Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm

Yêu cầu cần đạt

Tính đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản.
Sử dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số và đạo hàm của hàm số hợp.
Vận dụng các quy tắc đạo hàm để giải quyết một số bài toán thực tiễn.

Thuật ngữ: Đạo hàm của tổng, hiệu · Đạo hàm của tích, thương · Đạo hàm của hàm số hợp · Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu $v_{0} = 20 m / s .$ Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao h so với mặt đất (tính bằng mét) của vật tại thời điểm t (giây) sau khi ném được cho bởi công thức sau:
$h = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$
trong đó $V_{0}$ là vận tốc ban đầu của vật, $g = 9.8 m / s^{2}$ là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.

Hình 9.7. h

{\vec{V}}_{2}

/////////6/1

Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Đạo hàm của hàm số $y=x^{n}(n\in\mathbb{N}^{*})$

HĐ1

Nhận biết đạo hàm của hàm số $y = x^{n}$
a) Tính đạo hàm của hàm số $y = x^{3}$ tại điềm x bất ki
b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số $y = x^{n} (n \in N^{n}) .$

Hình/bảng: $(x)^{\prime}=1;(x^{2})^{\prime}=2x.$

Hàm số $y = x^{n} (n \in N^{*})$ có đạo hàm trên R và $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ .

Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$

HĐ2

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$ tại điểm $x > 0.$

Hàm số $y = \sqrt{x}$ có đạo hàm trên khoảng $(0; + \infty)$ và $(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Ví dụ 1

Tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$ tại các điểm $x = 4$ và $x = \frac{1}{4} .$

Lời giải

Giải
Với mọi $x \in (0; + \infty)$ , ta có $y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} .$ Do đó $y^{'} (4) = \frac{1}{2 \sqrt{4}} = \frac{1}{4}$ và $y^{'} (\frac{1}{4}) = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{4}}} = 1.$

Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

HĐ3

Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng
a) Dùng định nghĩa, tỉnh đạo hàm của hàm số $y = x^{3} + x^{2}$ tại điểm x bất kì.
b) So sánh: $(x^{3} + x^{2})^{'}$ và $(x^{3})^{'} + (x^{2})^{'}$ .

Giả sử các hàm số $u = u (x)$ $V = V (X)$ có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó
$(u + V)^{'} = u^{'} + V^{'};$
$(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'};$
$(U - V)^{'} = U^{'} - V^{'};$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} (v = v (x) \neq 0) .$

Chú ý

Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số.
Với k là một hằng số, ta có: $(k u)^{'} = k u^{'}$ .
Đạo hàm của hàm số nghịch đảo: $(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v^{'}}{v^{2}} (v = v (x) \neq 0) .$

Ví dụ 2

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 2 x + 1;$
b) $y = \frac{2 x + 1}{x - 1} .$

Lời giải

Giải
a) Ta có: $y^{'} = \frac{1}{3} (x^{3})^{'} - (x^{2})^{'} + 2 (x)^{'} + 1^{'}$
$= \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2} - 2 x + 2$
$= x^{2} - 2 x + 2$
b) Với mọi $x \neq 1$ ta có:
$y^{'} = \frac{(2 x + 1)^{'} (x - 1) - (2 x + 1) (x - 1)^{'}}{(x - 1)^{2}}$
$= \frac{2 (x - 1) - (2 x + 1)}{(x - 1)^{2}} = - \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} .$

Ví dụ 3

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải

Giải
Phương trình chuyển động của vật là $h = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} .$
Vận tốc của vật tại thời điểm t được cho bởi $v (t) = h^{'} = v_{0} - g t$ .
Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm $t_{1} = \frac{v_{0}}{g},$ tại đó vận tốc bằng $v (t_{1}) = v_{0} - g t_{1} = 0$ .
Vật chạm đất tại thời điểm $t_{2}$ mà $h (t_{2}) = 0$ nên ta có:
$v_{0} t_{2} - \frac{1}{2} g t_{2}^{2} = 0 \Leftrightarrow t_{2} = 0$ (loại) và $t_{2} = \frac{2 v_{0}}{g} .$

Khi chạm đất, vận tốc của vật là $v (t_{2}) = v_{0} - g t_{2} = - v_{0} = - 20 (m / s)$ .
Dấu âm của $v (t_{2})$ thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc $20 m / s$ (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn).

Luyện tập 1

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$
b) $y = (\sqrt{x} + 1) (x^{2} + 2) .$

Khái niệm hàm số hợp

Diện tích của một chiếc đĩa kim loại hình tròn bán kính r được cho bởi $S = π r^{2}$ Bán kính r thay đổi theo nhiệt độ t của chiếc đĩa, tức là $r = r (t)$ . Khi đó, diện tích của chiếc đĩa phụ thuộc nhiệt độ $S = S (t) = π (r (t))^{2} .$ Ta nói $S (t)$ là hàm số hợp của hàm $S = π r^{2}$ với $r = r (t) .$

Giả sử $u = g (x)$ là hàm số xác định trên khoảng (a; b), có tập giá trị chứa trong khoảng (c; d) và $y = f (u)$ là hàm số xác định trên khoảng (c; d). Hàm số $y = f (g (x))$ được gọi là hàm số hợp của hàm số $y = f (u)$ với $u = g (x)$ .

Hình 9.8. a
g
b
C
d
X

u = g (x)

y = f (u)

y = f (g (x))

Ví dụ 4

Biểu diễn hàm số $y = (2 x + 1)^{10}$ dưới dạng hàm số hợp.

Lời giải

Giải
Hàm số $y = (2 x + 1)^{10}$ là hàm số hợp của hàm số $y = u^{10}$ với $u = 2 x + 1.$

HĐ4

Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp
Cho các hàm số $y = u^{2}$ và $u = x^{2} + 1.$
a) Viết công thức của hàm số hợp $y = (u (x))^{2}$ theo biến x.
b) Tính và so sánh: $y^{'} (x)$ và $y^{'} (u) \cdot u^{'} (x)$

Nếu hàm số $u = g (x)$ có đạo hàm $u_{x}^{'}$ tại x và hàm số $y = f (u)$ có đạo hàm $y_{u}^{'}$ tại u thì hàm số hợp $y = f (g (x))$ có đạo hàm $y_{x}^{'}$ tại x là $y_{x}^{'} = y_{u}^{'} \cdot u_{x}^{'}$

Ví dụ 5

Tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ .

Lời giải

Giải
Đặt $u = x^{2} + 1$ thì $y = \sqrt{u}$ và $y_{u}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{u}} .$ $u_{x}^{'} = 2 x$

Theo công thức đạo hàm của hàm số hợp, ta có: $y_{x}^{'} = y_{u}^{'} \cdot u_{x}^{'} = \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} .$
Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là $y^{'} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau:
$y^{'} = (\sqrt{x^{2} + 1})^{'} = \frac{(x^{2} + 1)^{'}}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} .$

Luyện tập 2

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = (2 x - 3)^{10}$
b) $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

Đạo hàm của hàm số lượng giác

Đạo hàm của hàm số $y=\sin x$

HĐ5

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số $y = \sin x$
a) Với $h \neq 0$ , biến đổi hiệu $\sin (x + h) - \sin x$ thành tích.
b) Sử dụng đẳng thức giới hạn $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số $y = \sin x$ tại điểm x bằng định nghĩa.

Hàm số $y = \sin x$ có đạo hàm trên R và $(\sin x)^{'} = \cos x .$
Đối với hàm số hợp $y = \sin u$ với u = u(x), ta có: $(\sin u)^{'} = u^{'} \cdot \cos u .$

Ví dụ 6

Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin (2 x + \frac{π}{8}) .$

Lời giải

Giải
Ta có: $y^{'} = (2 x + \frac{π}{8})^{'} \cdot \cos (2 x + \frac{π}{8}) = 2 \cos (2 x + \frac{π}{8})$

Luyện tập 3

Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin (\frac{π}{3} - 3 x) .$

Đạo hàm của hàm số $y=\cos x$

HĐ6

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số $y = \cos x$
Bằng cách viết $y = \cos x = \sin (\frac{π}{2} - x)$ tính đạo hàm của hàm số $y = \cos x$ .

Hàm số $y = \cos x$ có đạo hàm trên R và $(\cos x)^{'} = - \sin x .$
Đối với hàm số hợp $y = \cos u$ , với u = u(x), ta có: $(\cos u)^{'} = - u^{'} \cdot \sin u .$

Ví dụ 7

Tính đạo hàm của hàm số $y = \cos (4 x - \frac{π}{3})$

Lời giải

Giải
Ta có: $y^{'} = - (4 x - \frac{π}{3})^{'} \cdot \sin (4 x - \frac{π}{3}) = - 4 \sin (4 x - \frac{π}{3}) .$

Luyện tập 4

Tính đạo hàm của hàm số $y = 2 \cos (\frac{π}{4} - 2 x) .$

Đạo hàm của các hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$

HĐ7

Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số $y = \tan x$ và $y = \cot x$
a) Bằng cách viết $i = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} (x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z),$ tính đạo hàm của hàm số $y = \tan x .$
b) Sử dụng đẳng thức $\cot x = \tan (\frac{π}{2} - x) v o i x \neq k π (k \in Z),$ tính đạo hàm của hàm số $y = \cot x$ .

Hàm số $y = \tan x$ có đạo hàm tại mọi $x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in Z) v \dot{a} (\tan x)^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x} .$
Hàm số $y = \cot x$ có đạo hàm tại mọi $x \neq k π (k \in Z) v \dot{a} (\cot x)^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x} .$
Đối với các hàm số hợp y = tanu và $y = \cot u,$ với $u = u (x)$ , ta có
$(\tan u)^{'} = \frac{u^{'}}{\cos^{2} u}; (\cot u)^{'} = - \frac{u^{'}}{\sin^{2} u}$ (giả thiết tan u và cot u có nghĩa).

Ví dụ 8

Tính đạo hàm của hàm số $y = \tan (2 x + \frac{π}{4}) .$

Lời giải

Giải
Ta có: $y^{'} = \frac{(2 x + \frac{π}{4})}{\cos^{2} (2 x + \frac{π}{4})} = \frac{2}{\cos^{2} (2 x + \frac{π}{4})} .$

Luyện tập 5

Tính đạo hàm của hàm số $y = 2 \tan^{2} x + 3 \cot (\frac{π}{3} - 2 x) .$

Vận dụng 1

Một vật chuyển động có phương trình $s (t) = 4 \cos (2 π t - \frac{π}{8}) (m),$ với $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi $t = 5$ giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

HĐ8

Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit
a) Sử dụng phép đồi biến $t = \frac{1}{x},$ tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} .$
b) Với $y = (1 + x)^{\frac{1}{x}},$ tỉnh Iny và tìm giới hạn của $\lim_{x \to 0} \ln y .$
c) Đặt $t = e^{x} - 1.$ Tính x theo t và tìm giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} .$

Hình/bảng: $\lim_{t\rightarrow\rightarrow e}(1+\frac{1}{t})^{t}=e.$ $\lim_{t\rightarrow\rightarrow-\infty}(1+\frac{1}{t})^{t}=e.$

Nhận xét

Ta có các giới hạn sau:
$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e;$
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1; \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1.$

Đạo hàm của hàm số mũ

HĐ9

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ
a) Sử dụng giới hạn $\lim_{h \to 0} \frac{e^{h} - 1}{h} = 1$ và đẳng thức $e^{x + h} - e^{x} = e^{x} (e^{h} - 1)$ , tính đạo hàm của hàm số $y = e^{x}$ tại x bằng định nghĩa.
b) Sử dụng đẳng thức $a^{x} = e^{x \ln a}$ $(0 < a \neq 1)$ , hãy tính đạo hàm của hàm số $y = a^{x}$

Hàm số $y = e^{x}$ có đạo hàm trên R và $(e^{x})^{'} = e^{x} .$

Đối với hàm số hợp $y = e^{u}$ với $u = u (x)$ ta có: $(e^{u})^{'} = e^{u} \cdot u^{'} .$

Hàm số $y = a^{x} (0 < a \neq 1)$ có đạo hàm trên R và ${(a^{x})}^{'} = a^{x}$ Ina.

Đối với hàm số hợp $y = a^{u}$ , với $u = u (x),$ ta có: ${(a^{u})}^{'} = a^{u} \cdot u^{'}$ Ina.

Ví dụ 9

Tính đạo hàm của hàm số $y = 2^{x^{2} - x}$ .

Lời giải

Giải
Ta có: $y^{'} = 2^{x^{2} - x} \cdot (x^{2} - x)^{'} \cdot \ln 2 = 2^{x^{2} - x} (2 x - 1) \ln 2.$

Luyện tập 6

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = e^{x^{2} - x};$
b) $y = 3^{\sin x} .$

Đạo hàm của hàm số lôgarit

HĐ10

Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit
a) Sử dụng giới hạn $\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t} = 1$ và đẳng thức $\ln (x + h) - \ln x = \ln (\frac{x + h}{x}) = \ln (1 + \frac{h}{x}) .$ tính đạo hàm của hàm số $y = \ln x$ tại điểm $x > 0$ bằng định nghĩa.
b) Sử dụng đẳng thức $\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a} (0 < a \neq 1)$ hãy tính đạo hàm của hàm số $y = \log_{a} x$ .

Hàm số $y = \ln x$ có đạo hàm trên khoảng $(0; + \infty)$ và $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x} .$

Đối với hàm số hợp $y = \ln u$ với $u = u (x)$ , ta có: $(\ln u)^{'} = \frac{u^{'}}{u} .$

Hàm số $y = \log_{a} x c ϕ$ đạo hàm trên khoảng $(0, + \infty)$ và $(\log_{a} x)^{'} = \frac{1}{x \ln a} .$

Đối với hàm số hợp $y = \log_{a} u$ , với $u = u (x)$ , ta có: $(\log_{a} u)^{'} = \frac{u^{'}}{u \ln a} .$

Chú ý

Với $x < 0$ ta có: $\ln ∣ x ∣ = \ln (- x)$ và $[\ln (- x)]^{'} = \frac{(- x)^{'}}{- x} = \frac{1}{x} .$ Từ đó ta cóÓ:
$(\ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x}, \forall x \neq 0$

Ví dụ 10

Tính đạo hàm của hàm số $y = \ln (x^{2} + 1)$ .

Lời giải

Giải
Vì $x^{2} + 1 > 0$ với mọi x nên hàm số xác định trên R. Ta có: $y^{'} = \frac{(x^{2} + 1)^{'}}{x^{2} + 1} = \frac{2 x}{x^{2} + 1} .$

Luyện tập 7

Tính đạo hàm của hàm số $y = \log_{2} (2 x - 1)$ .

Vận dụng 2

Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi $p H = - \log [H^{+}]$ , ở đó $[H^{+}]$ là nồng độ (mol/l) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ $[H^{+}],$

BẢNG ĐẠO HÀM
$(X^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
$(\sin x)^{'} = \cos x$
$(e^{x})^{'} = e^{x}$
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$
$(\cos x)^{'} = - \sin x$
$(a^{x})^{'} = a^{x} \ln a$
$(\tan x)^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x}$
$(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
$(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$
$(\cot x)^{'} = - \frac{1}{\sin^{2} x}$
$(\log_{e} x)^{'} = \frac{1}{x \ln a}$
$(u^{n})^{r} = n u^{n - 1} \cdot u^{'}$
$(\sin u)^{'} = u^{'} \cdot \cos u$
$(e^{u})^{'} = e^{u} \cdot u^{'}$
$(\frac{1}{u})^{'} = - \frac{u^{'}}{u^{2}}$
$(\cos u)^{'} = - u^{'} \cdot \sin u$
$(a^{u})^{'} = a^{u} \cdot u^{'} \cdot \ln a$
$(\tan u)^{'} = \frac{u^{'}}{\cos^{2} u}$
$(\ln u)^{'} = \frac{u^{'}}{u}$
$(\sqrt{u})^{'} = \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}$
$(\cot u)^{'} = - \frac{u^{'}}{\sin^{2} u}$
$(\log_{a} u)^{'} = \frac{u^{'}}{u \ln a}$

Bài tập

9.6

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1$ ;
b) $y = x^{2} - 4 \sqrt{x} + 3.$

9.7

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$
b) $y = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

9.8

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = x \sin^{2} x$
b) $y = \cos^{2} x + \sin 2 x;$
c) $y = \sin 3 x - 3 \sin x;$
d) $y = \tan x + \cot x .$

9.9

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = 2^{3 x - x^{2}}$
b) $y = \log_{3} (4 x + 1) .$

9.10

Cho hàm số $f (x) = 2 \sin^{2} (3 x - \frac{π}{4})$ . Chứng minh rằng $∣ f^{'} (x) ∣ \leq 6$ với mọi x.

9.11

Một vật chuyền động rơi tự do có phương trình $h (t) = 100 - 4, 9 t^{2}$ ở đó độ cao h so với mặt đất tỉnh bằng mét và thời gian t tỉnh bằng giây. Tính vận tốc của vật:
a) Tại thời điểm $t = 5$ giây;
b) Khi vật chạm đất.

9.12

Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi $s (t) = 12 + 0, 5 \sin (4 π t)$ , trong đó s tỉnh bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 88–94).