Bài tập cuối chương VI

6.27

Dạng bài: Tính chất lũy thừa

Cho hai số thực dương x, y và hai số thực $\alpha$, $\beta$ tuỳ ý. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $X^{\alpha }\cdot X^{\beta }=X^{\alpha +\beta }$.
B. $x^{\alpha }\cdot y^{\beta }=(xy{)}^{\alpha +\beta }$.
C. ${(x^{\alpha })}^{\beta }=x^{\alpha \cdot \beta }$.
D. $(xy{)}^{\alpha }=x^{\alpha }\cdot y^{\alpha }$.

6.28

Dạng bài: Rút gọn biểu thức lũy thừa

Rút gọn biểu thức $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}:x^{\frac{5}{8}}(x>0)$ ta được
A. $\sqrt[4]{x}$.
B. $\sqrt{x}$.
C. $\sqrt[3]{x}$.
D. $\sqrt[5]{x}$.

6.29

Dạng bài: Tính chất lôgarit

Cho hai số thực dương a, b với $a\mathrm{\ne }1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ${\log }_a(a^3{b}^2)=3+{\log }_{a}b$.
B. ${\log }_a(a^3{b}^2)=3+2{\log }_{a}b$.
C. ${\log }_a(a^3{b}^2)=\frac{3}{2}+{\log }_{a}b$.
D. ${\log }_a(a^3{b}^2)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}{\log }_{a}b$.

6.30

Dạng bài: Tính chất lôgarit

Cho bốn số thực dương a, b, x, y với a, $b\mathrm{\ne }1$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{b}y$.
B. ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$.
C. ${\log }_a\frac{1}{x}=\frac{1}{{\log }_{a}x}$.
D. ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}x={\log }_{a}x$.

6.31

Dạng bài: Biểu diễn lôgarit theo các lôgarit khác

Đặt ${\log }_{2}5=a,$ ${\log }_{3}5=b\mathrm{.}$ Khi đó, ${\log }_{6}5$ tính theo a và b bằng
A. $\frac{ab}{a+b}$.
B. $\frac{1}{a+b}$.
C. $a^2+b^2$.
D. $a+b$.

6.32

Dạng bài: Tính chất hàm số mũ

Cho hàm số $y=2^x\mathrm{.}$ Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
B. Tập giá trị của hàm số là $(0;+\mathrm{\infty })$.
C. Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại đúng một điểm.
D. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

6.33

Dạng bài: Tính đơn điệu của hàm số mũ và lôgarit

Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?
A. $y={\log }_{0,5}x$.
B. $y=e^{-x}$.
C. $y=(\frac{1}{3}{)}^x$.
D. $y=\ln x$.

6.34

Dạng bài: So sánh cơ số dựa trên đồ thị hàm số lôgarit

Cho đồ thị ba hàm số $y={\log }_{a}x$, $y={\log }_{b}x$ và $y={\log }_{c}x$ như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $a>b>c$.
B. $b>a>c$.
C. $a>b>c$.
D. $b>c>a$.

Hình/bảng: Đồ thị ba hàm số lôgarit $y=\log_a x$, $y=\log_b x$, $y=\log_c x$. Đồ thị $y=\log_a x$ và $y=\log_b x$ đồng biến, $y=\log_c x$ nghịch biến. Đồ thị $y=\log_a x$ nằm trên $y=\log_b x$ khi $x>1$.

6.35

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức lôgarit

Cho $0<a\mathrm{\ne }1$. Tính giá trị của biểu thức $B={\log }_a(\frac{a^2\cdot \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}})+a^{2{\log }_a\frac{\sqrt{105}}{30}}$.

6.36

Dạng bài: Giải phương trình mũ và lôgarit

Giải các phương trình sau:
a) $3^{1-2x}=4^x$;
b) ${\log }_3(x+1)+{\log }_3(x+4)=2$.

6.37

Dạng bài: Tìm tập xác định của hàm số

Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\sqrt{4^x-2^{x+1}}$;
b) $y=\ln (1-\ln x)$.

6.38

Dạng bài: Ứng dụng hàm số mũ (lạm phát)

Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là 5% một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất 5% của 1 triệu đồng, tức là 50 000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là r% một năm thì tổng số tiền P ban đầu, sau n năm số tiền đó chỉ còn giá trị là
$A=P\cdot (1-\frac{r}{100}{)}^n$.
a) Nếu tỉ lệ lạm phát là 8% một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại bao nhiêu?
b) Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn là 90 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?
c) Nếu tỉ lệ lạm phát là 5% một năm thì sau bao nhiêu năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa?

6.39

Dạng bài: Ứng dụng hàm số mũ (tăng trưởng sinh học)

Giả sử quá trình nuôi cấy vi khuẩn tuân theo quy luật tăng trưởng tự do. Khi đó, nếu gọi $N_0$ là số lượng vi khuẩn ban đầu và $N(t)$ là số lượng vi khuẩn sau t giờ thì ta có:
$N(t)=N_0{e}^{rt}$,
trong đó r là tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn mỗi giờ.
Giả sử ban đầu có 500 con vi khuẩn và sau 1 giờ tăng lên 800 con. Hỏi:
a) Sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là khoảng bao nhiêu con?
b) Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi?

6.40

Dạng bài: Ứng dụng hàm số lôgarit (luật Benford)

Vào năm 1938, nhà vật lí Frank Benford đã đưa ra một phương pháp để xác định xem một bộ số đã được chọn ngẫu nhiên hay đã được chọn theo cách thủ công. Nếu bộ số này không được chọn ngẫu nhiên thì công thức Benford sau sẽ được dùng ước tính xác suất P để chữ số d là chữ số đầu tiên của bộ số đó: $P=\log \frac{d+1}{d}$. (Theo F. Benford, The Law of Anomalous Numbers, Proc. Am. Philos. Soc. 78 (1938), 551-572).
Chẳng hạn, xác suất để chữ số đầu tiên là 9 bằng khoảng 4,6% (thay $d=9$ trong công thức Benford để tính P).
a) Viết công thức tìm chữ số d nếu cho trước xác suất P.
b) Tìm chữ số có xác suất bằng 9,7% được chọn.
c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là 1.