Bài 32. Hình cầu

\begin{array}{|l|l|}\hline \text{Khái niệm, thuật ngữ} & \text{Kiến thức, kĩ năng} \\ \hline \text{• Hình cầu} & \text{• Mô tả tâm, bán kính của hình cầu, mặt cầu.} \\ \text{• Mặt cầu} & \text{• Tạo lập hình cầu, mặt cầu. Nhận biết phần chung của mặt phẳng} \\ & \text{và hình cầu.} \\ & \text{• Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu.} \\ & \text{• Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với việc tính diện tích mặt cầu,} \\ & \text{thể tích hình cầu.} \\ \hline\end{array}

Quả bóng đá theo tiêu chuẩn FIFA (liên đoàn bóng đá thế giới) có dạng hình cầu với đường kính khoảng 22 cm (H.10.18). Khi bơm căng quả bóng thì thể tích quả bóng bằng bao nhiêu?

1. Ta đã biết quả bóng (H.10.19) có dạng hình cầu. Một số yếu tố của hình cầu được chỉ ra trên Hình 10.20.

2. • Khi quay nửa đường tròn quanh đường kính AB cố định của nó, ta được một mặt cầu.

• Khi quay nửa hình tròn quanh đường kính AB cố định của nó, ta được một hình cầu.

Tâm và bán kính của nửa đường tròn (hình tròn) cũng là tâm và bán kính của mặt cầu (hình cầu).

Một số yếu tố của mặt cầu:

Tâm mặt cầu: O.
Một bán kính: OP.

Một cách tổng quát:

1. Nếu cắt một hình cầu bởi một mặt phẳng thì phần chung của mặt phẳng và hình cầu (còn gọi là mặt cắt) là một hình tròn.

2. Nếu cắt một mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng thì phần chung của mặt phẳng và mặt cầu là một đường tròn (H.10.23).

• Khi mặt phẳng đi qua tâm thì đường tròn đó có bán kính R và được gọi là đường tròn lớn.
• Khi mặt phẳng không đi qua tâm thì đường tròn đó có bán kính nhỏ hơn R.

Do đường Xích đạo là một đường tròn lớn nên bán kính của nó bằng bán kính của Trái Đất.
Nếu gọi R là bán kính Trái Đất thì độ dài của đường Xích đạo là $2\pi R\approx 40075$ (km).
Do đó, đường kính của Trái Đất là $2R\approx 40075:\pi \approx 12756,27$ (km).

Ta nhấc hình cầu ra khỏi cốc thuỷ tinh hình trụ (H.10.25).

Đo độ cao cột nước còn lại trong chiếc cốc, ta thấy độ cao này chỉ bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của chiếc cốc hình trụ. Từ đó, em hãy dự đoán công thức tính thể tích hình cầu bán kính R.

Người ta chứng minh được công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu có bán kính R là:

Diện tích mặt cầu là: $S=4\pi R^2=4\pi \cdot {10}^2=400\pi$ (cm²).
Thể tích hình cầu là: $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot {10}^3=\frac{4000\pi }{3}$ (cm³).

Bán kính của hình cầu là $20:2=10$ (cm).

Thể tích của hình cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot {10}^3=\frac{4000\pi }{3}$ (cm³).
Thể tích nước bạn Trang sử dụng để đổ vào bể cá là:
$\frac{2}{3}\cdot \frac{4000\pi }{3}=\frac{8000\pi }{9}\approx 2793$ (cm³).