Bài tập ôn tập cuối năm

1

Dạng bài: Công thức lượng giác

Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$
B. $\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha \mathrm{.}$
C. $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
D. $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$.

2

Dạng bài: Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số $y=\sin x$ tuần hoàn với chu kì $\pi \mathrm{.}$
B. Hàm số $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi \mathrm{.}$
C. Hàm số $y=\tan x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$
D. Hàm số $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi \mathrm{.}$

3

Dạng bài: Dãy số

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=5^n\mathrm{.}$ Số hạng $u_{2n}$ bằng
A. $2\cdot 5^n\mathrm{.}$
B. ${25}^n\mathrm{.}$
C. ${10}^n$
D. $5^{n^2}\mathrm{.}$

4

Dạng bài: Dãy số tăng

Hãy cho biết dãy số $(U_n)$ nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát của nó là
A. $\frac{1}{n^2+1}\mathrm{.}$
B. $2^{-n}\mathrm{.}$
C. ${\log }_{\frac{1}{2}}n\mathrm{.}$
D. $\frac{n}{n+1}\mathrm{.}$

5

Dạng bài: Giới hạn

Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L\ge 0$ thì ${\lim }_{x\to x_0}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$
B. ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}=-\mathrm{\infty }\mathrm{.}$
C. Nếu $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$ thì ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}{q}^n=0.$
D. ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{\sin n}{n+1}=0.$

6

Dạng bài: Tính liên tục của hàm số

Hàm số nào dưới đây không liên tục trên $\mathbb{R}$?
A. $y=\tan x$.
B. $y=\frac{2x^2+3x-1}{x^2+1}\mathrm{.}$
C. $y=\sin x$.
D. $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\mathrm{.}$

7

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức logarit

Cho $0<a\mathrm{\ne }1.$ Giá trị của biểu thức ${\log }_a(a^3\cdot \sqrt[4]{a})+(\sqrt[3]{a}{)}^{{\log }_{a}a}$ bằng
A. $\frac{19}{4}\mathrm{.}$
B. 9.
C. $\frac{21}{4}\mathrm{.}$
D. $\frac{47}{12}\mathrm{.}$

8

Dạng bài: Đồ thị hàm số mũ

Cho đồ thị ba hàm số mũ $y=a^x$ $y=b^x$ và $y=c^x$ như trong hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a>c>b$
B. $b>a>c$.
C. $c>a>b,$
D. $c>b>a$.

Hình/bảng: Đồ thị ba hàm số mũ $y=a^x$, $y=b^x$, $y=c^x$ cắt nhau tại (0,1). Đường $y=b^x$ dốc nhất, $y=c^x$ dốc thứ hai, $y=a^x$ dốc ít nhất (hoặc giảm).

9

Dạng bài: Tính đạo hàm cấp hai

Nếu $f(x)={\sin }^{2}x+x{e}^{2x}$ thì $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$ bằng
A. 4.
B. 5.
C. 6.
D. 0.

10

Dạng bài: Viết phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=-2x^3+6x^2-5$ tại điểm $M(3;-5)$ thuộc đồ thị là
A. $y=18x+49$ B. $y=18x-49$. C. $y=-18x-49$. D. $y=-18x+49$.

11

Dạng bài: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và $SA\perp (ABC)$, $SA=a\sqrt{2}\mathrm{.}$ Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
A. $\frac{6a}{11}\mathrm{.}$
B. $\frac{a\sqrt{66}}{11}\mathrm{.}$
C. $\frac{a\sqrt{6}}{11}\mathrm{.}$
D. $\frac{a\sqrt{1}1}{11}\mathrm{.}$

12

Dạng bài: Thể tích hình hộp

Cho hình hộp $ABCD\mathrm{.}{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$ có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết $AC=A{A}^{\mathrm{\prime }}=2a\mathrm{.}$ Giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp $ABCD\mathrm{.}{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$ bằng
A. $8a^3$
B. $6a^3$
C. $4a^3$.
D. $a^3$.

13

Dạng bài: Thể tích khối chóp

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và cạnh AD. Thể tích khối chóp B.CMND bằng
A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\mathrm{.}$
B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{16}\mathrm{.}$
C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{24}\mathrm{.}$
D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{8}\mathrm{.}$

14

Dạng bài: Thể tích lăng trụ

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có $AB=1,A{A}^{\mathrm{\prime }}=2$ Thể tích khối lăng trụ $ABC\mathrm{.}{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ bằng
A $\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{6}\mathrm{.}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{8}\mathrm{.}$

15

Dạng bài: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có $A{C}^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{3}$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{B}^{\mathrm{\prime }}$ và BC' bằng
A. $\frac{1}{3}\mathrm{.}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}\mathrm{.}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$
D. $\frac{1}{2}$

16

Dạng bài: Xác định nhóm chứa trung vị

Nhóm chứa trung vị là
A. [5; 10).
Β. [10; 15).
C. [15; 20).
D. [20; 25).

17

Dạng bài: Xác định nhóm chứa mốt

Nhóm chứa mốt là
Α. [5; 10).
Β. [10; 15).
C. [15; 20).
D. [20; 25).

18

Dạng bài: Xác suất

Vận động viên Tùng thì bắn súng. Biết rằng xác suất để Tùng bắn trúng vòng 10 là 0,2. Mỗi vận động viên được bắn hai lần và hai lần bắn là độc lập. Vận động viên đạt huy chương vàng nếu cả hai lần bắn trúng vòng 10. Xác suất để vận động viên Tùng đạt huy chương vàng là
A. 0,04.
B. 0,035.
C. 0,05.
D. 0,045.

19

Dạng bài: Xác suất

Hai bạn Sơn và Tùng, mỗi người gieo một con xúc xắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc của Sơn và Tùng lớn hơn 1 là
A. $\frac{27}{36}\mathrm{.}$
B. $\frac{25}{36}\mathrm{.}$
C. $\frac{26}{35}\mathrm{.}$
D. $\frac{28}{37}\mathrm{.}$

20

Dạng bài: Xác suất

Hai bạn An và Bình tham gia một trò chơi độc lập với nhau. Xác suất đề An và Bình giành giải thưởng tương ứng là 0,8 và 0,6. Xác suất để có ít nhất một bạn giành giải thưởng là
A. 0,94.
B. 0,924.
C. 0,92.
D. 0,93.

21

Dạng bài: Rút gọn biểu thức lượng giác

Rút gọn các biểu thức sau:
a) $A=\frac{1-2{\sin }^{2}x}{1+\sin 2x}-\frac{1-\tan x}{1+\tan x};$
b) $B=\frac{\sin 4x}{1+\cos 4x}\cdot \frac{\cos 2x}{1+\cos 2x}-\cot (\frac{3\pi }{2}-x)$
c) $C=2({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x)\sin 2x\mathrm{.}$

22

Dạng bài: Ứng dụng hàm số lượng giác

Mùa xuân ở hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún cây đu sẽ đưa người chơi dao động qua lại quanh vị trí cân bằng. Giả sử khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được tỉnh theo thời gian t ($t\ge 0$ và được tính bằng giây) bởi hệ thức $h=\mathrm{\mid }d\mathrm{\mid }$ với $d=3\cos [\frac{\pi }{3}(2t-1)]$ trong đó ta quy ước rằng $d>0$ khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và $d<0$ trong trường hợp ngược lại.
a) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.
b) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 m (tính chính xác đến 0,01 giây).

Hình/bảng: Hình vẽ minh họa trò chơi đu, với người chơi ở vị trí cân bằng và độ cao h.

23

Dạng bài: Cấp số cộng và cấp số nhân

Cho cấp số nhân $(u_n)$ biết rằng ba số $u_4$ và $u_7$ lần lượt là các số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có công sai $d\mathrm{\ne }0$ Hãy tìm công bội q của cấp số nhân đó.

24

Dạng bài: Bài toán tài chính

Một công ty đề xuất kí hợp đồng với một người lao động theo một trong hai loại hợp đồng sau:
Hợp đồng A: Lương 200 triệu đồng cho năm đầu tiên và sau mỗi năm tăng thêm 10 triệu đồng.
Hợp đồng B: Lương 180 triệu đồng cho năm đầu tiên và sau mỗi năm tăng thêm 5%.

25

Dạng bài: Tính giới hạn

Tính các giới hạn sau:
a) ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{1+3+5+\cdot \cdot \cdot +(2n-1)}{n^2+2n+3}$
b) ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}(1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\cdot \cdot \cdot +\frac{2^n}{3^n});$
c) ${\lim }_{x\to -2}\frac{2x^2+3x-2}{x^2-4}$
d) ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}(\sqrt{4x^2+x+1}+2x)$ .

26

Dạng bài: Tìm tham số để hàm số liên tục

Tìm các giá trị của tham số m đề:
a) Hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+4x+3}{x+1}& khix\mathrm{\ne }-1\\ m^2& khix=-1\end{array}$ liên tục tại điểm $x=-1;$
b) Hàm số $g(x)=\{\begin{array}{ll}2x+m& khix\le 1\\ \frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}khix>1\end{array}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

27

Dạng bài: Giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) $3^{\frac{1}{x}}=4;$
b) $2^{x^2-3x}=4$;
c) ${\log }_4(x+1)+{\log }_4(x-3)=3$;
d) $(\frac{1}{5}{)}^{x^2-2x}\ge \frac{1}{125};$
e) $(2-\sqrt{3}{)}^x\le (2+\sqrt{3}{)}^{x+2};$ f) $\log (3x^2+1)>\log (4x)$ .

28

Dạng bài: Tính toán liên quan pH

Để xác định tính acid và tính bazơ của các dung dịch, người ta sử dụng khái niệm độ pH. Độ pH của một dung dịch được cho bởi công thức $pH=-\log [H^{+}],$ trong đó $[H^{+}]$ là nồng độ của ion hydrogen (tinh bằng mol/lít).
a) Tính độ pH của một dung dịch có nồng độ ion hydrogen là 0,1 mollit.
b) Độ pH sẽ biến đổi như thế nào nếu nồng độ ion hydrogen giảm?
c) Xác định nồng độ ion hydrogen trong bia biết độ pH của bia là khoảng 4,5.

29

Dạng bài: Tính đạo hàm

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y=3x^2-2\sqrt{x}$
b) $y=\sqrt{1+2x-x^2}$
c) $y=\tan \frac{x}{2}-\cot \frac{x}{2};$
d) $y=e^{ex}+\ln x^2$.

30

Dạng bài: Phân tích chuyển động

Một chất điềm chuyển động có phương trình $s(t)=t^3-3t^2-9t+2,$ ở đó thời gian $t>0$ tính bằng giây và quãng đường s tính bằng mét.
a) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t=2$ giây.
b) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t=3$ giây.
c) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng 0.
d) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc bằng 0.

31

Dạng bài: Hình học không gian

Cho tứ diện OABC có $OA=OB=OC=a$, $\widehat{AOB}=\overline{AOC}={60}^{\circ }$ và $\overline{BOC}={90}^{\circ }$.
a) Chứng minh rằng (OBC) $\perp$ (ABC).
b) Tính theo a khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) và thể tích khối tứ diện OABC.

32

Dạng bài: Hình học không gian

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA $\perp$ (ABCD) và $SA=a\sqrt{2}\mathrm{.}$ Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC, cắt các cạnh SC, SB, SD lần lượt tại M, E, F.
a) Chứng minh rằng AE $\perp$ (SBC).
b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và hình chóp S.AEMF.

33

Dạng bài: Hình học không gian

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC\mathrm{.}{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ có $AB=a,A{A}^{\mathrm{\prime }}=a\sqrt{2}\mathrm{.}$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BB' và CC'. Mặt phẳng (A'MN) cắt đường thẳng AB, AC tương ứng tại H và K.
a) Chứng minh rằng MN $\parallel$ HK.
b) Tính theo a thể tích khối chóp A'.AHK.

34

Dạng bài: Hình học không gian

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\widehat{BAD}={60}^{\circ }$. Biết SA $\perp$ (ABCD) và $SA=a$.
a) Chứng minh rằng BD $\perp$ SC
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thằng BD và SC.

35

Dạng bài: Hình học không gian

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AD=a,AB=a\sqrt{2}\mathrm{.}$ Biết SA$\perp$ (ABCD) và $SA=a\sqrt{3}$ Gọi M là trung điềm của cạnh CD.
a) Chứng minh rằng BD $\perp$ (SAM).
b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMD.

36

Dạng bài: Thống kê

Trong đại dịch Covid-19, một doanh nghiệp muốn hỗ trợ các gia đình thuộc nhóm 25% hộ gia đình có thu nhập thấp nhất ở một địa phương. Một mẫu số liệu ghép nhóm về thu nhập của các hộ gia đình ở địa phương này được cho trong bảng sau:

37

Dạng bài: Xác suất

Hai bạn Dũng và Cường tham gia một kì thi học sinh giỏi môn Toán. Xác suất để Dũng và Cường đạt giải tương ứng là 0,85 và 0,9. Tính xác suất để:
a) Có ít nhất một trong hai bạn đạt giải;
b) Có đúng một bạn đạt giải.

38

Dạng bài: Xác suất

Một máy bay có 4 động cơ trong đó 2 động cơ ở cánh phải và 2 động cơ ở cánh trái. Chuyến bay hạ cánh an toàn khi trên mỗi cánh của nó có ít nhất một động cơ không bị lỗi. Giả sử mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị lỗi là 0,01 và mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị lỗi là 0,015. Các động cơ hoạt động độc lập với nhau. Tính xác suất đề chuyến bay hạ cánh an toàn.