hết cho 7 không?

Tính chất 1

Nếu tất cả các số hạng của một tồng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó. • Nếu a: m và bị m thì $(a + b)$ : m. • Nếu ai m, bim và cảm thì $(a + b + c)$ : m.

Chú ý.

Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu, chẳng hạn 30:3 và 18:3, suy ra $(30 - 18)$ :3.

Ví dụ 3

Không thực hiện phép tính, hãy cho biết $6 + 15 + 30$ có chia hết cho 3 không. Vì sao?

Lời giải

Giải Vì 6:3, 15:3 và 30: 3 nên $(6 + 15 + 30)$ : 3.

Luyện tập 2

Không thực hiện phép tính, hãy cho biết: a) $24 + 48$ có chia hết cho 4 không. Vì sao? b) $48 + 12 - 36$ có chia hết cho 6 không. Vì sao?

Vận dụng 1

Hãy tìm x thuộc tập {1; 14; 16; 22; 28}, biết tổng $21 + x$ chia hết cho 7.

Trường hợp không chia hết

HĐ5

Hãy viết hai số, trong đó một số chia hết cho 5 và số còn lại không chia hết cho 5. Tổng của chúng có chia hết cho 5 không?

HĐ6

Hãy viết ba số, trong đó hai số chia hết cho 4 và số còn lại không chia hết cho 4. Tổng của chúng có chia hết cho 4 không?

Tính chất 2

Nếu có một số hạng của một tồng không chia hết cho một số đã cho, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đã cho. • Nếu ai m và b m thì $(a + b) % m$ Nếu ai m, bị m và căm thì $(a + b + c) / m$

Chú ý.

Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu, chẳng hạn: 45:5 và 7 5, suy ra (45-7) 25; 15 4 và 8:4, suy ra (15-8) 24.

Ví dụ 4

Không thực hiện phép tính, hãy cho biết $5 + 45 + 2019$ có chia hết cho 5 không. Vì sao?

Lời giải

Giải Vì 5:5, 45:5 và 2019 5 nên $(5 + 45 + 2019)$ 5.

Ví dụ 5

Trở lại tình huống mở đầu, vì số bút trong các hộp bút bằng nhau nên tổng số bút trong 4 hộp là một số chia hết cho 4. Vì 50 không chia hết cho 4 nên tổng số bút lớp 6A được thưởng không chia đều được cho 4 tổ.

Hình/bảng: Hình ảnh các hộp bút chì và các bút chì.

Luyện tập 3

Không thực hiện phép tính, hãy cho biết: a) $20 + 81$ có chia hết cho 5 không. Vì sao? b) $34 + 28 - 12$ có chia hết cho 4 không. Vì sao?

Vận dụng 2

Tìm x thuộc tập {5; 25; 39; 54} sao cho tổng $20 + 45 + x$ không chia hết cho 5.

Tranh luận

Hai số không chia hết cho 4 thì tổng của chúng cũng không chia hết cho 4. Tớ thấy không đúng. Còn bạn thì sao?

Bài tập

2.1.

Hãy tìm các ước của mỗi số sau: 30; 35; 17.

2.2.

Trong các số sau, số nào là bội của 4? 16; 24; 35.

2.3.

Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: a) $x \in B (7)$ và $x < 70$ ; b) $y \in U (50)$ và $y > 5$ .

\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Số nhóm} & \text{Số người ở một nhóm} \\ \hline 4 & ? \\ \hline ? & 8 \\ \hline 6 & ? \\ \hline 8 & ? \\ \hline ? & 4 \\ \hline \end{array}

2.4.

Không thực hiện phép tính, hãy cho biết tổng nào sau đây chia hết cho 5: a) $15 + 1975 + 2019;$ b) $20 + 90 + 2025 + 2050.$

2.5.

Không thực hiện phép tính, hãy cho biết hiệu nào sau đây chia hết cho 8: a) 100-40; b) 80-16.

2.6.

Khẳng định nào sau đây là đúng? a) 219.7 + 8 chia hết cho 7; b) $8 \cdot 12 + 9$ chia hết cho 3.

2.7.

Cô giáo muốn chia đều 40 học sinh thành các nhóm để thực hiện các dự án học tập. Hoàn thành bảng sau vào vở (bỏ trống trong trường hợp không chia được).

2.8.

Đội thể thao của trường có 45 vận động viên. Huấn luyện viên muốn chia thành các nhóm để tập luyện sao cho mỗi nhóm có ít nhất 2 người và không quá 10 người. Biết rằng các nhóm có số người như nhau, em hãy giúp huấn luyện viên chia nhé.

2.9.

a) Tìm x thuộc tập {23; 24; 25; 26}, biết 56 x chia hết cho 8; b) Tìm x thuộc tập {22; 24; 45; 48}, biết 60 + x không chia hết cho 6.

Trường hợp không chia hết

Tính chất 2

Nếu có một số hạng của một tồng không chia hết cho một số đã cho, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đã cho.

Nếu a: m và b m thì $(a + b) % m$
Nếu a: m, b: m và c: m thì $(a + b + c) / m$

Tranh luận

Hai số không chia hết cho 4 thì tổng của chúng cũng không chia hết cho 4.
Tớ thấy không đúng.
Còn bạn thì sao?

Bài tập

2.6.

Dạng bài: Dấu hiệu chia hết

Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) $219 \cdot 7 + 8$ chia hết cho 7;
b) $8 \cdot 12 + 9$ chia hết cho 3.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 6 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 29–33).