Bài 26. Khoảng cách – Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Thuật ngữ: Khoảng cách · Chiều cao của hình chóp, hình lăng trụ · Đường vuông góc chung

Khoảng cách
Chiều cao của hình chóp,
hình lăng trụ
Đường vuông góc chung

Xác định khoảng cách giữa các đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.
Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong các trường hợp đơn giản.
Vận dụng kiến thức về khoảng cách vào một số tình huống thực tế.

Khoảng cách là khái niệm được dùng trong nhiều lĩnh vực của đời sống. Trong bài học này ta tìm hiểu về khoảng cách giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng.

Hình 7.73. Hình ảnh các đầu phun nước chữa cháy sprinkler. Chú thích: Fire Sprinkler.

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

HĐ1

a) Cho điểm M và đường thẳng $a$ . Gọi H là hình chiếu của M trên $a$ . Với mỗi điểm K thuộc $a$ , giải thích vì sao $M K \geq M H (H .7.74)$
b) Cho điểm M và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của M trên (P). Với mỗi điểm K thuộc (P), giải thích vì sao $M K \geq M H (H .7.75) .$

Hình 7.74. Điểm M và đường thẳng a. H là hình chiếu của M trên a. K là một điểm trên a. Các điểm M, H, K, a được đánh dấu.

Hình 7.75. Điểm M và mặt phẳng P. H là hình chiếu của M trên P. K là một điểm trên P. Các điểm M, H, K, P được đánh dấu.

Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng $a$ , kí hiệu $d (M, a)$ , là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên $a$ .

Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P), kí hiệu $d (M, (P))$ , là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên (P).

Chú ý

$d (M, a) = 0$ khi và chỉ khi $M \in a$ ; $d (M, (P)) = 0$ khi và chỉ khi $M \in (P) .$

Nhận xét

Khoảng cách từ M đến đường thẳng $a$ (mặt phẳng (P)) là khoảng cách nhỏ nhất giữa M và một điểm thuộc $a$ (thuộc (P)).

Chú ý

Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đáy của một hình chóp được gọi là chiều cao của hình chóp đó.

Ví dụ 1

Cho hình chóp đều S.ABC. Biết độ dài cạnh đáy, cạnh bên tương ứng bằng $a$ , $b (a < b \sqrt{3})$ . Tính chiều cao của hình chóp.
Giải. (H.7.76)
Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm O của tam giác đều ABC. Trong tam giác đều ABC,
ta có $O A = \frac{a}{\sqrt{3}} .$ Trong tam giác vuông SOA, ta có
$S O = \sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{3}} .$
Vậy chiều cao của hình chóp là $S O = \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{3}}$

Hình/bảng: Hình chóp đều S.ABC. O là tâm đáy ABC. Các điểm S, A, B, C, O được đánh dấu.

Hình 7.76. Hình chóp đều S.ABC. O là tâm đáy ABC. Các điểm S, A, B, C, O được đánh dấu.

Luyện tập 1

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có ABC là tam giác vuông cân tại A, $A B = a, A A^{'} = h$ (H.7.77).
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').
b) Tam giác ABC là tam giác gì? Tính khoảng cách từ A đến BC'.

Hình/bảng: Hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'. Các điểm A, B, C, A', B', C' được đánh dấu.

Hình 7.77. Hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'. Các điểm A, B, C, A', B', C' được đánh dấu.

2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

HĐ2

Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm M, N bất kì thuộc $a$ và gọi A, B tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (P) (H.7.78).
Giải thích vì sao ABNM là một hình chữ nhật và M, N có cùng khoảng cách đến (P).

Hình 7.78. Đường thẳng a song song với mặt phẳng P. M, N trên a. A, B là hình chiếu của M, N trên P. Các điểm M, N, A, B, a, P được đánh dấu.

Khoảng cách giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng (P) song song với $a$ , kí hiệu $d (a, (P)),$ là khoảng cách từ một điểm bất kì trên $a$ đến (P).

HĐ3

a) Cho hai đường thẳng $m$ và $n$ song song với nhau. Khi một điểm M thay đổi trên $m$ thì khoảng cách từ nó đến đường thẳng $n$ có thay đổi hay không?
b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) và một điểm M thay đổi trên (P) (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ M đến (Q) thay đổi thế nào khi M thay đổi.

Hình 7.79. Hai mặt phẳng song song P và Q. Điểm M trên P. Đường thẳng m trên P và n trên Q, m song song n. Các điểm M, A, P, Q, m, n được đánh dấu.

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q), kí hiệu $d ((P)$ , (Q)), là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $m$ và $n$ , kí hiệu $d (m, n)$ , là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Nếu đường thẳng $a$ thuộc mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) song song với (P) thì giữa $d (a$ , (Q)) và $d ((P)$ , (Q)) có mối quan hệ gì?

Chú ý

Khoảng cách giữa hai đáy của một hình lăng trụ được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đó.

Ví dụ 2

Cho một hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D', đáy là các hình thoi có cạnh bằng $a$ , $\hat{B A D} = 120^{\circ},$ $A A^{'} = h .$ Tính các khoảng cách giữa A'C' và (ABCD), $A A^{'}$ và (BDD'B').
Giải. (H.7.80)
Đường thẳng $A^{'} C^{'}$ thuộc mặt phẳng (A'B'C'D') nên nó song song với mặt phẳng (ABCD). Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp đứng nên $A^{'} A ⊥ (A B C D)$ .
Vậy $d (A^{'} C^{'}, (A B C D)) = d (A^{'}, (A B C D)) = A^{'} A = h .$
Do $A A^{'}$ song song với $B B^{'}$ nên $A A^{'}$ song song với (BDD'B'). Gọi O là tâm của hình thoi ABCD. Do $A O ⊥ B D$ và $A O ⊥ B B^{'}$ nên $A O ⊥ (B D D^{'} B^{'})$ . Vậy khoảng cách giữa $A A^{'}$ và (BDD'B') bằng độ dài đoạn thẳng AO.
Tam giác BAD cân tại A và có $\hat{B A D} = 120^{\circ}$ nên $\hat{A B O} = 30^{\circ}$ .
Do đó, trong tam giác vuông AOB, ta có $A O = \frac{1}{2} A B = \frac{a}{2} .$
Vậy khoảng cách giữa $A A^{'}$ và (BDD'B') bằng $\frac{a}{2}$

Hình/bảng: Hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' với đáy là hình thoi. Các điểm A, B, C, D, A', B', C', D' được đánh dấu.

Hình 7.80. Hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' với đáy là hình thoi. Các điểm A, B, C, D, A', B', C', D' được đánh dấu.

Luyện tập 2

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ , $S A = h$ . Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC.
a) Tính d((MNP), (ABC)) và d(NP, (ABC)).
b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B và $A B = a$ . Tính $d (A$ , (SBC)).

Hình/bảng: Hình chóp S.ABC. M, N, P là trung điểm của SA, SB, SC. Các điểm S, A, B, C, M, N, P được đánh dấu.

Hình 7.81. Hình chóp S.ABC. M, N, P là trung điểm của SA, SB, SC. Các điểm S, A, B, C, M, N, P được đánh dấu.

Vận dụng

Ở một con dốc lên cầu, người ta đặt một khung khống chế chiều cao, hai cột của khung có phương thẳng đứng và có chiều dài bằng 2,28 m. Đường thẳng nối hai chân cột vuông góc với hai đường mép dốc. Thanh ngang được đặt trên đỉnh hai cột. Biết dốc nghiêng $15^{\circ}$ so phương nằm ngang. Tính khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường (theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Hỏi cầu này có cho phép xe cao 2,21 m đi qua hay không?

Hình 7.82. Hình ảnh một khung khống chế chiều cao trên cầu vượt.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

HĐ4

Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ . Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng $b$ và song song với $a$ . Hình chiếu $a^{'}$ của $a$ trên (Q) cắt $b$ tại N. Gọi M là hình chiếu của N trên $a$ (H.7.83).
a) Mặt phẳng chứa $a$ và $a^{'}$ có vuông góc với (Q) hay không?
b) Đường thẳng MN có vuông góc với cả hai đường thẳng $a$ và $b$ hay không?
c) Nêu mối quan hệ của khoảng cách giữa $a$ , (Q) và độ dài đoạn thẳng MN.

Hình 7.83. Hai đường thẳng chéo nhau a và b. Mặt phẳng Q chứa b và song song a. a' là hình chiếu của a trên Q, cắt b tại N. M là hình chiếu của N trên a. Các điểm M, N, a, b, a', Q được đánh dấu.

Đường thẳng $Δ$ cắt hai đường thẳng chéo nhau $a$ , $b$ và vuông góc với cả hai đường thẳng đó được gọi là đường vuông góc chung của $a$ và $b$ .

Nếu đường vuông góc chung $Δ$ cắt $a$ , $b$ tương ứng tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ , $b$ .

Hình 7.84. Hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường vuông góc chung MN. Các điểm M, N, a, b được đánh dấu.

Nhận xét

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại (H.7.85).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, tương ứng chứa hai đường thẳng đó (H.7.86).

Hình 7.85. Đường thẳng a song song với mặt phẳng P chứa đường thẳng b. Khoảng cách từ a đến P.

Hình 7.86. Hai mặt phẳng song song P và Q. Đường thẳng a trên P, đường thẳng b trên Q. Khoảng cách giữa P và Q.

Ví dụ 3

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ , $A B = a, \hat{A B C} = 60^{\circ}$ . Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Giải. (H.7.87)
Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Tam giác ABH vuông tại H và có $A B = a$ , $\hat{A B H} = 60^{\circ}$ nên $B H = \frac{a}{2}$ .
Do SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên AH là đường vuông góc chung của SA và BC (H thuộc tia BC và $B H = \frac{a}{2})$ .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là $d (S A, B C) = A H = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Hình/bảng: Hình chóp S.ABC. SA vuông góc đáy ABC. H là hình chiếu của A trên BC. Các điểm S, A, B, C, H được đánh dấu.

Hình 7.87. Hình chóp S.ABC. SA vuông góc đáy ABC. H là hình chiếu của A trên BC. Các điểm S, A, B, C, H được đánh dấu.

Khám phá

Cho đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt (P) tại O. Cho đường thẳng $b$ thuộc mặt phẳng (P). Hãy tìm mối quan hệ giữa khoảng cách giữa $a$ , $b$ và khoảng cách từ O đến $b$ (H.7.88).

Hình 7.88. Đường thẳng a vuông góc mặt phẳng P tại O. Đường thẳng b nằm trong P. H là hình chiếu của O trên b. Các điểm O, H, a, b, P được đánh dấu.

Luyện tập 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $S A ⊥ (A B C D)$ , $S A = a \sqrt{2} .$
a) Tính khoảng cách từ A đến SC.
b) Chứng minh rằng $B D ⊥ (S A C)$ .
c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa BD và SC.

Hình 7.89. Hình chóp S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD. SA vuông góc đáy. Các điểm S, A, B, C, D được đánh dấu.

Thảo luận

Khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia. Hãy thảo luận để làm rõ nhận xét này.

Bài tập

7.22

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh $a$ , mặt bên SAD là một tam giác đều và $(S A D) ⊥ (A B C D)$ .
a) Tính chiều cao của hình chóp.
b) Tính khoảng cách giữa BC và (SAD).
c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AB và SD.

7.23

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A A^{'} = a$ $A B = b$ , $B C = C$ .
a) Tính khoảng cách giữa CC' và (BB'D'D).
b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC và B'D'.

7.24

Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng $a$ . Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:
a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.

7.25

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh $a$ .
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC) và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.
b) Xác định các giao điểm E, F của DB' với (D'AC), (BC'A'). Tinh d((D'AC), (BC'A')).

7.26

Giá đỡ ba chân ở Hình 7.90 đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng 110 cm. Tính chiều cao của giá đỡ, biết các chân của giá đỡ dài 129 cm.

Hình 7.90. Hình ảnh giá đỡ ba chân. Các chân dài 129 cm, khoảng cách giữa các gốc chân là 110 cm.

7.27

Một bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang. Trong trường hợp này, độ sâu của bể là khoảng cách giữa mặt nước và đáy bể. Giải thích vì sao để đo độ sâu của bể, ta có thể thả quả dọi chạm đáy bể và đo chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bể nước.

Em có biết?

Vì sao vùng phía bắc chỉ tuyến Bắc và vùng phía nam chí tuyến Nam tia sáng mặt trời không bao giờ vuông góc với mặt đất (tức là, không xảy ra hiện tượng đứng bóng thực sự tại đó)? (Theo nationalgeographic.com)
Tia sáng mặt trời chỉ vuông góc với mặt đất (tức là có hướng đi qua tâm Trái Đất) tại vị trí $P_{\circ}$ trên mặt đất thuộc đoạn thẳng nối tâm O của Trái Đất và tâm I của Mặt Trời (H.7.91b).
Đường thẳng OI thuộc mặt phẳng chứa quỹ đạo của Trái Đất và trục quay SN (Bắc – Nam) của Trái Đất luôn tạo với mặt phẳng đó một góc khoảng $66, 5^{\circ}$ . Từ đó ta có thể rút ra $\hat{N O I} \geq 66, 5^{\circ} .$
Mỗi vị trí P thuộc vùng phía bắc chí tuyến Bắc đều có vĩ độ bắc $φ > 23, 5^{\circ}$ , tức là $\hat{N O P} = 90^{\circ} - φ < 66, 5^{\circ}$ . Để ý rằng ON vuông góc với mặt phẳng xích đạo, nên OP tạo với mặt phẳng xích đạo và đường thẳng ON hai góc phụ nhau.

Mặt khác, nếu xảy ra hiện tượng đứng bóng thực sự ở vị trí P thì điểm P thuộc đoạn thẳng OI và do đó $\hat{N O P} = \hat{N O I} \geq 66, 5^{\circ}$ . Điều này dẫn tới mâu thuẫn. Do đó, không thể xảy ra hiện tượng đứng bóng thực sự tại P.
Trong mô hình toán học được đề cập ở trên, chúng ta thấy, tại mỗi thời điểm, chỉ có thể xảy ra hiện tượng đứng bóng thực sự tại một vị trí (đó là tại vị trí $P_{o}$ trên mặt đất và thuộc đoạn thẳng OI), do đó, nhìn chung ngay cả ở các vị trí thuộc vùng giữa hai đường chí tuyến Bắc, Nam (có vĩ độ nhỏ hơn $66, 5^{\circ}$ ), trong một năm cũng rất hiếm khi xảy ra hiện tượng đứng bóng thực sự.
Tuy vậy, hiện tượng đứng bóng tại một vị trí trên mặt đất được hiểu theo nghĩ rộng hơn; đó là hiện tượng tia sáng mặt trời chiếu trực diện tới Trái Đất tại vị trí đó. Nó xảy ra khi đường kinh tuyến đi qua vị trí đó và tâm I của Mặt Trời cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ NS. Như vậy, tại mỗi vị trí trên mặt đất, mỗi ngày đều xảy ra hiện tượng đứng bóng. Các vị trí thuộc cùng một kinh tuyến thì xảy ra hiện tượng đứng bóng tại cùng một thời điểm, gọi là giữa trưa (trong khoảng 12 giờ trưa cộng, trừ 16 phút).
Góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí lúc giữa trưa được gọi là góc Mặt Trời (như đã phân tích ở trên, nhìn chung, góc này nhọn). Góc Mặt Trời có ảnh hưởng tới sự hấp thụ nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm trên Trái Đất, chẳng hạn vào mùa hè, góc Mặt Trời lớn nên nhiệt độ cao.

Hình 7.91. Hai hình ảnh minh họa Trái Đất và các đường kinh tuyến, vĩ tuyến, trục quay, mặt phẳng xích đạo, tia sáng mặt trời. Hình a) là quả địa cầu với các vùng sáng, tối, vùng không bao giờ có hiện tượng đứng bóng. Hình b) là mặt cắt ngang của Trái Đất với các điểm N, S, O, P, H, I, Po và góc 66.5 độ.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 54–60).