Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Giải thích mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
Vận dụng kiến thức về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng vào thực tế.

Thuật ngữ: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng · Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Hình 7.9. Ảnh Quảng trường màu nhiệm (Square of Miracles) ở Pisa, Toscana, Italy, với các công trình kiến trúc.

Hầu hết các công trình kiến trúc đều được xây dựng theo phương thẳng đứng để có thể vững chãi, mặc dù vậy, cũng có những công trình có phương nghiêng. Nếu đứng tại Quảng trường mầu nhiệm ở Pisa (H.7.9), bằng mắt thường, ta có thể cảm nhận rằng tháp ngoài cùng bên phải trong hình là nghiêng và các công trình còn lại đều thẳng đứng. Sau bài học, ta có thể diễn giải chính xác và bản chất hơn về điều này.

HĐ1

Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng – mở cánh cửa, ta coi mép dưới BC của cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng kể).
a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.
b) Giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.

Hình 7.10. Ảnh một cánh cửa đang mở, với các điểm A, B, C được đánh dấu trên khung cửa và mép cửa.

Đường thẳng $Δ$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu $Δ$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).

Chú ý

Khi $Δ$ vuông góc với (P), ta còn nói (P) vuông góc với $Δ$ hoặc $Δ$ và (P) vuông góc với nhau, kí hiệu $Δ ⊥ (P)$ .
Nếu đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau hay không?

HĐ2

Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp chia tấm bìa thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó lên mặt bàn như Hình 7.11.
a) Bằng cách trên, ta tạo được đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng nào thuộc mặt bàn?
b) Trên mặt bàn, qua điểm A kẻ một đường thẳng a tuỳ ý. Dùng ê ke, hãy kiểm tra trên mô hình xem AB có vuông góc với a hay không.

Hình 7.11. Tấm bìa hình chữ nhật được gấp đôi và đặt trên mặt bàn, tạo thành đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng.

Người ta chứng minh được rằng:
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với cạnh còn lại hay không?

Hình 7.12. Hình vẽ minh họa đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng.

Ví dụ 1

Dạng bài: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và cạnh SA vuông góc với các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng $B C ⊥ (S A B)$ .

Lời giải

Giải. (H.7.13)
Vì SA vuông góc với hai đường thẳng AB và AC nên SA $⊥$ (ABC). Suy ra SA $⊥$ BC.
Tam giác ABC vuông tại B nên $B C ⊥ B A$ .
Vì BC vuông góc với hai đường thẳng SA và BA nên BC $⊥$ (SAB).

Hình 7.13. Hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác vuông tại B.

Luyện tập 1

Dạng bài: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, $S A = S C$ và $S B = S D (H .7.14)$ . Chứng minh rằng $S O ⊥ (A B C D)$ .

Hình 7.14. Hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm O.

Vận dụng

Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh để thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh để đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà.

Hình 7.15. Ảnh một cột treo quần áo với hai chân đế nằm ngang.

2. Tính chất

HĐ3

Cho điểm O và đường thẳng $Δ$ không đi qua O. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với $Δ$ . Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý (P) và (Q) cùng chứa d. Trong các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng kẻ các đường thẳng a, b cùng đi qua O và vuông góc với d (H.7.16). Giải thích vì sao mp(a, b) đi qua O và vuông góc với $Δ$ .

Hình 7.16. Hình vẽ minh họa đường thẳng d đi qua O, song song với Delta. Hai mặt phẳng P và Q chứa d, với các đường thẳng a, b vuông góc với d.

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Nhận xét

Nếu ba đường thẳng đôi một phân biệt a, b, c cùng đi qua một điểm O và cùng vuông góc với một đường thẳng $Δ$ thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua O và vuông góc với $Δ$ (H.7.17).

Hình 7.17. Hình vẽ minh họa ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua O và vuông góc với đường thẳng Delta.

Ví dụ 2

Dạng bài: Chứng minh tính chất mặt phẳng trung trực

Chứng minh rằng điểm M cách đều hai điểm phân biệt A, B cho trước khi và chỉ khi M thuộc mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB.

Lời giải

Giải. (H.7.18)
Gọi ( $α$ ) là mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB. Ta có $M A = M B$ khi và chỉ khi M trùng I hoặc tam giác MAB cân tại M. Mặt khác, $△ M A B$ cân tại M khi và chỉ khi $M I ⊥ A B$ tức là M thuộc mặt phẳng ( $α$ ). Do đó, $M A = M B$ khi và chỉ khi M thuộc ( $α$ ).

Hình 7.18. Hình vẽ minh họa điểm M và đoạn thẳng AB, với I là trung điểm của AB và MI vuông góc với AB.

Chú ý

Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B.

Chú ý

Chú ý. Khi $Δ$ vuông góc với (P), ta còn nói (P) vuông góc với $Δ$ hoặc $Δ$ và (P) vuông góc với nhau, kí hiệu $Δ ⊥$ (P).

Nếu đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau hay không?

HĐ2

HĐ2. Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp chia tấm bìa thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó lên mặt bàn như Hình 7.11.
a) Bằng cách trên, ta tạo được đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng nào thuộc mặt bàn?
b) Trên mặt bàn, qua điểm A kẻ một đường thẳng a tuỳ ý. Dùng ê ke, hãy kiểm tra trên mô hình xem AB có vuông góc với a hay không.

Người ta chứng minh được rằng:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với cạnh còn lại hay không?

Ví dụ 1

Dạng bài: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và cạnh SA vuông góc với các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng BC $⊥$ (SAB).

Lời giải

Giải. (H.7.13)
Vì SA vuông góc với hai đường thẳng AB và AC nên SA $⊥$ (ABC). Suy ra SA $⊥$ BC.
Tam giác ABC vuông tại B nên BC $⊥$ BA.
Vì BC vuông góc với hai đường thẳng SA và BA nên BC $⊥$ (SAB).

Luyện tập 1

Dạng bài: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Luyện tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA = SC và SB = SD (H.7.14). Chứng minh rằng SO $⊥$ (ABCD).

Vận dụng

Vận dụng. Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh để thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh để đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà.

HĐ3

HĐ3. Cho điểm O và đường thẳng $Δ$ không đi qua O. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với $Δ$ . Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý (P) và (Q) cùng chứa d. Trong các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng kẻ các đường thẳng a, b cùng đi qua O và vuông góc với d (H.7.16). Giải thích vì sao mp(a, b) đi qua O và vuông góc với $Δ$ .

Nhận xét

Nhận xét. Nếu ba đường thẳng đôi một phân biệt a, b, c cùng đi qua một điểm O và cùng vuông góc với một đường thẳng $Δ$ thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua O và vuông góc với $Δ$ (H.7.17).

Ví dụ 2

Dạng bài: Chứng minh điểm thuộc mặt phẳng trung trực

Ví dụ 2. Chứng minh rằng điểm M cách đều hai điểm phân biệt A, B cho trước khi và chỉ khi M thuộc mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB.

Lời giải

Giải. (H.7.18)
Gọi ( $α$ ) là mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB. Ta có MA = MB khi và chỉ khi M trùng I hoặc tam giác MAB cân tại M. Mặt khác, $△$ MAB cân tại M khi và chỉ khi MI $⊥$ AB, tức là M thuộc mặt phẳng ( $α$ ). Do đó, MA = MB khi và chỉ khi M thuộc ( $α$ ).

Chú ý

Chú ý. Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B.

HĐ4

HĐ4. Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Trong mặt phẳng (P), lấy hai đường thẳng cắt nhau a, b tuỳ ý. Gọi ( $α$ ), ( $β$ ) là các mặt phẳng qua O và tương ứng vuông góc với a, b (H.7.19).
a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng ( $α$ ), ( $β$ ) cắt nhau theo một đường thẳng đi qua O.
b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa $Δ$ và (P).

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Luyện tập 2

Dạng bài: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Luyện tập 2. Cho ba điểm phân biệt A, B, C sao cho các đường thẳng AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Ví dụ 3

Dạng bài: Xác định hình chiếu của điểm lên mặt phẳng

Ví dụ 3. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P). Giải thích vì sao có duy nhất điểm H thuộc (P) sao cho đường thẳng AH vuông góc với (P).

Lời giải

Giải
Gọi a là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). Lấy điểm H thuộc (P). Khi đó, đường thẳng AH vuông góc với (P) khi và chỉ khi AH trùng với a, tức là H là giao điểm của a và (P). Vậy có duy nhất điểm H thuộc (P) để AH vuông góc với (P), đó là giao điểm của a với (P).

3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Nội dung của mục này nhằm củng cố kiến thức và kĩ năng đã học ở hai mục trên. Ngoài ra, từ đó có thể rút ra các tính chất về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

HĐ5

HĐ5. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng b. Lấy một đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P). Tính (b, m) và từ đó rút ra mối quan hệ giữa b và (P).

HĐ6

HĐ6. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P). Xét O là một điểm thuộc a nhưng không thuộc b. Gọi c là đường thẳng qua O và song song với b.
a) Hỏi c có vuông góc với (P) hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa a và c.
b) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a và b.

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì các đường thẳng song song với a cũng vuông góc với (P).

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Hình 7.19. Hình 7.19: Mặt phẳng (P) với hai đường thẳng a, b cắt nhau. Hai mặt phẳng

α

β

qua O vuông góc với a, b tương ứng.

Hình 7.20. Hình 7.20: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với a. Đường thẳng m nằm trong (P).

Hình 7.21. Hình 7.21: Hai đường thẳng a, b cùng vuông góc với mặt phẳng (P). Đường thẳng c qua O trên a và song song với b.

Ví dụ 4

Dạng bài: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ví dụ 4. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC tương ứng vuông góc với nhau. Gọi M, N tương ứng là trọng tâm của các tam giác ABC, OBC. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (OBC).

Lời giải

Giải. (H.7.22)
Vì AO vuông góc với các đường thẳng OB, OC nên AO $⊥$ (OBC). Kẻ các đường trung tuyến AD, OD tương ứng của các tam giác ABC, OBC.
Ta có $\frac{M A}{M D} = \frac{2}{1} = \frac{N O}{N D}$ . Do đó, MN song song với AO.
Mặt khác, AO $⊥$ (OBC) nên MN $⊥$ (OBC).

HĐ7

HĐ7. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và đường thẳng $Δ$ vuông góc với (P). Gọi b là một đường thẳng bất kì thuộc (Q). Lấy một đường thẳng a thuộc (P) sao cho a song song với b (H.7.23). So sánh ( $Δ$ , b) và ( $Δ$ , a). Từ đó rút ra mối quan hệ giữa $Δ$ và (Q).

HĐ8

HĐ8. Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) cùng vuông góc với đường thẳng $Δ$ . Xét O là một điểm thuộc mặt phẳng (P) nhưng không thuộc mặt phẳng (Q). Gọi (R) là mặt phẳng đi qua O và song song với (Q) (H.7.24).
a) Hỏi (R) có vuông góc với $Δ$ hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa (P) và (R).
b) Nêu vị trí tương đối giữa (P) và (Q).

Nếu đường thẳng $Δ$ vuông góc với mặt phẳng (P) thì $Δ$ cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với (P).

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 5

Dạng bài: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC. Các điểm M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC. Đường thẳng qua S vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cắt mặt phẳng đó tại H. Chứng minh rằng SH $⊥$ (MNP).

Lời giải

Giải. (H.7.25)
Do MN // AB, MP // AC nên (MNP) // (ABC).
Mặt khác, SH $⊥$ (ABC). Do đó SH $⊥$ (MNP).

Luyện tập 2

Dạng bài: Xác định quan hệ song song của mặt phẳng

Luyện tập 2. Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn. Hỏi hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

HĐ9

HĐ9. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng $Δ$ vuông góc với mặt phẳng (P). Tính ( $Δ$ , a).

Hình 7.22. Hình 7.22: Tứ diện OABC với OA, OB, OC đôi một vuông góc. M, N là trọng tâm tam giác ABC, OBC.

Hình 7.23. Hình 7.23: Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song. Đường thẳng

Δ

vuông góc với (P). Đường thẳng a thuộc (P), b thuộc (Q) và a // b.

Hình 7.24. Hình 7.24: Hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với

Δ

. Mặt phẳng (R) qua O trên (P) và song song với (Q).

Hình 7.25. Hình 7.25: Hình chóp S.ABC. M, N, P là trung điểm SA, SB, SC. SH vuông góc với (ABC).

HĐ10

HĐ10. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng $Δ$ .
a) Qua một điểm O thuộc (P), kẻ đường thẳng a' song song với a. Nêu vị trí tương đối giữa a' và (P).
b) Nêu vị trí tương đối giữa a và (P).

Nếu đường thẳng $Δ$ vuông góc với mặt phẳng (P) thì $Δ$ vuông góc với mọi đường thẳng song song với (P).

Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng $Δ$ thì a nằm trong (P) hoặc song song với (P).

Ví dụ 6

Dạng bài: Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông, SA $⊥$ (ABCD). Gọi M, N tương ứng là trung điểm của SB, BC. Chứng minh rằng BD $⊥$ MN.

Lời giải

Giải. (H.7.26)
Do SA $⊥$ (ABCD) nên BD $⊥$ SA. Mặt khác, BD $⊥$ AC nên BD $⊥$ (SAC).
Ta lại có MN // SC nên MN // (SAC). Do đó BD $⊥$ MN.

Luyện tập 4

Dạng bài: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Luyện tập 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA $⊥$ (ABCD). Kẻ AH vuông góc với SC (H thuộc SC), BM vuông góc với SC (M thuộc SC). Chứng minh rằng SC $⊥$ (MBD) và AH // (MBD).

Bài tập

7.5

Dạng bài: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, chứng minh tam giác cân

7.5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A và SA $⊥$ (ABC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a) BC $⊥$ (SAM);
b) Tam giác SBC cân tại S.

7.6

Dạng bài: Chứng minh mặt bên là tam giác vuông

7.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA $⊥$ (ABCD). Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.

7.7

Dạng bài: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

7.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA $⊥$ (ABCD). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng:
AM $⊥$ (SBC), AN $⊥$ (SCD), SC $⊥$ (AMN).

7.8

Dạng bài: Ứng dụng thực tế về đường thẳng vuông góc mặt phẳng

7.8. Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không?

7.9

Dạng bài: Ứng dụng định lí Pytago, đường thẳng vuông góc mặt phẳng

7.9. Một cột bóng rổ được dựng trên một sân phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân, cách chân cột 1 m đến một điểm trên cột, cách chân cột 1 m được kết quả là 1,5 m (H.7.27). Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì cột có vuông góc với sân hay không? Có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng hay không?

Hình 7.26. Hình 7.26: Hình chóp S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD. SA vuông góc với (ABCD). M, N là trung điểm SB, BC.

Hình 7.27. Hình 7.27: Cột bóng rổ trên sân phẳng. Khoảng cách từ chân cột đến điểm trên sân là 1m, từ điểm trên cột đến điểm trên sân là 1.5m, chiều cao cột đến điểm trên cột là 1m.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 31–36).