Bài 10. Số nguyên tố – Toán 6 tập 1 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết khái niệm số nguyên tố và hợp số.
Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố trong những trường hợp đơn giản.

Thuật ngữ: Số nguyên tố · Hợp số

Mẹ mua một bó hoa có 11 bông hoa hồng. Bạn Mai giúp mẹ cắm các bông hoa này vào các lọ nhỏ sao cho số hoa trong mỗi lọ là như nhau. Mai nhận thấy không thể cắm đều số bông hoa này vào các lọ hoa (mỗi lọ có nhiều hơn 1 bông) cho dù số lọ hoa là 2; 3; 4; 5;... Nhưng nếu bỏ ra 1 bông còn 10 bông thì lại cắm đều được vào 2 lọ, mỗi lọ có 5 bông hoa.
Vậy, số 11 và số 10 có gì khác nhau, điều này có liên quan gì đến số các ước của chúng không?

1. Số nguyên tố và hợp số

Chia nhóm các số tự nhiên theo số ước

HĐ1

Tìm các ước và số ước của các số trong Bảng 2.1.

HĐ2

Hãy chia các số cho trong Bảng 2.1 thành hai nhóm: nhóm A gồm các số chỉ có hai ước, nhóm B gồm các số có nhiều hơn hai ước.

HĐ3

Suy nghĩ và trả lời câu hỏi:
a) Số 1 có bao nhiêu ước?
b) Số 0 có chia hết cho 2; 5; 7; 2 017; 2 018 không? Em có nhận xét gì về số ước của 0?

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

Số 0 và số 1 không là số nguyên tố và không là hợp số.

Bảng 2.1. Bảng 2.1 với các cột 'Số', 'Các ước', 'Số ước'. Các hàng: 2, ?, ?; 3, ?, ?; 4, ?, ?; 5, ?, ?; 6, ?, ?; 7, ?, ?; 8, ?, ?; 9, ?, ?; 10, 1; 2; 5; 10, 4; 11, 1;11, 2.

Luyện tập 1

Em hãy tìm nhà thích hợp cho các số trong Bảng 2.1.
Số nguyên tố 11;...
Hợp số 10;...

Hình/bảng: Hình ảnh hai ngôi nhà, một ghi 'Số nguyên tố' và một ghi 'Hợp số'.

Ví dụ 1

Số nào dưới đây là số nguyên tố, số nào là hợp số? Vì sao?
a) 1975;
b) 17.

Lời giải

a) Số 1 975 có tận cùng là 5 nên nó chia hết cho 5. Do đó, ngoài hai ước là 1 và 1975 nó còn có thêm ước là 5. Vậy, 1975 là hợp số.
b) Số 17 chỉ có hai ước là 1 và 17 nên nó là số nguyên tố.

Để khẳng định một số là hợp số, ta thường sử dụng các dấu hiệu chia hết để tìm ra một ước khác 1 và chính nó.

Luyện tập 2

Trong các số cho dưới đây, số nào là số nguyên tố, số nào là hợp số? Vì sao?
a) 1 930;
b) 23.

Thử thách nhỏ

Bạn Hà đang ở ô tìm đường đến phòng chiếu phim Biết rằng chỉ có thể đi từ một ô sang ô chung cạnh có chứa số nguyên tố. Em hãy giúp Hà đến được phòng chiếu phim nhé.

Hình/bảng: Mê cung với các ô chứa số: 2000, 43, 135, 105, 111, 89, 104, 29, 251, 31, 41, 57, 73, 423, 23, 1945, 17, 62, 102, 13, 11, 81, 2, 71, 7, 19, 35, 1954, 51, 63, 5, 2018, 53, 37, 1975. Điểm cuối là RAP CHIẾU PHIM.

Để biết một số tự nhiên nhỏ hơn 1.000 có là số nguyên tố hay không, bạn có thể tra bảng số nguyên tố ở cuối sách.

2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tổ

Sơ đồ phân tích số 12 thành 2 và 6. Số 2 được khoanh tròn là số nguyên tố.

Phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố

Mọi hợp số đều có thể phân tích được thành tích của các thừa số nguyên tố. Ví dụ, ta phân tích số 24 như sau:

Ta nói rằng ta đã phân tích số 24 ra thừa số nguyên tố, được kết quả
$24 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ và được viết gọn là $24 = 2^{3} \cdot 3$

Người ta quy ước dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố là chính nó.
Khi phân tích một số ra thừa số nguyên tố, trong kết quả ta thường viết các thừa số theo thứ tự từ bé đến lớn và viết tích các thừa số giống nhau dưới dạng luỹ thừa.

Bạn Việt phân tích số 60 ra thừa số nguyên tố và cho kết quả $60 = 3 \cdot 4 \cdot 5$ . Kết quả của Việt đúng hay sai? Nếu sai, em hãy sửa lại cho đúng.

Tranh luận

Bạn nào đúng nhỉ?
Số 7 không phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố.
Phân tích ra thừa số nguyên tố của số 7 là 7.

Phương pháp phân tích theo sơ đồ cây

Quá trình phân tích số 24 ra thừa số nguyên tố như trên có thể được trình bày dưới dạng một sơ đồ như Hình 2.1 gọi là sơ đồ cây.
Số 24 còn có thể phân tích ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cây khác như Hình 2.2.
Vậy, $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^{3} \cdot 3.$

Tìm các số còn thiếu trong phân tích số 18 ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cây ở Hình 2.3.

Hình/bảng: Hình 2.3: Sơ đồ cây phân tích số 18 thành 3 và ?, sau đó ? thành 2 và ?.

Phương pháp phân tích theo sơ đồ cột

Ta còn có thể phân tích một số ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cột. Ví dụ, ta phân tích số 24 thành tích các thừa số nguyên tố theo cách làm như sau:
24 2
12 2
6 2
3 3
1
24: $2 = 12$ 2 là ước nguyên tố nhỏ nhất của 24
12: $2 = 6$ 2 là ước nguyên tố nhỏ nhất của 12
6: $2 = 3$ 2 là ước nguyên tố nhỏ nhất của 6
3 là ước nguyên tố nhỏ nhất của 3
Vậy, $24 = 2^{3} \cdot 3$
Sơ đồ phân tích số 24 thành tích các thừa số nguyên tố như trên được gọi là sơ đồ cột.

Nhận xét

Trong hai cách phân tích số 24 ra thừa số nguyên tố, nếu viết các thừa số nguyên tố theo thứ tự từ bé đến lớn và tích các thừa số nguyên tố giống nhau dưới dạng luỹ thừa thì dù phân tích bằng cách nào, ta cũng nhận được cùng một kết quả.

Tìm các số còn thiếu trong phân tích số 30 ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cột ở hình bên.

Hình/bảng: Sơ đồ cột phân tích số 30: 30 chia 2 được ?, ? chia 3 được 5, 5 chia 5 được 1.

Ví dụ 2

Phân tích số 70 ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cột.
Vậy, $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7.$

Lời giải

70 2
35 5
7 7
1

Luyện tập 3

Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cột:
a) 36;
b) 105.

Bài tập

2.17.

Dạng bài: Phân tích thừa số nguyên tố

Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 70; 115.

2.18.

Dạng bài: Phân tích thừa số nguyên tố

Kết quả phân tích các số 120; 102 ra thừa số nguyên tố của bạn Nam như sau:
$120 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$ ; $102 = 2 \cdot 51$
Theo em, kết quả của Nam đúng hay sai? Nếu sai, em hãy sửa lại cho đúng.

2.19.

Dạng bài: Số nguyên tố, hợp số

Các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
a) Ước nguyên tố của 30 là 5 và 6;
b) Tích của hai số nguyên tố bất kì luôn là số lẻ;
c) Ước nguyên tố nhỏ nhất của số chẵn là 2;
d) Mọi bội của 3 đều là hợp số;
e) Mọi số chẵn đều là hợp số.

2.20.

Dạng bài: Xác định số nguyên tố/hợp số

Kiểm tra xem các số sau là số nguyên tố hay hợp số bằng cách dùng dấu hiệu chia hết hoặc tra bảng số nguyên tố:
89; 97; 125; 541; 2013; 2018.

2.21.

Dạng bài: Phân tích thừa số nguyên tố

Hãy phân tích A ra thừa số nguyên tố:
$A = 4^{4} \cdot 9^{5}$

2.22.

Dạng bài: Phân tích thừa số nguyên tố

Tìm các số còn thiếu trong các sơ đồ phân tích một số ra thừa số nguyên tố sau:
a)
b)

Hình/bảng: Sơ đồ cây a) phân tích 210 thành 2 và ?, sau đó ? thành 3 và ?, cuối cùng ? thành 5 và 7. Sơ đồ cây b) phân tích 35 thành 7 và ?, sau đó ? thành 2 và 3, cuối cùng ? thành 3 và ?.

2.23.

Dạng bài: Tìm ước

Một lớp có 30 học sinh. Cô giáo muốn chia lớp thành các nhóm để thực hiện các dự án học tập nhỏ. Biết rằng, các nhóm đều có số người bằng nhau và có nhiều hơn 1 người trong mỗi nhóm. Hỏi mỗi nhóm có thể có bao nhiêu người?

2.24.

Dạng bài: Tìm ước

Trong nghi lễ thượng cờ lúc 6 giờ sáng và hạ cờ lúc 21 giờ hằng ngày ở Quảng trường Ba Đình, đội tiêu binh có 34 người gồm 1 sĩ quan chỉ huy đứng đầu và 33 chiến sĩ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 33 chiến sĩ thành các hàng, sao cho mỗi hàng có số người như nhau?

Hình ảnh lễ thượng cờ tại Quảng trường Ba Đình.

EM CÓ BIẾT?

Sàng Eratosthenes (đọc là O-ra-tô-xten) là một thuật toán cổ để tìm các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng một số tự nhiên N cho trước. Thuật toán này dựa theo ý tưởng của nhà toán học cổ Hi Lạp là Eratosthenes. Chẳng hạn, để tìm các số nguyên tố nhỏ hơn 50, ta làm như sau:
Bước 1. Lập bảng các số từ 1 đến 50.
Bước 2. Gạch bỏ số 1. Ta có 2 là số nguyên tố. Gạch tất cả các số lớn hơn 2 và là bội của 2.
Bước 3. Số nguyên tố tiếp theo là 3. Gạch tất cả các số lớn hơn 3 và là bội của 3.
Bước 4. Số nguyên tố tiếp theo là 5. Gạch tất cả các số lớn hơn 5 và là bội của 5.
Bước 5. Số nguyên tố tiếp theo là 7. Gạch tất cả các số lớn hơn 7 và là bội của 7.
Các số không bị gạch trong bảng chính là các số nguyên tố.
Cách làm như trên giống như việc dùng một cái sàng để loại bỏ số 1 và các hợp số. Do đó nó có tên là sàng Eratosthenes.
Eratosthenes sinh năm 276 trước Công nguyên.

Ví dụ 1

Đội văn nghệ có 36 bạn, được xếp thành các hàng có số người bằng nhau. Hỏi có thể có những cách xếp hàng nào, biết mỗi hàng có từ 3 đến 12 bạn?

Hình/bảng: Bảng với hai hàng 'Số bạn ở mỗi hàng' và 'Số hàng', và các cột 3, 4, 6, 9, 12.

Lời giải

Do xếp 36 bạn thành các hàng đều nhau nên số bạn trong mỗi hàng phải là ước của 36.
Ta có $U (36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}$
Vì mỗi hàng có từ 3 đến 12 bạn nên số bạn trong mỗi hàng chỉ có thể là: 3; 4; 6; 9; 12.
Do đó, ta có 5 cách xếp thoả mãn yêu cầu đề bài, cụ thể:
Số bạn ở mỗi hàng
3
4
6
9
12
Số hàng
12
9
6
4
3

Ví dụ 2

Sử dụng dấu hiệu chia hết, hãy cho biết số 1872 có chia hết cho 2; 3; 5; 9; 10 không.

Lời giải

1872 có chữ số tận cùng là số chẵn nên 1872:2.
1872 có tổng các chữ số là $1 + 8 + 7 + 2 = 18$ và 18:3, nên 1872:3.
Chữ số tận cùng của 1 872 khác 0 và 5 nên 187275.
1872 có tổng các chữ số là 18 và 18:9, nên 1872:9.
Chữ số tận cùng của 1872 khác 0 nên 1 872 10.

Ví dụ 3

Phân tích số 140 thành tích các thừa số nguyên tố theo sơ đồ cây và sơ đồ cột.

Hình/bảng: Sơ đồ cây phân tích 140 thành 5 và 28, sau đó 28 thành 2 và 14, 14 thành 2 và 7. Sơ đồ cột phân tích 140.

Lời giải

Sơ đồ cây
140
5
28
2
2
Vậy $140 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 7.$
Sơ đồ cột
140 2
70 2
35 5
7 7
1
Vậy $140 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 7.$

Bài tập

2.25.

Dạng bài: Dấu hiệu chia hết

Từ các chữ số 5; 0; 1; 3, viết các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau thoả mãn:
a) Các số đó chia hết cho 5;
b) Các số đó chia hết cho 3.

2.26.

Dạng bài: Phân tích thừa số nguyên tố

Hãy phân tích các số A, B ra thừa số nguyên tổ:
$A = 4^{2} \cdot 6^{3};$
$B = 9^{2} \cdot 15^{2} .$

2.27.

Dạng bài: Dấu hiệu chia hết

Tìm các số tự nhiên x không vượt quá 22 sao cho:
a) $100 - x$ chia hết cho 4;
b) $18 + 90 + x$ chia hết cho 9.

2.28.

Dạng bài: Tìm ước

Lớp 6B có 40 học sinh. Để thực hiện dự án học tập nhỏ, cô giáo muốn chia lớp thành các nhóm có số người như nhau, mỗi nhóm nhiều hơn 3 người. Hỏi mỗi nhóm có thể có bao nhiêu người?

2.29.

Dạng bài: Số nguyên tố

Hai số nguyên tố được gọi là sinh đôi nếu chúng hơn kém nhau 2 đơn vị. Ví dụ 17 và 19 là hai số nguyên tố sinh đôi. Em hãy liệt kê hết các cặp các số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 40.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 6 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 38–43).