Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và…

Yêu cầu cần đạt

Giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit ở dạng đơn giản.
Giải quyết một số vấn đề liên môn hoặc có liên quan đến thực tiễn gắn với phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.

Thuật ngữ: Phương trình mũ · Phương trình lôgarit · Bất phương trình mũ · Bất phương trình lôgarit

Giả sử giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc xe ô tô sau t năm sử dụng được mô hình hoá bằng công thức:
$V (t) = 780 \cdot (0, 905)^{t}$ .
Hỏi nếu theo mô hình này, sau bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị của chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

1. Phương trình mũ

HĐ1

Nhận biết nghiệm của phương trình mũ
Xét phương trình: $2^{x + 1} = \frac{1}{4}$ .
a) Khi viết $\frac{1}{4}$ thành luỹ thừa của 2 thì phương trình trên trở thành phương trình nào?
b) So sánh số mũ của 2 ở hai vế của phương trình nhận được ở câu a để tìm x.

Phương trình mũ cơ bản có dạng $a^{x} = b$ (với $0 < a \neq 1$ ).
Nếu $b > 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = \log_{a} b$ .
Nếu $b \leq 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Minh hoạ bằng đồ thị:

Hình 6.5. Hai đồ thị minh họa nghiệm của phương trình mũ

a^{x} = b

. Đồ thị bên trái cho

a > 1

, nghiệm

x = \log_{a} b

. Đồ thị bên phải cho

0 < a < 1

, nghiệm

x = \log_{a} b

. Cả hai đều có nghiệm khi

b > 0

Chú ý

Phương pháp giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số:
Nếu $0 < a \neq 1$ thì $a^{u} = a^{v} \Leftrightarrow u = v$ .

Ví dụ 1

Dạng bài: Giải phương trình mũ

Giải phương trình: $3^{x + 1} = \frac{1}{3^{1 - 2 x}}$ .

Lời giải

Giải.
Đưa về phải về cơ số 3, ta có $\frac{1}{3^{1 - 2 x}} = 3^{2 x - 1}$ .
Từ đó phương trình trở thành $3^{x + 1} = 3^{2 x - 1} \Leftrightarrow x + 1 = 2 x - 1 \Leftrightarrow x = 2$ .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 2$ .

Ví dụ 2

Dạng bài: Giải phương trình mũ

Giải phương trình: $10^{x - 1} = 2022$ .

Lời giải

Giải.
Lấy lôgarit thập phân hai vế của phương trình ta được $x - 1 = \log 2022$ hay $x = 1 + \log 2022$ .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1 + \log 2022$ .

Luyện tập 1

Dạng bài: Giải phương trình mũ

Giải các phương trình sau:
a) $2^{3 x - 1} = \frac{1}{2^{x + 1}}$ ;
b) $2 e^{2 x} = 5$ .

2. Phương trình lôgarit

HĐ2

Nhận biết nghiệm của phương trình lôgarit
Xét phương trình: $2 \log_{2} x = - 3$ .
a) Từ phương trình trên, hãy tính $\log_{2} x$ .
b) Từ kết quả ở câu a và sử dụng định nghĩa lôgarit, hãy tìm x.

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng $\log_{a} x = b (0 < a \neq 1)$ .
Phương trình lôgarit cơ bản $\log_{a} x = b$ có nghiệm duy nhất $x = a^{b}$ .

Minh hoạ bằng đồ thị:

Hình 6.6. Hai đồ thị minh họa nghiệm của phương trình lôgarit

\log_{a} x = b

. Đồ thị bên trái cho

a > 1

, nghiệm

x = a^{b}

. Đồ thị bên phải cho

0 < a < 1

, nghiệm

x = a^{b}

Chú ý

Phương pháp giải phương trình lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số:
Nếu u, $v > 0$ và $0 < a \neq 1$ thì $\log_{a} u = \log_{a} v \Leftrightarrow u = v$ .

Ví dụ 3

Dạng bài: Giải phương trình lôgarit

Giải phương trình: $4 + 3 \log (2 x) = 16$ .

Lời giải

Giải.
Điều kiện: $2 x > 0$ hay $x > 0$ .
Phương trình trở thành $\log (2 x) = 4$ . Từ đó $2 x = 10^{4}$ hay $x = 5000$ (thoả mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 5000$ .

Ví dụ 4

Dạng bài: Giải phương trình lôgarit

Giải phương trình: $\log_{3} (x + 1) = \log_{3} (x^{2} - 1)$ .

Lời giải

Giải.
Điều kiện: $x + 1 > 0$ và $x^{2} - 1 > 0$ tức là $x > 1$ .
Phương trình trở thành $x + 1 = x^{2} - 1$ hay $x^{2} - x - 2 = 0$ .
Từ đó tìm được $x = - 1$ và $x = 2$ , nhưng chỉ có nghiệm $x = 2$ thoả mãn điều kiện.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 2$ .

Luyện tập 2

Dạng bài: Giải phương trình lôgarit

Giải các phương trình sau:
a) $4 - \log (3 - x) = 3$ ;
b) $\log_{2} (x + 2) + \log_{2} (x - 1) = 1$ .

3. Bất phương trình mũ

HĐ3

Nhận biết nghiệm của bất phương trình mũ
Cho đồ thị của các hàm số $y = 2^{x}$ và $Y = 4$ như Hình 6.7. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số $y = 2^{x}$ nằm phía trên đường thẳng $Y = 4$ và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình $2^{x} > 4$ .

Hình 6.7. Đồ thị hàm số

y = 2^{x}

và đường thẳng

y = 4

. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ

x = 2

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^{x} > b$ (hoặc $a^{x} \geq b$ , $a^{x} < b$ , $a^{x} \leq b$ ) với $a > 0$ , $a \neq 1$ .
Xét bất phương trình dạng $a^{x} > b$ :
Nếu $b \leq 0$ thì tập nghiệm của bất phương trình là $R$ .
Nếu $b > 0$ thì bất phương trình tương đương với $a^{x} > a^{\log_{a} b}$ .
Với $a > 1$ , nghiệm của bất phương trình là $x > \log_{a} b$ .
Với $0 < a < 1$ , nghiệm của bất phương trình là $x < \log_{a} b$ .

Chú ý

a) Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.
b) Nếu $a > 1$ thì $a^{u} > a^{v} \Rightarrow u > v$ .
Nếu $0 < a < 1$ thì $a^{u} > a^{v} \Rightarrow u < v$ .

Ví dụ 5

Dạng bài: Giải bất phương trình mũ

Giải bất phương trình: $16^{x} > \frac{1}{8}$ .

Lời giải

Giải.
Ta có: $16^{x} > \frac{1}{8} \Leftrightarrow 2^{4 x} > 2^{- 3} \Leftrightarrow 4 x > - 3 \Leftrightarrow x > - \frac{3}{4}$ .

Ví dụ 6

Dạng bài: Ứng dụng bất phương trình mũ

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải

Giải.
Ta cần tìm t sao cho
$V (t) \leq 300 \Leftrightarrow 780 \cdot (0, 905)^{t} \leq 300 \Leftrightarrow (0, 905)^{t} \leq \frac{5}{13} \Leftrightarrow t \geq \log_{0, 905} \frac{5}{13} \approx 9, 6$ .
Vậy sau khoảng 10 năm sử dụng, giá trị của chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng.

Luyện tập 3

Dạng bài: Giải bất phương trình mũ

Giải các bất phương trình sau:
a) $0, 1^{2 x - 1} \leq 0, 1^{2 - x}$ ;
b) $3 \cdot 2^{x + 1} \leq 1$ .

4. Bất phương trình lôgarit

HĐ4

Nhận biết nghiệm của bất phương trình lôgarit
Cho đồ thị của các hàm số $y = \log_{2} x$ và $y = 2$ như Hình 6.8. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số $y = \log_{2} x$ nằm phía trên đường thẳng $y = 2$ và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} x > 2$ .

Hình 6.8. Đồ thị hàm số

y = \log_{2} x

và đường thẳng

y = 2

. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ

x = 4

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng $\log_{a} x > b$ (hoặc $\log_{a} x \geq b$ , $\log_{a} x < b$ , $\log_{a} x \leq b$ ) với $a > 0$ , $a \neq 1$ .
Xét bất phương trình dạng $\log_{a} x > b$ :
Nếu $a > 1$ thì nghiệm của bất phương trình là $x > a^{b}$ .
Nếu $0 < a < 1$ thì nghiệm của bất phương trình là $0 < x < a^{b}$ .

Chú ý

a) Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại được giải tương tự.
b) Nếu $a > 1$ thì $\log_{a} u > \log_{a} v \Leftrightarrow u > v > 0$ .
Nếu $0 < a < 1$ thì $\log_{a} u > \log_{a} v \Leftrightarrow 0 < u < v$ .

Ví dụ 7

Dạng bài: Giải bất phương trình lôgarit

Giải bất phương trình: $\log_{0, 3} (x + 1) \leq \log_{0, 3} (2 x - 1)$ .

Lời giải

Giải.
Điều kiện: $x > \frac{1}{2}$ .
Vì cơ số $0, 3 < 1$ nên bất phương trình trở thành $x + 1 \geq 2 x - 1$ , từ đó tìm được $x \leq 2$ .
Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là $\frac{1}{2} < x \leq 2$ .

Luyện tập 4

Dạng bài: Giải bất phương trình lôgarit

Giải các bất phương trình sau:
a) $\log_{\frac{1}{7}} (x + 1) > \log_{7} (2 - x)$ ;
b) $2 \log (2 x + 1) > 3$ .

Vận dụng

Áp suất khí quyển p (tính bằng kilopascal, viết tắt là kPa) ở độ cao h (so với mực nước biển, tính bằng km) được tính theo công thức sau:
$\ln (\frac{p}{100}) = - \frac{h}{7}$ .
a) Tính áp suất khí quyển ở độ cao 4 km.
b) Ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển sẽ như thế nào?

Bài tập

6.20

Dạng bài: Giải phương trình mũ

Giải các phương trình sau:
a) $3^{x - 1} = 27$ ;
b) $100^{2 x^{2} - 3} = 0, 1^{2 x^{2} - 18}$ ;
c) $\sqrt{3} e^{3 x} = 1$ ;
d) $5^{x} = 3^{2 x - 1}$ .

6.21

Dạng bài: Giải phương trình lôgarit

Giải các phương trình sau:
a) $\log (x + 1) = 2$ ;
b) $2 \log_{4} x + \log_{2} (x - 3) = 2$ ;
c) $\ln x + \ln (x - 1) = \ln 4 x$ ;
d) $\log_{3} (x^{2} - 3 x + 2) = \log_{3} (2 x - 4)$ .

6.22

Dạng bài: Giải bất phương trình mũ và lôgarit

Giải các bất phương trình sau:
a) $0, 1^{2 - x} > 0, 1^{4 + 2 x}$ ;
b) $2 \cdot 5^{2 x + 1} \leq 3$ ;
c) $\log_{3} (x + 7) \geq - 1$ ;
d) $\log_{0, 5} (x + 7) \geq \log_{0, 5} (2 x - 1)$ .

6.23

Dạng bài: Ứng dụng hàm số mũ (lãi kép)

Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi 7,5% một năm theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi) sau n năm là:
$A = 500 \cdot (1 + 0, 075)^{n}$ (triệu đồng).
Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).

6.24

Dạng bài: Ứng dụng hàm số mũ (tăng trưởng)

Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con. Người ta lấy một mẫu vi khuẩn trong mẻ nuôi cấy đó, đếm số lượng vi khuẩn và thấy rằng tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là 40% mỗi giờ. Khi đó số lượng vi khuẩn $N (t)$ sau t giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức sau:
$N (t) = 500 e^{0.4 t}$ .
Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con?

6.25

Dạng bài: Ứng dụng hàm số mũ (giảm dần)

Giả sử nhiệt độ $T (^{\circ} C)$ của một vật giảm dần theo thời gian cho bởi công thức:
$T = 25 + 70 e^{- 0.5 t}$ , trong đó thời gian t được tính bằng phút.
a) Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.
b) Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại $30^{\circ} C$ ?

6.26

Dạng bài: Ứng dụng hàm số lôgarit (pH)

Tính nồng độ ion hydrogen (tính bằng $m o l / l i t)$ của một dung dịch có độ pH là 8.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 20–24).