Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Thuật ngữ

Kiến thức, kĩ năng

Góc giữa hai mặt phẳng
Hai mặt phẳng vuông góc
Góc nhị diện
Góc phẳng của góc nhị diện
Hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều
Hình hộp đứng
Hình chóp đều, hình chóp cụt đều

Nhận biết góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.
Xác định điều kiện hai mặt phẳng vuông góc.
Giải thích tính chất cơ bản của hai mặt phẳng vuông góc.
Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện, tính góc phẳng nhị diện trong một số trường hợp đơn giản.
Giải thích tính chất cơ bản của hình chóp đều, hình lăng trụ đứng (và các trường hợp đặc biệt của nó).
Vận dụng kiến thức của bài học để mô tả một số hình ảnh thực tế.

Ta có thể gắn cho mỗi vị trí trên Trái Đất một cặp số, được gọi là vĩ độ và kinh độ. Mỗi vị trí trên Trái Đất hoàn toàn xác định khi biết vĩ độ và kinh độ của nó. Sau bài học này, ta có thể hiểu và diễn đạt chính xác các khái niệm đó.

1. Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

HĐ1

HĐ1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a, b) và (a', b').

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy các đường thẳng a, b tương ứng vuông góc với (P), (Q). Khi đó, góc giữa a và b không phụ thuộc vào vị trí của a, b và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 $^{\circ}$ .

Chú ý

Chú ý. Nếu $φ$ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì $0 \leq φ \leq 90^{\circ}$ .

Góc giữa hai mặt phẳng bằng 0 $^{\circ}$ khi nào, khác 0 $^{\circ}$ khi nào?

Hình 7.44. Hình 7.44: Hai mặt phẳng (P) và (Q). Các đường thẳng a, a' vuông góc với (P). Các đường thẳng b, b' vuông góc với (Q).

Ví dụ 1

Dạng bài: Tính góc giữa hai mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến $Δ$ . Lấy một điểm O bất kì thuộc đường thẳng $Δ$ . Gọi m, n là các đường thẳng đi qua O, tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với $Δ$ . Chứng minh rằng góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa m và n.

Lời giải

Giải. (H.7.45)
Trong mặt phẳng chứa m, n, lấy một điểm E không thuộc các đường thẳng m, n. Gọi A, B tương ứng là hình chiếu của E trên m, n. Khi đó A vuông góc với các đường thẳng EA, EB.
Do EA $⊥$ m, EA $⊥ Δ$ nên EA $⊥$ (P). Tương tự, EB $⊥$ (Q). Do đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa EA và EB.
Do $\hat{O A E} = 90^{\circ} = \hat{O B E}$ nên bốn điểm O, A, E, B thuộc một đường tròn. Do đó, $\hat{A O B}$ và $\hat{A E B}$ bằng hoặc bù nhau, tức là (EA, EB) = (m, n).
Vậy góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa m và n.

Nhận xét

Nhận xét. (H.7.46) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến $Δ$ . Lấy hai đường thẳng m, n tương ứng thuộc (P), (Q) và cùng vuông góc với $Δ$ tại một điểm O (nói cách khác, lấy một mặt phẳng vuông góc với $Δ$ , cắt (P), (Q) tương ứng theo các giao tuyến m, n). Khi đó, góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa m và n. Đặc biệt, (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi m vuông góc với n.

Luyện tập 1

Dạng bài: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Luyện tập 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO $⊥$ (ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông.

2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

HĐ2

HĐ2. Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng a vuông góc với (P) (H.7.47).
a) Tính góc giữa a và b.
b) Tính góc giữa (P) và (Q).

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Ví dụ 2

Dạng bài: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC có OA vuông góc với OB và OC. Chứng minh rằng các mặt phẳng (OAB) và (OAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (OBC).

Lời giải

Giải
Do OA vuông góc với OB và OC nên OA $⊥$ (OBC). Mặt khác, các mặt phẳng (OAB), (OAC) chứa OA. Do đó chúng cùng vuông góc với mặt phẳng (OBC).

Hình 7.45. Hình 7.45: Hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến

Δ

. Các đường thẳng m, n qua O trên

Δ

và vuông góc với

Δ

Hình 7.46. Hình 7.46: Hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến

Δ

. Các đường thẳng m, n vuông góc với

Δ

Hình 7.47. Hình 7.47: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với (Q). Đường thẳng a vuông góc với (P).

Luyện tập 2

Dạng bài: Ứng dụng thực tế về mặt phẳng vuông góc

Luyện tập 2. Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bản lề của cửa phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng – mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.

3. Tính chất hai mặt phẳng vuông góc

HĐ3

HĐ3. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến $Δ$ của (P) và (Q). Gọi O là giao điểm của a và $Δ$ . Trong mặt phẳng (Q), gọi b là đường thẳng vuông góc với $Δ$ tại O.
a) Tính góc giữa a và b.
b) Tìm mối quan hệ giữa a và (Q).

Với hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Nhận xét

Nhận xét. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mỗi đường thẳng qua điểm O thuộc (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q) thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng (P).

HĐ4

HĐ4. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a và cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).
a) Hỏi a' có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) hay không?
b) Tìm mối quan hệ giữa a và a'.
c) Tìm mối quan hệ giữa a và (R).

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Ví dụ 3

Dạng bài: Chứng minh mặt phẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc, các điểm đồng phẳng

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA $⊥$ (ABCD). Gọi B', C', D' tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SC, SD. Chứng minh rằng:
a) (SBC) $⊥$ (SAB), AB' $⊥$ (SBC), AD' $⊥$ (SCD).
b) Các điểm A, B', C', D' cùng thuộc một mặt phẳng.

Lời giải

Giải. (H.7.50)
a) Vì BC $⊥$ SA và BC $⊥$ AB nên BC $⊥$ (SAB). Do đó, (SBC) $⊥$ (SAB). Đường thẳng AB' thuộc (SAB) và vuông góc với SB nên AB' $⊥$ (SBC). Tương tự AD' $⊥$ (SCD).
b) Từ câu a ta có AB' $⊥$ SC, AD' $⊥$ SC. Các đường thẳng AB', AC', AD' cùng đi qua A và vuông góc với SC nên cùng thuộc một mặt phẳng. Do đó bốn điểm A, B', C', D' cùng thuộc một mặt phẳng.

Hình 7.48. Hình 7.48: Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến

Δ

. Đường thẳng a thuộc (P) vuông góc với

Δ

. Đường thẳng b thuộc (Q) vuông góc với

Δ

Hình 7.49. Hình 7.49: Hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a, cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Đường thẳng a' qua O trên a và vuông góc với (R).

Hình 7.50. Hình 7.50: Hình chóp S.ABCD với đáy là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD). B', C', D' là hình chiếu của A trên SB, SC, SD.

Luyện tập 3

Dạng bài: Chứng minh mặt phẳng vuông góc, xác định giao tuyến

Luyện tập 3. Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:
a) Các mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC);
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.

4. Góc nhị diện

HĐ5

HĐ5. Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số đo từ 100 $^{\circ}$ đến 105 $^{\circ}$ . Trong Hình 7.51, các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyến a của mặt ghế và lưng ghế.
a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình nên có số đo từ 100 $^{\circ}$ đến 105 $^{\circ}$ ?
b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiêu đến bao nhiêu độ?

Hình gồm hai nửa mặt phẳng (P), (Q) có chung bờ a được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu là [P, a, Q]. Đường thẳng a và các nửa mặt phẳng (P), (Q) tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó.
Mỗi đường thẳng a trong một mặt phẳng chia mặt phẳng thành hai phần, mỗi phần cùng với a là một nửa mặt phẳng bờ a.

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q] (gọi tắt là góc phẳng nhị diện). Số đo của góc xOy không phụ thuộc vào vị trí của O trên a, được gọi là số đo của góc nhị diện [P, a, Q].

Chú ý

Chú ý
Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 0 $^{\circ}$ đến 180 $^{\circ}$ . Góc nhị diện được gọi là vuông, nhọn, tù nếu nó có số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hơn 90 $^{\circ}$ .
Đối với hai điểm M, N không thuộc đường thẳng a, ta kí hiệu [M, a, N] là góc nhị diện có cạnh a và các mặt tương ứng chứa M, N.
Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì các góc nhị diện còn lại cũng là góc nhị diện vuông.

Hình 7.51. Hình 7.51: Ghế bàn ăn với lưng ghế và mặt ghế tạo thành một góc. Các tia Ox, Oy vuông góc với giao tuyến a.

Hình 7.52. Hình 7.52: Hai nửa mặt phẳng (P), (Q) có chung bờ a, tạo thành góc nhị diện.

Hình 7.53. Hình 7.53: Góc phẳng nhị diện xOy tại điểm O trên cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q].

Ví dụ 4

Dạng bài: Tính góc nhị diện, chứng minh góc phẳng nhị diện

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có SA $⊥$ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a, AC = a, SA = $\frac{1}{2}$ a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình thoi ABCD và H là hình chiếu của O trên SC.
a) Tính số đo của các góc nhị diện [B, SA, D]; [S, BD, A]; [S, BD, C].
b) Chứng minh rằng BHD là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SC, D].

Lời giải

Giải. (H.7.54)
a) Vì SA $⊥$ (ABCD) nên AB và AD vuông góc với SA. Vậy $\hat{B A D}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SA, D]. Hình thoi ABCD có cạnh bằng a và AC = a nên các tam giác ABC, ACD đều. Do đó $\hat{B A D} = 120^{\circ}$ . Vậy số đo của góc nhị diện [B, SA, D] bằng 120 $^{\circ}$ .
Vì BD $⊥$ AC và BD $⊥$ SA nên BD $⊥$ (SAC). Vậy AC và SO vuông góc với BD. Suy ra $\hat{A O S}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BD, A] và $\hat{C O S}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BD, C].
Tam giác SAO vuông tại A và có SA = $\frac{1}{2}$ a = AO nên $\hat{A O S} = 45^{\circ}$ . Suy ra $\hat{C O S} = 180^{\circ} - \hat{A O S} = 135^{\circ}$ .
Vậy các góc nhị diện [S, BD, A], [S, BD, C] tương ứng có số đo là 45 $^{\circ}$ , 135 $^{\circ}$ .
b) Theo chứng minh trên, BD $⊥$ (SAC) nên BD $⊥$ SC. Mặt khác, OH $⊥$ SC nên SC $⊥$ (BOD). Do đó, BHD là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SC, D].

Luyện tập 4

Dạng bài: Chứng minh góc phẳng nhị diện, tính góc nhị diện

Luyện tập 4. Cho hình chóp S.ABC có SA $⊥$ (ABC), AB = AC = a, $\hat{B A C} = 120^{\circ}$ , SA = $\frac{a}{2 \sqrt{3}}$ . Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng SMA là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].
b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Vận dụng 1

Vận dụng 1. Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng d; khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm.

Trở lại vấn đề được nêu ở đầu bài học. Trên Trái Đất, mỗi kinh tuyến là một nửa đường tròn có đường kính là trục của Trái Đất (đoạn thẳng nối cực Bắc và cực Nam). Kinh tuyến gốc là kinh tuyến đi qua Đài Thiên văn Greeanwich ở London. Mặt phẳng chứa kinh tuyến gốc chia Trái Đất làm hai nửa là Đông và Tây, nước ta nằm ở nửa Đông. Kinh độ của một điểm P trên Trái Đất là số đo của

Hình 7.54. Hình 7.54: Hình chóp S.ABCD với đáy là hình thoi ABCD. SA vuông góc với (ABCD). O là giao điểm hai đường chéo. H là hình chiếu của O trên SC.

Hình 7.55. Hình 7.55: Hình chóp S.ABC với SA vuông góc (ABC). AB=AC=a, góc BAC=120 độ. M là trung điểm BC.

Hình 7.56. Hình 7.56: Cửa sổ hình bán nguyệt. Cánh và khung cửa có đường kính 80cm. Khoảng cách d=40cm.

góc nhị diện có hai cạnh tương ứng chứa kinh tuyến gốc và kinh tuyến đi qua P (cạnh của góc nhị diện này là trục Trái Đất). Do đó, các điểm trên cùng kinh tuyến thì có cùng kinh độ. Vĩ độ của điểm P là số đo của góc giữa mặt phẳng chứa đường xích đạo và đường thẳng nối P với tâm Trái Đất. Mỗi điểm trên Trái Đất sẽ thuộc một trong hai bán cầu Bắc hoặc Nam và thuộc nửa Đông hay nửa Tây. Vì vậy, đi kèm số đo vĩ độ còn có chữ E hoặc Wnếu vị trí đó tương ứng thuộc nửa Đông, nửa Tây, và có chữ N, S nếu vị trí đó tương ứng ở bán cầu Bắc, bán cầu Nam. Chẳng hạn, Bia Chủ quyền đảo Song Tử Tây thuộc xã Song Tử Tây, huyện Hoàng Sa, tỉnh Khánh Hoà, có vị trí: 11 $^{\circ}$ 25'55''N, 114 $^{\circ}$ 8'00''E. (Theo baokhanhhoa.vn).

5. Một số hình lăng trụ đặc biệt

Trong chương IV, ta đã biết khái niệm hình lăng trụ. Với các kiến thức về quan hệ vuông góc, ta có thể định nghĩa một số hình lăng trụ đặc biệt sau đây.

a) Hình lăng trụ đứng

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

HĐ4

HĐ4. Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình gì và các mặt bên đó có vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?

Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.

b) Hình lăng trụ đều

Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

HĐ7

HĐ7. Các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước hay không? Vì sao?

Hình lăng trụ đều có các mặt bên là các hình chữ nhật có cùng kích thước.

c) Hình hộp đứng

Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng, có đáy là hình bình hành.

HĐ8

HĐ8. Trong 6 mặt của hình hộp đứng, có ít nhất bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

Hình hộp đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.

d) Hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Hình 7.57. Hình 7.57: Quả địa cầu với các đường kinh tuyến, vĩ tuyến, xích đạo.

Hình 7.58. Hình 7.58: Hình lăng trụ đứng.

Hình 7.59. Hình 7.59: Hình lăng trụ đều.

Hình 7.60. Hình 7.60: Hình hộp đứng.

Hình 7.61. Hình 7.61: Hình hộp chữ nhật.

Ví dụ 4

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D)$ , đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng $a$ , $A C = a$ , $S A = \frac{1}{2} a .$ Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình thoi ABCD và H là hình chiếu của O trên SC.
a) Tính số đo của các góc nhị diện [B, SA, D]; [S, BD, A]; [S, BD, C].
b) Chứng minh rằng BHD là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SC, D].
Giải. (H.7.54)
a) Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên AB và AD vuông góc với SA. Vậy $\hat{B A D}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SA, D]. Hình thoi ABCD có cạnh bằng $a$ và $A C = a$ nên các tam giác ABC, ACD đều. Do đó $\hat{B A D} = 120^{\circ}$ . Vậy số đo của góc nhị diện [B, SA, D] bằng $120^{\circ}$ .
Vì $B D ⊥ A C$ và $B D ⊥ S A$ nên $B D ⊥ (S A C)$ . Vậy AC và SO vuông góc với BD. Suy ra $\hat{A O S}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BD, A] và $\hat{C O S}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BD, C].
Tam giác SAO vuông tại A và có $S A = \frac{1}{2} a = A O$ nên $\hat{A O S} = 45^{\circ}$ . Suy ra $\hat{C O S} = 180^{\circ} - \hat{A O S} = 135^{\circ}$ .
Vậy các góc nhị diện [S, BD, A], [S, BD, C] tương ứng có số đo là $45^{\circ},$ $135^{\circ}$ .
b) Theo chứng minh trên, $B D ⊥ (S A C)$ nên $B D ⊥ S C$ . Mặt khác, $O H ⊥ S C$ nên $S C ⊥ (B O D)$ . Do đó, $\hat{B H D}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SC, D].

Hình/bảng: Hình chóp S.ABCD với SA vuông góc đáy ABCD là hình thoi. O là tâm đáy, H là hình chiếu của O trên SC. Các điểm B, C, D, S, A được đánh dấu.

Luyện tập 4

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ , $A B = A C = a$ , $\hat{B A C} = 120^{\circ}$ , $S A = \frac{a}{2 \sqrt{3}} .$ Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng $\hat{S M A}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].
b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Hình/bảng: Hình chóp S.ABC với SA vuông góc đáy ABC. M là trung điểm BC. Các điểm S, A, B, C, M được đánh dấu.

Vận dụng 1

Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng $d$ khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi $d = 40$ cm.

Hình/bảng: Hình ảnh một cửa sổ có hai nửa hình tròn, một cánh cửa mở ra. Có ghi 40 cm và M.

HĐ4

Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình gì và các mặt bên đó có vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?

Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.

HĐ7

Các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước hay không? Vì sao?

Hình lăng trụ đều có các mặt bên là các hình chữ nhật có cùng kích thước.

HĐ8

Trong 6 mặt của hình hộp đứng, có ít nhất bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

Hình hộp đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.

HĐ9

a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?
b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường hay không? Vì sao?

Hình hộp chữ nhật có các mặt bên là hình chữ nhật. Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có độ dài bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Ví dụ 5

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng AA'CC là một hình chữ nhật.
Giải. (H.7.62)
Ta có $A A^{'} = C C^{'}$ và AA' II CC' (vì AA', CC' cùng bằng và cùng song song với DD). Do đó ACC'A' là một hình bình hành.
Mặt khác, $A A^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ nên $A A^{'} ⊥ A^{'} C^{'}$ . Do đó ACC'A' là một hình chữ nhật.

Hình/bảng: Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Các điểm A, B, C, D, A', B', C', D' được đánh dấu.

Hình 7.62. Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Các điểm A, B, C, D, A', B', C', D' được đánh dấu.

e) Hình lập phương

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

HĐ10

Các mặt của một hình lập phương là các hình gì? Vì sao?

Hình lập phương có các mặt là các hình vuông.

Hình 7.63. Hình lập phương.

Chú ý

Khi đáy của hình lăng trụ đứng (đều) là tam giác, tứ giác, ngũ giác,.... đôi khi ta cũng tương ứng gọi rõ là hình lăng trụ đứng (đều) tam giác, tứ giác, ngũ giác,...

Ví dụ 6

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng A'BD là tam giác đều.
Giải. (H.7.64)
Gọi $a$ là độ dài các cạnh của hình lập phương. Do các mặt của hình lập phương là các hình vuông nên
$A^{'} D = \sqrt{A A^{' 2} + A D^{2}} = a \sqrt{2};$
$B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = a \sqrt{2};$
$A^{'} B = \sqrt{A A^{' 2} + A B^{2}} = a \sqrt{2} .$
Tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều.

Hình/bảng: Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Các điểm A, B, C, D, A', B', C', D' được đánh dấu.

Hình 7.64. Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Các điểm A, B, C, D, A', B', C', D' được đánh dấu.

Vận dụng 2

Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ đi 4 hình vuông có cùng kích thước và sau đó hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65. Giải thích vì sao bằng cách đó, bác Hùng nhận được chiếc thùng không nắp có dạng hình hộp chữ nhật.

Hình/bảng: Ba hình ảnh minh họa quá trình cắt và gấp một tấm tôn hình chữ nhật thành một thùng không nắp. Hình đầu tiên là tấm tôn phẳng với 4 góc bị cắt hình vuông. Hình thứ hai là tấm tôn đã được gấp các cạnh lên. Hình thứ ba là thùng không nắp hoàn chỉnh.

Hình 7.65. Ba hình ảnh minh họa quá trình cắt và gấp một tấm tôn hình chữ nhật thành một thùng không nắp. Hình đầu tiên là tấm tôn phẳng với 4 góc bị cắt hình vuông. Hình thứ hai là tấm tôn đã được gấp các cạnh lên. Hình thứ ba là thùng không nắp hoàn chỉnh.

6. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều

HĐ11

Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (H.7.66) (với kết cấu kính và kim loại) có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh bằng 34 m, các cạnh bên bằng nhau và có độ dài xấp xỉ 32,3 m (theo Wikipedia.org).
Giải thích vì sao hình chiếu của đỉnh trên đáy là tâm của đáy tháp.

Hình 7.66. Hình ảnh Tháp Louvre ở Paris.

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Chú ý

Tương tự như đối với hình chóp, khi đáy của hình chóp đều là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều,... đôi khi ta cũng gọi rõ chúng tương ứng là chóp tam giác đều, tứ giác đều, ngũ giác đều,....

HĐ12

Cho hình chóp $S . A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ . Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng $(A_{1} A_{2} . . . A_{n})$ .
a) Trong trường hợp hình chóp đã cho là đều, vị trí của điểm O có gì đặc biệt đối với tam giác đều $A_{1} A_{2} . . . A_{n}^{'}$ ?
b) Nếu đa giác $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ là đều và O là tâm của đa giác đó thì hình chóp đã cho có gì đặc biệt?

Hình 7.67. Hình chóp S.ABCD với đáy là hình vuông ABCD. Các điểm S, A, B, C, D được đánh dấu.

Một hình chóp là đều khi và chỉ khi đáy của nó là một hình đa giác đều và hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng đáy là tâm của mặt đáy.

Ví dụ 7

Chứng minh rằng một hình chóp là đều khi và chỉ khi đáy của nó là một đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau.
Giải. (H.7.68)
Xét hình chóp $S . A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ . Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy.
Giả sử hình chóp là đều, khi đó O là tâm của đa giác đều $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ . Các tam giác $S O A_{1}$ , $S O A_{2}, . . ., S O A_{n}$ đều vuông tại O, có chung cạnh SO và có các cạnh $O A_{1}, O A_{2}, . . ., O A_{n}$ bằng nhau, do đó chúng bằng nhau. Vậy $\hat{S A_{1} O} = \hat{S A_{2} O} = . . . = \hat{S A_{n} O},$ tức là các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau.
Ngược lại, giả sử hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau. Khi đó, $\hat{S A_{1} O} = \hat{S A_{2} O} = \cdot \cdot \cdot = \hat{S A_{n} O}$ . Từ đó suy ra các tam giác vuông $S O A_{1}$ , $S O A_{2}, . . ., S O A_{n}$ bằng nhau. Do đó, $S A_{1} = S A_{2} = \cdot \cdot \cdot = S A_{n}$ . Mặt khác, $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ là đa giác đều, do đó $S . A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ là hình chóp đều.

Hình/bảng: Hình chóp S.A1A2A3 với đáy là tam giác đều A1A2A3. O là tâm đáy. Các điểm S, A1, A2, A3, O được đánh dấu.

Hình 7.68. Hình chóp S.A1A2A3 với đáy là tam giác đều A1A2A3. O là tâm đáy. Các điểm S, A1, A2, A3, O được đánh dấu.

Luyện tập 5

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng $a$ , cạnh bên bằng $a \sqrt{\frac{5}{12}} .$ Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

HĐ13

Cho hình chóp đều $S . A_{1} A_{2} . . . A_{n} .$
Một mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh $S A_{1}, S A_{2}, . . ., S A_{n}$ tương ứng tại $B_{1}, B_{2}, . . ., B_{n}$ .
a) Giải thích vì sao $S . B_{1} B_{2} . . . B_{n}$ là một hình chóp đều.
b) Gọi H là tâm của đa giác $A_{1} A_{2} . . . A_{n} .$ Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều $B_{1} B_{2} . . . B_{n}$ và HK vuông góc với các mặt phẳng $(A_{1} A_{2} . . . A_{n}),$ $(B_{1} B_{2} . . . B_{n})$ .

Hình 7.69. Hình chóp đều S.A1A2A3A4 bị cắt bởi một mặt phẳng song song với đáy, tạo thành hình chóp cụt. Các điểm S, A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, B4 được đánh dấu.

Hình 7.70. Hình chóp cụt đều với đáy lớn A1A2A3A4 và đáy bé B1B2B3B4. Các điểm A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, B4, H, K được đánh dấu.

Hình gồm các đa giác đều $A_{1} A_{2} . . . A_{n}, B_{1} B_{2} . . . B_{n}$ và các hình thang cân $A_{1} A_{2} B_{1} B_{2},$ $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}, . . ., A_{n} A_{1} B_{1} B_{n}$ được tạo thành như trong HĐ13 được gọi là một hình chóp cụt đều (nói đơn giản là hình chóp cụt được tạo thành từ hình chóp đều $S . A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ sau khi cắt đi chóp đều $S . B_{1} B_{2} . . . B_{n})$ , kí hiệu là $A_{1} A_{2} . . . A_{n} . B_{1} B_{2} . . . B_{n} .$

Các đa giác $A_{1} A_{2} . . . A_{n}, B_{1} B_{2} . . . B_{n}$ được gọi là hai mặt đáy, các hình thang $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1},$ $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}, . . ., A_{n} A_{1} B_{1} B_{n}$ được gọi là các mặt bên của hình chóp cụt. Các đoạn thẳng $A_{1} B_{1}, A_{2} B_{2}, . . ., A_{n} B_{n}$ được gọi là các cạnh bên; các cạnh của mặt đáy được gọi là các cạnh đáy của hình chóp cụt.

Đoạn thẳng HK nối hai tâm của đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều. Độ dài của đường cao được gọi là chiều cao của hình chóp cụt.

Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau hay không?

Ví dụ 8

Cho hình chóp cụt đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có chiều cao bằng $h$ , các đáy là các tam giác đều ABC, $A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh tương ứng là $a$ , $a^{'}$ $(a > a^{'})$ . Tính độ dài các cạnh bên của hình chóp cụt.
Giải. (H.7.71)
Gọi H, H' tương ứng là tâm của các tam giác ABC, $A^{'} B^{'} C^{'}$ .
Khi đó, HH' vuông góc với hai đáy của hình chóp cụt.
Trong tam giác đều ABC, ta có $H A = \frac{a}{\sqrt{3}} .$
Trong tam giác đều A'B'C', ta có $H^{'} A^{'} = \frac{a^{'}}{\sqrt{3}} .$
Hình thang AHH'A' vuông tại H và H'. Kẻ A'M II HA $(M \in H A)$ .

Hình/bảng: Hình chóp cụt đều ABC.A'B'C'. H và H' là tâm của hai đáy. M là điểm trên HA sao cho A'M song song HH'. Các điểm A, B, C, A', B', C', H, H', M được đánh dấu.

Hình 7.71. Hình chóp cụt đều ABC.A'B'C'. H và H' là tâm của hai đáy. M là điểm trên HA sao cho A'M song song HH'. Các điểm A, B, C, A', B', C', H, H', M được đánh dấu.

$A A^{'} = \sqrt{A^{'} M^{2} + M A^{2}} = \sqrt{H^{'} H^{2} + (H A - H^{'} A^{'})^{2}} = \sqrt{h^{2} + (\frac{a}{\sqrt{3}} - \frac{a^{'}}{\sqrt{3}})^{2}} = \sqrt{h^{2} + \frac{(a - a^{'})^{2}}{3}} .$

Vậy các cạnh bên của chóp cụt có độ dài bằng $\sqrt{h^{2} + \frac{(a - a^{'})^{2}}{3}} .$

Bài tập

7.16

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ . Gọi H là hình chiếu của A trên BC.
a) Chứng minh rằng $(S A B) ⊥ (A B C)$ và $(S A H) ⊥ (S B C)$ .
b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, $\hat{A B C} = 30^{\circ}$ , $A C = a$ , $S A = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

7.17

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng $a$ .
a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.
b) Chứng minh rằng $(A C C^{'} A^{'}) ⊥ (B D D^{'} B^{'}) .$
c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng $\hat{C O C^{'}}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C']. Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C, BD, C'], [A, BD, C'].

7.18

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.
a) Chứng minh rằng $(B D D^{'} B^{'}) ⊥ (A B C D)$ .
b) Xác định hình chiếu của AC' trên mặt phẳng (ABCD).
c) Cho $A B = a, B C = b, C C^{'} = C$ . Tính AC'.

7.19

Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng $a$ , cạnh bên bằng $b$ .
a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.

7.20

Hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử $A B = 4, 8 m$ ; $O A = 2, 8 m$ ; $O B = 4 m$ .
a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt đất phẳng.
Lưu ý: Đường giao giữa hai mái (đường nóc) song song với mặt đất.
c) Điểm A ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm B là 0,5 m. Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất.

Hình 7.72. Hình ảnh hai mái nhà hình chữ nhật giao nhau. Các điểm O, A, B được đánh dấu.

7.21

Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tang của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá $\frac{1}{12} .$ Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 44–53).