Bài 33. Đạo hàm cấp hai – Toán 11 tập 2 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết khái niệm đạo hàm cấp hai của một hàm số.
Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm số đơn giản.
Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải quyết một số bài toán thực tiễn.

Thuật ngữ: Đạo hàm cấp hai · Gia tốc tức thời

Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản không khí) được cho bởi phương trình sau:
$x (t) = 4 \cos (2 π t + \frac{π}{3})$
ở đó x tính bằng centimét và thời gian t tỉnh bằng giây. Tìm gia tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 5$ giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hình 9.9. Con lắc lò xo

Khái niệm đạo hàm cấp hai

HĐ1

Nhận biết đạo hàm cấp hai của một hàm số
a) Gọi $g (x)$ là đạo hàm của hàm số $y = \sin (2 x + \frac{π}{4}) . T i m g (x) .$
b) Tính đạo hàm của hàm số $y = g (x)$ .

Giả sử hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại mỗi điểm $x \in (a; b) .$ Nếu hàm số $y^{'} = f^{'} (x)$ lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của $y^{r}$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f (x)$ tại x, kí hiệu là $y^{^{''}}$ hoặc $f^{''} (x)$

Ví dụ 1

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^{2} + e^{2 x - 1} .$ Từ đó tính $y^{''} (0)$ .

Lời giải

Giải
Ta có: $y^{'} = 2 x + (2 x - 1)^{'} \cdot e^{2 x - 1} = 2 x + 2 e^{2 x - 1};$
$y^{''} = 2 + 2 (2 x - 1)^{'} \cdot e^{2 x - 1} = 2 + 4 e^{2 x - 1}$
Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là $y^{''} = 2 + 4 e^{2 x - 1} .$
Khi đó ta có: $y^{''} (0) = 2 + 4 e^{- 1}$ .

Luyện tập 1

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) $y = x e^{2 x}$
b) $y = \ln (2 x + 3)$

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một chuyển động có vận tốc tức thời $v (t)$ . Cho số gia $Δ f$ tại t và $Δ v = v (t + Δ t) - v (t)$ .
Tỉ số $\frac{Δ v}{Δ t}$ gọi là gia tốc trung bình trong khoảng thời gian $Δ f$ . Giới hạn của gia tốc trung bình (nếu có) khi $Δ t$ dần tới 0 được gọi là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t, kí hiệu là $a (t)$ Như vậy
$a (t) = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ v}{Δ t} = v^{'} (t) .$

HĐ2

Nhận biết ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét một chuyển động có phương trình $s = 4 \cos 2 π t$ .
a) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.
b) Tính gia tốc tức thời tại thời điểm t.

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Một chuyển động có phương trình $s = f (t)$ thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số $f (t)$ là gia tốc tức thời của chuyển động. Ta có:
$a (t) = f^{''} (t)$ .

Ví dụ 2

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải

Giải
Vận tốc của vật tại thời điểm là
$v (t) = x^{'} (t) = - (2 π t + \frac{π}{3})^{'} \cdot 4 \sin (2 π t + \frac{π}{3}) = - 8 π \sin (2 π t + \frac{π}{3}) .$
Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là
$a (t) = v^{'} (t) = - 8 π (2 π t + \frac{π}{3})^{'} \cdot \cos (2 π t + \frac{π}{3}) = - 16 π^{2} \cos (2 π t + \frac{π}{3}) .$
Tại thời điểm $t = 5$ , gia tốc của vật là
$a (5) = - 16 π^{2} \cos (10 π + \frac{π}{3}) = - 16 π^{2} \cos \frac{π}{3} \approx - 79 (c m / s^{2}) .$

Vận dụng

Một vật chuyền động thẳng có phương trình $s = 2 t^{2} + \frac{1}{2} t^{4}$ (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc của vật tại thời điểm $t = 4$ giây.

Bài tập

9.13

Cho hàm số $f (x) = x^{2} e^{x}$ Tinh $f^{''} (0)$ .

9.14

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) $y = \ln (x + 1)$ ; b) $y = \tan 2 x$ .

9.15

Cho hàm số $P (x) = a x^{2} + b x + 3$ (a, b là hằng số). Tìm a, b biết $P^{'} (1) = 0$ và $P^{''} (1) = - 2.$

9.16

Cho hàm số $f (x) = 2 \sin^{2} (x + \frac{π}{4}) .$ Chứng minh rằng $∣ f^{''} (x) ∣ \leq 4$ với mọi x.

9.17

Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi $s (t) = 10 + 0, 5 \sin (2 π t + \frac{π}{5}),$ trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm $t = 5$ giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

$a (t) = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ v}{Δ t} = v^{'} (t) .$

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 95–96).