Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết khái niệm luỹ thừa với số mũ nguyên của một số thực khác 0; luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực của một số thực dương.
Giải thích các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực.
Sử dụng tính chất của phép tính luỹ thừa trong tính toán các biểu thức số và rút gọn các biểu thức chứa biến.
Tính giá trị biểu thức số có chứa phép tính luỹ thừa bằng cách sử dụng máy tính cầm tay.
Giải quyết một số vấn đề có liên quan đến môn học khác hoặc thực tiễn gắn với phép tính luỹ thừa.

Thuật ngữ: Cơ số · Căn bậc n · Luỹ thừa với số mũ nguyên · Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ · Luỹ thừa với số mũ thực · Số mũ

Trong chương này, luỹ thừa với số mũ nguyên được mở rộng cho số mũ hữu tỉ, số mũ thực và từ đó hình thành khái niệm lôgarit. Đây là những phép tính được sử dụng nhiều trong khoa học, kĩ thuật và đời sống. Trên cơ sở đó, hai hàm số quan trọng là hàm số mũ và hàm số lôgarit được giới thiệu. Phần cuối chương trình bày cách giải một số phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit đơn giản.

Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thức lãi kép theo định kì, tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền P với lãi suất r mỗi kì thì sau N kì, số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) được tính theo công thức lãi kép sau:

$A = P (1 + r)^{N}$ .

Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm.

1. Luỹ thừa với số mũ nguyên

HĐ1

Nhận biết luỹ thừa với số mũ nguyên
Tính: $(1, 5)^{2}$ ; $(- \frac{2}{3})^{3}$ ; $(\sqrt{2})^{- 4}$ .

Cho n là một số nguyên dương. Ta định nghĩa:
Với a là số thực tuỳ ý:
$a^{n} = \frac{a \cdot a \cdot \cdot \cdot a}{n t h ừa s \overset{ˊ}{\hat{o}}}$
Với a là số thực khác 0:
$a^{0} = 1$ ; $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$

$0^{0}$ và $0^{- n}$ $(n \in N^{*})$ không có nghĩa.

. Trong biểu thức $a^{m}$ a gọi là cơ số, m gọi là số mũ.

Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự như luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Với $a \neq 0,$ $b \neq 0$ và m, n là các số nguyên, ta có:
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} .$
$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n};$
$(a^{m})^{n} = a^{m n}$
$(a b)^{m} = a^{m} b^{m};$
$(\frac{a}{b})^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}} .$

Chú ý

. Nếu $a > 1$ thì $a^{m} > a^{n}$ khi và chỉ khi $m > n$ .
. Nếu $0 < a < 1$ thì $a^{m} > a^{n}$ khi và chỉ khi $m < n$ .

Ví dụ 1

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức

Tính giá trị của biểu thức:
$A = (\frac{1}{2})^{- 8} \cdot 8^{- 2} + (0, 2)^{- 4} \cdot 25^{- 2} .$

Lời giải

Giải
$A = 2^{8} \cdot \frac{1}{8^{2}} + \frac{1}{0, 2^{4}} \cdot \frac{1}{25^{2}} = 2^{8} \cdot \frac{1}{2^{6}} + \frac{1}{0, 2^{4} \cdot 5^{4}} = 2^{2} + \frac{1}{(0, 2 \cdot 5)^{4}} = 4 + 1 = 5.$

Luyện tập 1

Dạng bài: Viết số dưới dạng kí hiệu khoa học

Một số dương x được gọi là viết dưới dạng kí hiệu khoa học nếu $x = a \cdot 10^{m},$ ở đó $1 \leq a < 10$ và m là một số nguyên. Hãy viết các số liệu sau dưới dạng kí hiệu khoa học:
a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg:
b) Khối lượng của hạt proton khoảng 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 67262 kg.
(Theo SGK Vật lí 12, Nhà Xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2020)

2. Luỹ thừa với số mũ hữu tì

HĐ2

Nhận biết khái niệm căn bậc n
a) Tìm tất cả các số thực x sao cho $x^{2} = 4.$
b) Tìm tất cả các số thực x sao cho $x^{3} = - 8$ .

Cho số thực a và số nguyên dương n. Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu $b^{n} = a .$

Nhận xét

Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n và kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$ Căn bậc 1 của số a chính là a.
Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau, giá trị dương kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$ (gọi là căn số học bậc n của a), giá trị âm kí hiệu là $- \sqrt[n]{a}$ .

$\sqrt[n]{0} = 0 (n \in N^{*}) .$

Số âm có căn bậc chẵn không? Vì sao?

Ví dụ 2

Dạng bài: Tính căn bậc n

Tính: a) $\sqrt[3]{- 64}$
b) $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$

Lời giải

Giải
a) $\sqrt[3]{- 64} = \sqrt[3]{(- 4)^{3}} = - 4.$
b) $\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \sqrt[4]{{(\frac{1}{2})}^{4}} = \frac{1}{2} .$

Luyện tập 2

Dạng bài: Tính căn bậc n

Tính: a) $\sqrt[3]{- 125}$
b) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}} .$

HĐ3

Nhận biết tính chất của căn bậc n
a) Tính và so sánh: $\sqrt[3]{- 8} \cdot \sqrt[3]{27}$ và $\sqrt[3]{(- 8) \cdot 27}$
b) Tính và so sánh: $\frac{\sqrt[3]{- 8}}{\sqrt[3]{27}}$ và $\sqrt[3]{\frac{- 8}{27}} .$

Giả sử n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên. Khi đó:
$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b};$
$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
$(\sqrt[n]{a})^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$
$\sqrt[n]{a^{n}} = {\begin{cases} a & k h i n l ẻ \\ ∣ a ∣ k h i n c h \tilde{\overset{˘}{a}} n; \end{cases}$
$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[n k]{a} .$
(Giả thiết các biểu thức ở trên đều có nghĩa).

Ví dụ 3

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức chứa căn

Tính: a) $\sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[5]{- 8}$
b) $\sqrt[3]{- 3 \sqrt{3}}$

Lời giải

Giải
a) $\sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[5]{- 8} = \sqrt[5]{4 \cdot (- 8)} = \sqrt[5]{- 32} = \sqrt[5]{(- 2)^{5}} = - 2$ .
b) $\sqrt[3]{- 3 \sqrt{3}} = \sqrt[3]{- (\sqrt{3})^{3}} = {\sqrt[3]{(- \sqrt{3})}}^{3} = - \sqrt{3}$

Luyện tập 3

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức chứa căn

Tính: a) $\sqrt[3]{5} : \sqrt[3]{625};$
b) $\sqrt[5]{- 25 \sqrt{5}}$

HĐ4

Nhận biết luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
Cho a là một số thực dương.
a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{1}{n}}$ sao cho $(a^{\frac{1}{n}})^{n} = a .$
b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{m}{n}}$ , với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho $a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^{m} .$

Lưu ý: $(\sqrt[n]{a})^{n} = a .$

Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n},$ trong đó m là một số nguyên và n là số nguyên dương. Luỹ thừa của a với số mũ r, kí hiệu là $a^{r}$ , xác định bởi $a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} .$

Vì sao trong định nghĩa luỹ thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số $a > 0$ ?

Chú ý

Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ (của một số thực dương) có đầy đủ các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên đã nêu trong Mục 1.

Ví dụ 4

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức luỹ thừa

Tính: a) $16^{\frac{3}{2}};$
b) $8^{\frac{- 2}{3}}$

Lời giải

Giải
a) $16^{\frac{3}{2}} = \sqrt{16^{3}} = \sqrt{(4^{2})^{3}} = \sqrt{(4^{3})^{2}} = 4^{3} = 64.$
b) $8^{\frac{- 2}{3}} = \sqrt[3]{8^{- 2}} = \sqrt[3]{(2^{3})^{- 2}} = \sqrt[3]{(2^{- 2})^{3}} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}$

Luyện tập 4

Dạng bài: Rút gọn biểu thức

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{x^{\frac{3}{2}} y + x y^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} (x, y > 0) .$

a) Khái niệm luỹ thừa với số mũ thực

HĐ5

Nhận biết luỹ thừa với số mũ thực
Ta biết rằng $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ và $\sqrt{2} = 1, 4142135624...$
Gọi $(r_{n})$ là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số $\sqrt{2}$ với $r_{1} = 1$ ; $r_{2} = 1, 4;$ $r_{3} = 1, 41$ $r_{4} = 1, 4142; . . .$

$\lim_{n \to + \infty} r_{n} = \sqrt{2} .$

Cho a là số thực dương và $α$ là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ $(r_{n})$ mà $\lim_{n \to + \infty} r_{n} = α .$ Khi đó, dãy số $(a^{r_{n}})$ có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ $(r_{n})$ đã chọn. Giới hạn đó gọi là luỹ thừa của a với số mũ $α$ , kí hiệu là $a^{α}$ .
$a^{α} = \lim_{n \to + \infty} a^{r_{n}}$ .

Chú ý

Luỹ thừa với số mũ thực (của một số dương) có đầy đủ các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên đã nêu trong Mục 1.

Ví dụ 5

Dạng bài: Rút gọn biểu thức luỹ thừa

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{a^{\sqrt{6} - 1} \cdot a^{3 - \sqrt{5}}}{(a^{\sqrt{3} + 1})^{\sqrt{3} - 1}} (a > 0) .$

Lời giải

Giải
$A = \frac{a^{\sqrt{6} - 1} \cdot a^{3 - \sqrt{5}}}{(a^{\sqrt{3} + 1})^{\sqrt{3} - 1}} = \frac{a^{\sqrt{6} - 1 + 3 - \sqrt{5}}}{a^{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}} = \frac{a^{2}}{a^{3 - 1}} = \frac{a^{2}}{a^{2}} = 1.$

Ví dụ 6

Dạng bài: So sánh luỹ thừa

Không sử dụng máy tính, hãy so sánh các số $8^{\sqrt{3}}$ và $4^{2 \sqrt{3}}$

Hình/bảng: Hình ảnh một cô gái đang suy nghĩ, với bong bóng lời thoại 'Ta đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số.'

Lời giải

Giải
Ta có: $8^{\sqrt{3}} = (2^{3})^{\sqrt{3}} = 2^{3 \sqrt{3}}$ và $4^{2 \sqrt{3}} = (2^{2})^{2 \sqrt{3}} = 2^{4 \sqrt{3}}$
Vì $3 \sqrt{3} < 4 \sqrt{3}$ và $2 > 1$ nên $2^{3 \sqrt{3}} < 2^{4 \sqrt{3}}$ Vậy $8^{\sqrt{3}} < 4^{2 \sqrt{3}}$

Luyện tập 5

Dạng bài: Rút gọn biểu thức luỹ thừa

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{(a^{\sqrt{2} - 1})^{1 + \sqrt{2}}}{a^{\sqrt{6} - 1} \cdot a^{3 - \sqrt{6}}} (a > 0) .$

Vận dụng

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

b) Tính luỹ thừa với số mũ thực bằng máy tính cầm tay

Có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính căn bậc n và luỹ thừa với số mũ thực.

\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline
\text{Tính} & \text{Bấm phím} & \text{Màn hình hiện} & \text{Kết quả} \\
\text{(làm tròn kết quả} & & & \\
\text{đến chữ số thập phân} & & & \\
\text{thứ tư)} & & & \\
\hline
\sqrt{20,15} & \boxed{\sqrt{\phantom{0}}}~20~.~15~\boxed{=} & 4.488875137 & \sqrt{20,15}\approx4,4889 \\
\hline
\sqrt[5]{320} & \boxed{\text{SHIFT}}~\boxed{\sqrt[x]{\phantom{0}}}~5~\boxed{\rightarrow}~320~\boxed{=} & 3.169786385 & \sqrt[5]{320}\approx3.1698 \\
\hline
15^{3,2} & 15~\boxed{x^{\square}}~3~.~2~\boxed{=} & 5800.855256 & 15^{3,2}\approx5~800,8553 \\
\hline
\end{array}

BÀI TẬP 6.1

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức luỹ thừa

Tính:
a) $(\frac{1}{5})^{- 2};$
b) $4^{\frac{3}{2}};$
c) $(\frac{1}{8})^{- \frac{2}{3}};$
d) $(\frac{1}{16})^{- 0, 75} .$

6.2

Dạng bài: Thực hiện phép tính luỹ thừa

Thực hiện phép tính:
a) $27^{\frac{2}{3}} + 81^{- 0, 75} - 25^{0, 5};$
b) $4^{2 - 3 \sqrt{7}} \cdot 8^{2 \sqrt{7}}$

6.3

Dạng bài: Rút gọn biểu thức luỹ thừa

Rút gọn các biểu thức sau:
a) $A = \frac{x^{5} y^{- 2}}{x^{3} y} (x, y \neq 0);$
b) $B = \frac{x^{2} y^{- 3}}{(x^{- 1} y^{4})^{- 3}} (x, y \neq 0) .$

6.4

Dạng bài: Rút gọn biểu thức luỹ thừa

Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
a) $A = \frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}};$
b) $B = (\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3} - 1}})^{\sqrt{3} + 1} \cdot \frac{x^{- \sqrt{3} - 1}}{y^{- 2}} .$

6.5

Dạng bài: Chứng minh đẳng thức

Chứng minh rằng: $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} = 2$

6.6

Dạng bài: So sánh luỹ thừa

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:
a) $5^{6 \sqrt{3}}$ và $5^{3 \sqrt{6}}$ .
b) $(\frac{1}{2})^{- \frac{4}{3}}$ và ${\sqrt{2}}^{- 2 \sqrt{3}} .$

6.7

Dạng bài: Tính lãi kép

Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm r (r được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thì tổng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:
$A = P (1 + \frac{r}{n})^{N} .$
Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

6.8

Dạng bài: Tính dân số theo công thức

Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức $A = 19 \cdot 2^{\frac{t}{30}}$ . Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống.