Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

Giải. (H.7.3)
Vì CD// AB nên $(A{A}^{\mathrm{\prime }},CD)=(A{A}^{\mathrm{\prime }},AB)={90}^{\circ }$. Tứ giác ACC'A' có các cặp cạnh đối bằng nhau nên nó là một hình bình hành. Do đó, A'C' // AC. Vậy $(A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }},BD)=(AC,BD)={90}^{\circ }$.
Tương tự, DC' // AB'. Vậy $(AC,D{C}^{\mathrm{\prime }})=(AC,A{B}^{\mathrm{\prime }})$. Tam giác AB'C có ba cạnh bằng nhau (vì là các đường chéo của các hình vuông có độ dài cạnh bằng nhau) nên nó là một tam giác đều. Từ đó, $(AC,D{C}^{\mathrm{\prime }})=(AC,A{B}^{\mathrm{\prime }})={60}^{\circ }$.

Giải.
a) Hai đường thẳng AC và B'D' lần lượt thuộc hai mặt phẳng song song (ABCD) và (A'B'C'D') nên chúng không có điểm chung, tức là chúng không thể trùng nhau hoặc cắt nhau.
Tứ giác BDD'B' có hai cạnh đối BB' và DD' song song và bằng nhau nên nó là một hình bình hành. Do đó B'D' song song với BD. Mặt khác, BD không song song với AC nên B'D' không song song với AC.
Từ những điều trên suy ra AC và B'D' chéo nhau.

b) Do B'D' song song với BD nên (AC, B'D') = (AC, BD). Do đó, AC và B'D' vuông góc với nhau khi và chỉ khi AC và BD vuông góc với nhau. Do ABCD là hình bình hành nên AC vuông góc với BD khi và chỉ khi ABCD là hình thoi.