Bài 29. Tứ giác nội tiếp – Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Thuật ngữ: Tử giác nội tiếp · Đường tròn ngoại tiếp tứ giác · Tứ giác nội tiếp đường tròn

Khái niệm, thuật ngữ

Khái niệm, thuật ngữ Tử giác nội tiếp Đường tròn ngoại tiếp tứ giác Kiến thức, kĩ năng Nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn và giải thích định lí về tống hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng $180^{\circ}$ . Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông. Giải quyết một số vấn đề thực tiển gần với đường tròn.

Với mỗi tam giác cho trước luôn có một đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó. Điều này có đúng với tứ giác hay không? Trong bài học này, các em sẽ tìm hiểu vấn đề đó.

1 đường tròn ngoại tiếp một tứ giác

Đường tròn đi qua bốn đỉnh của một tứ giác

HĐ1

Cho tứ giác ABCD có $\hat{A} = \hat{C} = 90^{\circ}$ (H.9.28). Hãy giải thích vì sao bốn đỉnh của tứ giác ABCD cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm O của đoạn thẳng BD.

Hình/bảng: Hình 9.28: Tứ giác ABCD với góc A và C bằng 90 độ. O là trung điểm BD.

HĐ2

Trên đường tròn (O), lấy các điểm A, B, C, D sao cho ABCD là tứ giác lồi (H.9.29). Các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD, DA có đồng quy hay không?

Hình/bảng: Hình 9.29: Đường tròn tâm O, tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn.

Các tứ giác ABCD như Hình 9.28 và Hình 9.29 được gọi là nội tiếp đường tròn (O) và ta cũng nói đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. Cụ thể, ta có định nghĩa sau:

Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hoặc đơn giản là tứ giác nội tiếp) và đường tròn được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Ví dụ 1

Trong các hình sau (H.9.30), hình nào vẽ một tứ giác nội tiếp một đường tròn?

Hình/bảng: Hình 9.30: Ba hình (a), (b), (c) vẽ các tứ giác. Hình (a) là hình vuông nội tiếp đường tròn. Hình (b) là hình thang cân nội tiếp đường tròn. Hình (c) là hình ngũ giác đều nội tiếp đường tròn.

Khái niệm, thuật ngữ

Nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn và giải thích định lí về tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng $180^{\circ}$ .

Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông.

Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gần với đường tròn.

1 đường tròn ngoại tiếp một tứ giác

Hình 9.28. Hình vẽ tứ giác ABCD với góc A và C là góc vuông. Đường chéo BD đi qua tâm O.

Hình 9.29. Hình vẽ tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Hình 9.30. Ba hình (a), (b), (c) vẽ các tứ giác. Hình (a) và (b) có các đỉnh không nằm trên một đường tròn. Hình (c) có các đỉnh nằm trên một đường tròn.

Giải

Hình a và b không vẽ tứ giác nào nội tiếp một đường tròn vì mỗi tứ giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn và đỉnh còn lại không nằm trên đường tròn. Hình c vẽ một tứ giác nội tiếp một đường tròn vì tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn.

HĐ3

Em hãy đo các góc đối nhau A và C của tứ giác ABCD trong HĐ2 và tính tổng $\hat{A} + \hat{C}$ So sánh kết quả của em với các bạn.

Tổng quát, chúng ta có định lí sau đây về tổng số đo các góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp.

Định lí

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng $180^{\circ}$ .

Tứ giác ABCD nội tiếp (O).

$\hat{A} + \hat{C} = 180^{\circ};$ $\hat{B} + \hat{D} = 180^{\circ} .$

Chứng minh

Do hai điểm B, D chia đường tròn (O) thành hai cung $\overline{B C D}$ và $\hat{B A D}$ nên sd $\overline{B C D} +$ sd $\hat{B A D} = 360^{\circ} .$ Do $\hat{A}$ và $\hat{C}$ là các góc nội tiếp của đường tròn (O) lần lượt chắn cung BCD và $\hat{B A D}$ nên $\hat{A} + \hat{C} = \frac{1}{2} s d \hat{B C D} + \frac{1}{2} s d \hat{B A D} = 180^{\circ} .$ Tương tự, $\hat{B} + \hat{D} = 180^{\circ}$

Hình 9.31. Hình vẽ tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Ví dụ 2

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.32. Hai đường thẳng AB và DC cắt nhau tại X. Biết rằng $\hat{D A B} = 70^{\circ}$ , $\hat{A B C} = 130^{\circ}$ . Tính số đo của các góc BCD và BXC.

Lời giải

Giải. Vì ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng $180^{\circ}$ Do đó $\hat{D A B} + \hat{B C D} = 180^{\circ}$ , hay $\overline{B C D} = 180^{\circ} - \overline{D A B} = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$ Tương tự, ta có: $\overline{A B C} + \overline{C D A} = 180^{\circ}$ , hay $\hat{C D A} = 180^{\circ} - \overline{A B C} = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ},$ Vì tổng các góc trong tam giác AXD bằng $180^{\circ}$ nên: $\hat{B X C} = \hat{A X D} = 180^{\circ} - \hat{D A B} - \hat{C D A} = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 50^{\circ} = 60^{\circ} .$

Hình 9.32. Hình vẽ tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Các đường thẳng AB và DC cắt nhau tại X. Góc DAB = 70 độ, góc ABC = 130 độ.

Luyện tập 1

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF. Biết rằng $\hat{B} = 60^{\circ}$ , $\hat{C} = 80^{\circ} .$ a) Chứng tỏ rằng tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh BC. b) Tính số đo của các góc BFE và CEF.

Thử thách nhỏ 1

Cho tứ giác ABCD, biết rằng các đường trung trực của ba đoạn thẳng AB, AC, AD đồng quy tại một điểm. Hãy giải thích vì sao ABCD là tứ giác nội tiếp.

2. Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật và hình vuông

Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật và hình vuông

HĐ4

Vẽ hình chữ nhật ABCD và giao điểm M của hai đường chéo AC và BD (H.9.33).
a) Hãy giải thích vì sao điểm M cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
b) Chứng tỏ rằng hình chữ nhật ABCD nội tiếp một đường tròn có bán kính bằng nửa đường chéo hình chữ nhật.

Hình 9.33. Hình vẽ hình chữ nhật ABCD với giao điểm M của hai đường chéo.

HĐ5

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3 cm (H.9.34). Hãy xác định tâm, vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và cho biết bán kính của đường tròn đó.

Hình 9.34. Hình vẽ hình vuông ABCD cạnh 3 cm, nội tiếp đường tròn tâm O.

Từ hai hoạt động trên, ta có khẳng định sau:

Hình chữ nhật và hình vuông là các tứ giác nội tiếp. Đường tròn ngoại tiếp của chúng có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính bằng một nửa độ dài đường chéo.

Với điểm A cho trước nằm trên đường tròn (O), có bao nhiêu hình vuông có một đỉnh là A nội tiếp đường tròn (O)?

Ví dụ 3

Cho hình chữ nhật ABCD có $A B = 3$ cm, $A D = 4$ cm. Vẽ đường tròn (O; R) ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD và tính bán kính R.

Lời giải

Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vẽ đường tròn tâm O bán kính $R = O A$ Đường tròn (O; R) vừa vẽ ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD (H.9.35). Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABD vuông tại A, ta có: $B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$ nên $B D = 5$ cm. Do đó, ta có $R = \frac{B D}{2} = 2, 5$ cm.

Hình 9.35. Hình vẽ hình chữ nhật ABCD với AB=3cm, AD=4cm, nội tiếp đường tròn tâm O.

Luyện tập 2

Cho hình thoi ABCD có các cạnh bằng 3 cm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA, AD. Chứng tỏ rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.

Thử thách nhỏ 2

Nếu các hình chữ nhật có chung một đường chéo (ví dụ như hai hình chữ nhật ABCD và AECF trong Hình 9.36) thì các đỉnh của chúng có cùng nằm trên một đường tròn không?

Hình 9.36. Hình vẽ hai hình chữ nhật ABCD và AECF có chung đường chéo AC.

Bài tập

9.18

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Tính số đo của các góc còn lại của tứ giác trong mỗi trường hợp sau:
a) $\hat{A} = 60^{\circ}, \hat{B} = 80^{\circ};$
c) C = 100°, D = 60°;
b) $\hat{B} = 70^{\circ}$ $\hat{C} = 90^{\circ}$ ;
d) $\hat{D} = 110^{\circ}$ , $\hat{A} = 80^{\circ}$ .

9.19

Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng $\overline{I B D} = \overline{I C A}, \overline{I A C} = \overline{I D B}$ và $I A \cdot I B = I C \cdot I D$ .

9.20

Cho hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.

9.21

Cho hình thang ABCD (AB song song với CD) nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

9.22

Tính diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng hình chữ nhật đó có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2,5 cm.

9.23

Người ta muốn dựng một khung cổng hình chữ nhật rộng 4 m và cao 3 m, bên ngoài khung cổng được bao bởi một khung thép dạng nửa đường tròn như Hình 9.37. Tính chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó.

Hình 9.37. Hình vẽ một khung cổng hình chữ nhật rộng 4m, cao 3m, bên trên là nửa đường tròn.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 9 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 80–83).