Bài 27. Thể tích – Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Thuật ngữ: Thể tích khối hộp · Thể tích khối lăng trụ · Thể tích khối chóp · Thể tích khối chóp cụt

Nhận biết công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp, khối chóp cụt đều.
Tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp, khối chóp cụt đều trong một số tình huống đơn giản.
Vận dụng kiến thức, kĩ năng về thể tích vào một số bài toán thực tế.

Thể tích là một trong những khái niệm toán học xuất hiện thường xuyên trong cuộc sống, đo sự chiếm chỗ của vật thể trong không gian. Bài học này đưa ra công thức thể tích của các hình khối ứng với các hình mà ta đã học.

HĐ1

Khi mua máy điều hoà, bác An được hướng dẫn rằng mỗi mét khối của phòng cần công suất điều hoà khoảng 200 BTU. Căn phòng bác An cần lắp máy có dạng hình hộp chữ nhật, rộng 4 m, dài 5 m và cao 3 m. Hỏi bác An cần mua loại điều hoà có công suất bao nhiêu BTU?

Hình 7.92. Hình ảnh một căn phòng có điều hòa.

Phần không gian được giới hạn bởi hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng được gọi là khối chóp, khối chóp cụt đều, khối lăng trụ, khối hộp. Đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của các khối hình đó lần lượt là đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng.

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là $V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot S$

Thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn S, diện tích đáy bé $S^{'}$ và chiều cao h là $V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S + S^{'} + \sqrt{S \cdot S^{'}}) .$

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là $V = h \cdot S$

Hình 7.93. Ba hình minh họa công thức thể tích: hình chóp, hình chóp cụt, hình lăng trụ. Các công thức

V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot S

V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot (S + S^{'} + \sqrt{S \cdot S^{'}})

V = h \cdot S

được ghi tương ứng.

Nhận xét

Thể tích khối tứ diện bằng một phần ba tích của chiều cao từ một đỉnh và diện tích mặt đối diện với đỉnh đó.
Thể tích của khối hộp bằng tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối hộp ứng với mặt đó.

Ví dụ 1

Cho khối tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và $O A = a,$ $O B = b$ $O C = C$ . Tính thể tích của khối tứ diện.
Giải. (H.7.94)
Tam giác vuông OBC có diện tích là $S_{O B C} = \frac{1}{2} b c .$
OA vuông góc với mặt phẳng (OBC) nên tứ diện OABC có chiều cao ứng với đỉnh A bằng OA.
Vậy thể tích của khối tứ diện là $V_{O A B C} = \frac{1}{3} A O \cdot S_{O B C} = \frac{1}{6} a b c .$

Hình/bảng: Khối tứ diện OABC với OA, OB, OC đôi một vuông góc. Các điểm O, A, B, C được đánh dấu. Các cạnh OA, OB, OC có độ dài a, b, c.

Hình 7.94. Khối tứ diện OABC với OA, OB, OC đôi một vuông góc. Các điểm O, A, B, C được đánh dấu. Các cạnh OA, OB, OC có độ dài a, b, c.

Luyện tập 1

Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a$ , cạnh bên bằng $b$ . Tinh thể tích của khối chóp.

Ví dụ 2

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh $a$ , mặt (ACC'A') vuông góc với hai mặt đáy, tam giác A'AC cân tại A và $A A^{'} = b (a < 2 b)$ . Tính thể tích của khối lăng trụ.
Giải. (H.7.95)
Gọi AH là đường cao của tam giác cân A'AC. Khi đó, H là trung điểm của AC.
Do (ACC'A') $⊥$ (ABC) và $A^{'} H ⊥ A C$ nên $A^{'} H ⊥ (A B C)$ .
Vậy khối lăng trụ có chiều cao là $A^{'} H = \sqrt{A A^{' 2} - A H^{2}} = \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{4}} .$
Tam giác đều ABC có diện tích là $S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$
Vậy khối lăng trụ có thể tích là $V = A^{'} H \cdot S_{A B C} = \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{4}} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{3 (4 b^{2} - a^{2})}}{8} .$

Hình/bảng: Hình lăng trụ ABC.A'B'C'. H là trung điểm AC. A'H là đường cao. Các điểm A, B, C, A', B', C', H được đánh dấu.

Hình 7.95. Hình lăng trụ ABC.A'B'C'. H là trung điểm AC. A'H là đường cao. Các điểm A, B, C, A', B', C', H được đánh dấu.

Luyện tập 2

Cho khối chóp cụt đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đường cao $H H^{'} = h$ , hai mặt đáy ABC, $A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh tương ứng bằng 2a, a.
a) Tính thể tích của khối chóp cụt.
b) Gọi $B_{1}$ , $C_{1}$ tương ứng là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng $A B_{1} C_{1} . A^{'} B^{'} C^{'}$ là một hình lăng trụ. Tính thể tích khối lăng trụ $A B_{1} C_{1} . A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Hình/bảng: Hình chóp cụt đều ABC.A'B'C'. H và H' là tâm của hai đáy. B1, C1 là trung điểm AB, AC. Các điểm A, B, C, A', B', C', H, H', B1, C1 được đánh dấu.

Hình 7.96. Hình chóp cụt đều ABC.A'B'C'. H và H' là tâm của hai đáy. B1, C1 là trung điểm AB, AC. Các điểm A, B, C, A', B', C', H, H', B1, C1 được đánh dấu.

Ví dụ 3

Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có $A B = 8$ cm, $A D = 5$ cm, $A A^{'} = 6$ cm, $\hat{B A D} = 30^{\circ}$ góc giữa $A A^{'}$ và (ABCD) bằng $45^{\circ}$ Tính thể tích của khối hộp.
Giải. (H.7.97)
Hình bình hành ABCD có diện tích là
$S_{A B C D} = 2 S_{A B D} = 2 (\frac{1}{2} A B \cdot A D \sin \hat{B A D}) = 20 (c m^{2}) .$
Gọi H là hình chiếu của $A^{'}$ trên (ABCD). Khi đó, $\hat{A^{'} A H}$ bằng góc giữa $A A^{'}$ và (ABCD) nên $\hat{A^{'} A H} = 45^{\circ} .$ Trong tam giác vuông A'AH, ta có $A^{'} H = A^{'} A \cdot \sin \hat{A^{'} A H} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2} (c m) .$
Khối hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có chiều cao tương ứng với mặt ABCD bằng $A^{'} H = 3 \sqrt{2}$ (cm).
Do đó, thể tích của khối hộp là $V = A^{'} A \cdot S_{A B C D} = 60 \sqrt{2} (c m^{3})$ .

Hình/bảng: Hình hộp ABCD.A'B'C'D'. H là hình chiếu của A' trên mặt phẳng ABCD. Các điểm A, B, C, D, A', B', C', D', H được đánh dấu.

Hình 7.97. Hình hộp ABCD.A'B'C'D'. H là hình chiếu của A' trên mặt phẳng ABCD. Các điểm A, B, C, D, A', B', C', D', H được đánh dấu.

Vận dụng

Một sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt đều (H.7.98). Đáy và miệng sọt là các hình vuông tương ứng có cạnh bằng 60 cm, 30 cm, cạnh bên của sọt dài 50 cm. Tính thể tích của sọt.

Hình 7.98. Hình ảnh một sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt đều.

Bài tập

7.28

Cho khối chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng $a$ , cạnh bên bằng $b$ . Tính thể tích của khối chóp đó. Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng $a$ .

7.29

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $A A^{'} = 5$ cm, $A B = 6$ cm, $B C = 2 c m$ , $\hat{A B C} = 150^{\circ}$ . Tính thể tích của khối lăng trụ.

7.30

Cho khối chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh 6 cm. Tính thể tích của khối chóp đó trong các trường hợp sau:
a) Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng $60^{\circ}$ .
b) Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng $45^{\circ}$ .

7.31

Cho khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là các tam giác đều cạnh $a$ , $A^{'} A = A^{'} B = A^{'} C = b .$ Tính thể tích của khối lăng trụ.

7.32

Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh 8 dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp) như Hình 7.99.
a) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.
b) Tính cạnh bên của thùng.
c) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?

Hình 7.99. Ba hình ảnh minh họa quá trình cắt và gấp một tấm tôn hình vuông thành một thùng không nắp. Hình đầu tiên là tấm tôn phẳng với 4 góc bị cắt. Hình thứ hai là tấm tôn đã được gấp các cạnh lên. Hình thứ ba là thùng không nắp hoàn chỉnh. Các kích thước 1 dm, 3 dm, 8 dm được ghi.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 61–63).