Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học, Sinh học,... đưa đến việc tìm giới hạn dạng ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\mathrm{.}$ ở đó $y=f(x)$ là một hàm số đã cho.
Giới hạn trên dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.

Để tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0\in (a;b)$, ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tinh $f(x)-f(x_0)$.
2. Lập và rút gọn tỉ số $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ với x ∈ (a b), $x\mathrm{\ne }{x}_0$
3. Tìm giới hạn ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\mathrm{.}$

Đặt $h=x-x_0$ khi đó đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm $x_0=1$ có thể tính như sau:
$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{[(1+h{)}^2+2(1+h)]-(1^2+2)}{h}$
$={\lim }_{h\to 0}\frac{(h^2+4h+3)-3}{h}={\lim }_{h\to 0}(h+4)=4$ .

Nếu phương trình chuyển động của vật là $s=f(t)$ thì $v(t)=f^{\mathrm{\prime }}(t)$ là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t.

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $P(x_0;f(x_0))$ là đạo hàm $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)$.

Giả sử y là một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng thay đồi x khác. Khi đó, y là một hàm số của x và ta viết $y=f(x)$. Nếu x thay đổi từ $x_1$ đến $x_2$ thì sự thay đổi của x (còn gọi là số gia của x) là $\mathrm{\Delta }x=x_2-x_1$ và sự thay đổi tương ứng của y là $\mathrm{\Delta }y=f(x_2)-f(x_1)$.
Tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y đối với x trên đoạn $[X_1;X_2]$ Giới hạn của tỉ số này khi $X_2\to X_1$ (hay khi $\mathrm{\Delta }x\to 0)$ gọi là tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x tại $X=X_1$.
Như vậy, đạo hàm $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng $y=f(x)$ đối với x tại $x=a$.
Nói riêng ở trong kinh tế, nếu $C(x)$ là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hoá nào đó và $R(x)$ là số tiền thu được khi bán x đơn vị hàng hoá đó thì $P(x)=R(x)-C(x)$ là phần lợi nhuận ứng với x đơn vị hàng hoá. Các nhà kinh tế gọi tốc độ thay đổi tức thời của chi phí theo số lượng sản phẩm được sản xuất là chi phí biên:
$mc(x)={\lim }_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{\mathrm{\Delta }C}{\mathrm{\Delta }x}=C^{\mathrm{\prime }}(x)$ .
Lấy $\mathrm{\Delta }x=1$ và với số nguyên dương n đủ lớn (đề $\mathrm{\Delta }x$ tương đối nhỏ so với n), ta có:
$C^{\mathrm{\prime }}(n)\approx C(n+1)-C(n)$
Vì vậy, chi phí biên để sản xuất n đơn vị sản phẩm là chi phí sản xuất một đơn vị sản phẩm tiếp theo (đơn vị sản phầm thứ $n+1$). Tương tự, lợi nhuận biên khi sản xuất n đơn vị sản phẩm là phần lợi nhuận thu được khi sản xuất đơn vị sản phẩm tiếp theo. Để tối đa hoá lợi nhuận, công ty sẽ tiếp tục sản xuất khi x chưa đạt đến điểm $x_0$ mà ở đó lợi nhuận biên bằng 0. Khi $X<X_0$, lợi nhuận biên dương và do đó lợi nhuận có thể tăng khi tiếp tục sản xuất. Khi $x>x_0$ lợi nhuận biên âm và lợi nhuận có thể được giữ ở mức cao hơn nếu sản xuất ít đi.
(Theo Stewart, Calculus, Nhà xuất bản Cengage Learning)