Bài 30. Đa giác đều – Toán 9 tập 2 Kết nối tri thức

Thuật ngữ: Đa giác · đa giác đều · Đỉnh, cạnh, góc của đa giác · Phép quay

Khái niệm, thuật ngữ

Đa giác, đa giác đều

Nhận dạng đa giác đều. Nhận biết những hình phẳng đều trong tự nhiên, nghệ thuật, kiến trúc, công nghệ chế tạo,...

Nhận biết vẻ đẹp của thế giới tự nhiên biểu hiện qua tính đều.

Nhận biết phép quay. Mô tả được các phép quay giữ nguyên hình đa giác đều.

Chúng ta đã biết tam giác đều được tạo bởi ba cạnh bằng nhau, hình vuông được tạo bởi bốn cạnh bằng nhau. Hơn nữa, các góc trong mỗi hình đó bằng nhau. Trong bài này các em sẽ được học về những hình tương tự như vậy nhưng số cạnh có thể nhiều hơn, chúng được gọi chung là các đa giác đều.

Những hình như Hình 9.38 được gọi chung là các đa giác.

Hình 9.38. Bốn hình (a), (b), (c), (d) vẽ các đa giác khác nhau. (a) là ngũ giác lồi, (b) là tứ giác lồi, (c) là đa giác lõm, (d) là lục giác lồi.

Các đa giác ABCDE (H.9.38a) là những hình gồm năm đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. Đa giác ABCDE có năm đỉnh là các điểm A, B, C, D, E; năm cạnh là các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA và năm góc là các góc EAB, ABC, BCD, CDE, DEA.

Nếu với một cạnh bất kì, các đỉnh không thuộc cạnh đó đều nằm về một phía đối với đường thẳng chứa cạnh đó thì đa giác được gọi là đa giác lồi. Các đa giác trong Hình 9.38 a, b, d là các đa giác lồi. Đa giác trong Hình 9.38c không phải đa giác lồi.

HĐ1

Ta đã biết các tam giác đều và hình vuông có các đỉnh nằm trên một đường tròn. Ta dựng một đa giác lồi 5 cạnh có các đỉnh nằm trên một đường tròn như sau:

Vẽ đường tròn tâm O bán kính R.

Lần lượt lấy các điểm A, B, C, D, E trên đường tròn theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ (hoặc theo chiều kim đồng hồ) sao cho: $\hat{A O B} = \hat{B O C} = \hat{C O D} = \hat{D O E} = \hat{E O A} = \frac{360^{\circ}}{5} = 72^{\circ} .$ Em hãy giải thích vì sao các cạnh và các góc của đa giác ABCDE bằng nhau (H.9.39).

Hình 9.39. Hình vẽ ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn tâm O. Các góc ở tâm AOB, BOC, ... đều bằng 72 độ.

Đa giác ABCDE như Hình 9.39 được gọi là một đa giác đều. Tổng quát, ta có định nghĩa:

Đa giác đều là một đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Người ta chứng minh được rằng các đỉnh của mỗi đa giác đều luôn cùng nằm trên một đường tròn, được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác, tâm đường tròn được gọi là tâm của đa giác và đa giác được gọi là nội tiếp đường tròn đó.

Nếu một lục giác đều (đa giác đều 6 cạnh) nội tiếp đường tròn bán kính 2 cm (H.9.40) thì độ dài các cạnh của lục giác đều bằng bao nhiêu centimét? Số đo các góc của lục giác đều bằng bao nhiêu độ?

Hình 9.40. Hình vẽ lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính 2 cm.

Ví dụ 1

a) Dưới đây là hình các đa giác đều thường gặp trong hình học (H.9.41).

Hình 9.41. Các hình vẽ: Tam giác đều, Hình vuông, Ngũ giác đều, Lục giác đều, Bát giác đều.

b) Trong nghệ thuật, kiến trúc, công nghệ chế tạo và thế giới tự nhiên có nhiều hình phẳng có dạng đa giác đều. Những hình phẳng này không chỉ đẹp vì sự cân đối hài hoà mà còn tối ưu trong việc sắp xếp và sử dụng (H.9.42).

Hình 9.42. Các hình ảnh ứng dụng của đa giác đều: Gạch lát hình vuông, Trang trí bằng tam giác đều, Mặt bàn hình bát giác đều, Mặt để đinh ốc, Hộp đựng bánh kẹo, Các lỗ tổ ong.

Ví dụ 2

Trong các hình phẳng dưới đây, hình phẳng nào có dạng là một đa giác đều?

Lời giải

Giải. Ta thấy đa giác trong hình a không phải đa giác lồi, đa giác trong hình b là hình thoi có các góc không bằng nhau, đa giác trong hình c là bát giác có các cạnh không bằng nhau, đa giác trong hình d là hình vuông. Do vậy chỉ có hình phẳng trong hình d có dạng đa giác đều.

Bốn hình (a), (b), (c), (d) vẽ các hình phẳng. (a) là đa giác lõm, (b) là hình thoi, (c) là bát giác không đều, (d) là hình vuông.

Ví dụ 3

Cho tam giác đều ABC có cạnh 6 cm. Trên cạnh AB lấy các điểm M, N; trên cạnh BC lấy các điểm P, Q; trên cạnh CA lấy các điểm E, F, sao cho các đoạn thẳng AM, MN, NB, BP, PQ, QC, CE, EF, FA đều bằng 2 cm như Hình 9.43. Hỏi MNPQEF có là một lục giác đều hay không?

Lời giải

Giải (H.9.43). Theo Hình 9.43, ta thấy MNPQEF là một đa giác lồi. Ta có $\frac{A M}{A B} = \frac{A F}{A C} = \frac{1}{3} .$ Theo định lí Thalès đảo cho tam giác ABC và đường thẳng MF thì MF // BC. Suy ra $\frac{M F}{B C} = \frac{A M}{A B} = \frac{1}{3} .$ Do đó $M F = \frac{B C}{3} = 2$ cm. Tương tự, $N P = Q E = 2$ cm. Vậy lục giác MNPQEF có tất cả các cạnh bằng nhau. Mặt khác, tam giác AMF là tam giác đều vì $A M = M F = F A = 2 c m n e n$ $\overline{F M A} = 60^{\circ}$ và $\overline{F M N} = 180^{\circ} - \overline{F M A} = 120^{\circ} .$ Tương tự các góc tại các đỉnh N, P, Q, E, F của lục giác MNPQEF đều bằng nhau và bằng $120^{\circ}$ Vậy lục giác MNPQEF có các cạnh và các góc bằng nhau. Do đó MNPQEF là lục giác đều.

Hình 9.43. Hình vẽ tam giác đều ABC với các điểm M, N trên AB; P, Q trên BC; E, F trên CA, tạo thành lục giác MNPQEF bên trong.

Luyện tập 1

Cho M, N, P, Q, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE và EA của ngũ giác đều ABCDE (H.9.44). Hỏi MNPQK có phải là ngũ giác đều hay không?

Hình 9.44. Hình vẽ ngũ giác đều ABCDE với các trung điểm M, N, P, Q, K của các cạnh.

Thử thách nhỏ 1

Cho một bát giác đều (đa giác đều 8 cạnh) nội tiếp một đường tròn tâm O (H.9.45). Hỏi mỗi góc của bát giác đều có số đo bằng bao nhiêu?

Hình 9.45. Hình vẽ một bát giác đều nội tiếp đường tròn tâm O.

2 phép quay

HĐ2

Để bày bàn ăn cho nhiều người, các nhà hàng thường sử dụng bàn xoay có hình tròn và quay được quanh tâm của hình tròn. Đặt một chiếc cốc nhỏ ở vị trí điểm A trên bàn xoay hình tròn với tâm O sao cho điểm A khác điểm O. Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ (H.9.46) thì chiếc cốc di chuyển đến một vị trí mới là điểm B. Em hãy so sánh khoảng cách từ hai điểm A và B đến điểm O. Hai điểm A, B có cùng nằm trên một đường tròn tâm O hay không?

Hình 9.46. Hình vẽ một đường tròn tâm O, điểm A và B trên đường tròn, thể hiện phép quay từ A đến B.

HĐ3

Trên bàn xoay tâm O, vẽ tam giác đều ABC nội tiếp một đường tròn (O) và hai tia OA, OB (H.9.47). Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ để tia OA di chuyển trùng với tia OB (ở vị trí ban đầu), điểm A có di chuyển đến vị trí của điểm B không và sẽ di chuyển trên cung tròn nào của đường tròn (O)? Khi đó, điểm C sẽ di chuyển đến vị trí của điểm nào?

Hình 9.47. Hình vẽ tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Tia OA và OB được vẽ.

Trong HĐ2 và HĐ3, ta đã thực hiện một phép quay tâm O để quay tia OA theo chiều kim đồng hồ đến tia OB và điểm A khi di chuyển tạo thành cung AB của đường tròn (O; OA). Ta nói phép quay này biến điểm A thành điểm B. Cụ thể ta có khái niệm phép quay như sau:

Phép quay thuận chiều $α^{\circ}$ $(0^{\circ} < α^{\circ} < 360^{\circ})$ tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O, OA) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo $α^{\circ}$ (H.9.48a). Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều $α^{\circ}$ tâm O (H.9.48b). Phép quay $0^{\circ}$ và phép quay $360^{\circ}$ giữ nguyên mọi điểm.

Hình 9.48. Hai hình vẽ (a) và (b) minh họa phép quay thuận chiều và ngược chiều góc alpha.

a) Phép quay ngược chiều $180^{\circ}$ tâm O biến điểm A thành điểm A'. Hỏi điểm A' có đối xứng với điểm A qua O hay không?

b) Nếu phép quay thuận chiều $α^{\circ}$ tâm O biến điểm A thành điểm B thì phép quay ngược chiều $α^{\circ}$ tâm O có biến điểm B thành điểm A hay không?

Ví dụ 4

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.49. Hãy cho biết các phép quay ngược chiều lần lượt $120^{\circ}$ $240^{\circ}$ , $360^{\circ}$ với tâm O sẽ biến các đỉnh A, B, C thành những điểm nào?

Lời giải

Giải. Các phép quay ngược chiều lần lượt $120^{\circ}$ , $240^{\circ}$ , $360^{\circ}$ với tâm O biến các điểm A, B, C thành những điểm tương ứng được cho bởi bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Đỉnh} & \text{A} & \text{B} & \text{C} \\
\hline
\text{Phép quay} & & & \\
\text{ngược chiều} & & & \\
\hline
120^{\circ} & \text{B} & \text{C} & \text{A} \\
\hline
240^{\circ} & \text{C} & \text{A} & \text{B} \\
\hline
360^{\circ} & \text{A} & \text{B} & \text{C} \\
\hline
\end{array}

Hình 9.49. Hình vẽ tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O.

Người ta nói ba phép quay trên biến tam giác đều ABC thành chính nó, hay các phép quay này giữ nguyên tam giác đều ABC. Tổng quát, ta có khái niệm và kết quả sau:

Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều H nếu phép quay đó biến mỗi điểm của H thành một điểm của H.

Người ta chỉ ra rằng nếu một phép quay biến các đỉnh của đa giác đều H thành các đỉnh của H thì phép quay đó giữ nguyên H.

Luyện tập 2

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.50.
a) Phép quay thuận chiều $90^{\circ}$ tâm O biến các điểm A, B, C, D thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên hình vuông ABCD không?
b) Hãy liệt kê thêm ba phép quay khác với tâm O theo chiều kim đồng hồ giữ nguyên hình vuông ABCD.

Hình 9.50. Hình vẽ hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O.

Thực hành

Cho điểm O và điểm A khác điểm O (H.9.51). Phép quay ngược chiều $60^{\circ}$ tâm O biến điểm A thành điểm A'. Xác định điểm A' theo hướng dẫn sau: Vẽ đường tròn (O, OA) và tia Ox sao cho $\hat{A O x} = 60^{\circ}$ , tia Ox cắt đường tròn (O; OA) tại điểm $A^{'} (H .9.51)$ .

Hình 9.51. Hình vẽ đường tròn tâm O, điểm A trên đường tròn. Tia Ox tạo góc 60 độ với OA, cắt đường tròn tại A'.

Thử thách nhỏ 2

Hãy liệt kê 6 phép quay giữ nguyên một lục giác đều nội tiếp một đường tròn (O).

Bài tập

9.24

Trong các hình phẳng sau (H.9.52), hình nào là hình phẳng có dạng đa giác đều?

Hình 9.52. Năm hình vẽ (a), (b), (c), (d), (e) các hình phẳng khác nhau.

9.25

Trong các hình dưới đây (H.9.53), hình nào vẽ hai điểm M và N thoả mãn phép quay thuận chiều $60^{\circ}$ tâm O biến điểm M thành điểm N?

Hình 9.53. Bốn hình vẽ (a), (b), (c), (d) minh họa phép quay từ M đến N với góc 60 độ hoặc 50 độ.

9.26

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính 2 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

9.27

Cho hình thoi ABCD có $\tilde{A} = 60^{\circ} .$ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MBNPDQ là lục giác đều.

9.28

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.54. Phép quay ngược chiều $60^{\circ}$ tâm O biến các điểm A, B, C lần lượt thành các điểm D, E, F. Chứng minh rằng ADBECF là một lục giác đều.

Hình 9.54. Hình vẽ tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O.

9.29

Liệt kê năm phép quay giữ nguyên một ngũ giác đều nội tiếp một đường tròn tâm O.

9.30

Cho vòng quay mặt trời gồm tám cabin như Hình 9.55. Hỏi để cabin A di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm bao nhiêu độ?

Hình 9.55. Hình vẽ vòng quay mặt trời với 8 cabin, cabin A ở vị trí thấp nhất, vị trí cao nhất được đánh dấu.

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng $\overline{A O B} = 120^{\circ}$ , $\overline{B O C} = 40^{\circ}$ $\overline{C O D} = 80^{\circ} .$ Tính số đo các góc của tứ giác ABCD.

Lời giải

Giải (H.9.56). Xét đường tròn (O), ta có: $\overline{A D B} = \frac{1}{2} \overline{A O B} = 60^{\circ}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $\hat{A B})$ ; $\hat{B A C} = \overline{B D C} = \frac{1}{2} \overline{B O C} = 20^{\circ}$ (các góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $\hat{B C}$ ); $\overline{C A D} = \frac{1}{2} \overline{C O D} = 40^{\circ}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $\overline{C D}$ ). Suy ra $\hat{B A D} = \hat{B A C} + \hat{C A D} = 60^{\circ}$ và $\hat{A D C} = \hat{A D B} + \hat{B D C} = 80^{\circ} .$ Vì các góc đối nhau của tứ giác nội tiếp ABCD có tổng bằng $180^{\circ}$ nên $\overline{A B C} = 180^{\circ} - \overline{A D C} = 100^{\circ}$ và $\hat{B C D} = 180^{\circ} - \hat{B A D} = 120^{\circ} .$

Hình 9.56. Hình vẽ tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Các góc ở tâm AOB, BOC, COD được đánh dấu.

Ví dụ 2

Cho lục giác đều ABCDEF.
a) Tính số đo các góc BCF, BDF, BEF.
b) Gọi O là tâm của lục giác đều. Hãy chỉ ra ba phép quay tâm O giữ nguyên tam giác ACE.

Lời giải

Giải (H.9.57).
a) Lục giác đều ABCDEF có các góc bằng $120^{\circ}$ và nội tiếp một đường tròn (O). Khi đó, các tứ giác ABCF, ABDF, ADEF nội tiếp (O). Vì vậy $\hat{B C F} = 180^{\circ} - \hat{B A F} = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} .$ Tương tự, $\hat{B D F} = \hat{B E F} = 60^{\circ} .$ b) Tương tự câu a, các góc của tam giác ACE đều bằng $60^{\circ}$ , hay ACE là tam giác đều và nội tiếp đường tròn (O). Như vậy, ba phép quay tâm O giữ nguyên tam giác ACE là ba phép quay thuận chiều lần lượt $120^{\circ},$ $240^{\circ}$ , $360^{\circ}$ với tâm O

Hình 9.57. Hình vẽ lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O. Góc ở tâm AOB = 60 độ.

Bài tập

9.31

Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng BCEF, CAFD, ABDE là những tứ giác nội tiếp.

9.32

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F như Hình 9.58. Biết $\overline{B E C} = 40^{\circ}$ và $\overline{D F C} = 20^{\circ}$ tính số đo các góc của tứ giác ABCD.

Hình 9.58. Hình vẽ tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F. Góc BEC = 40 độ, góc DFC = 20 độ.

9.33

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Tính chu vi, diện tích của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp hình vuông ABCD.

9.34

Biết rằng bốn đỉnh A, B, C, D của một hình vuông cùng nằm trên một đường tròn (O) theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. Phép quay thuận chiều $45^{\circ}$ biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm E, F, G, H.
a) Vẽ đa giác EAFBGCHD.
b) Đa giác EAFBGCHD có phải là một bát giác đều hay không? Vì sao?

9.35

Cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.59.
a) Hãy tìm một phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm C.
b) Phép quay trên sẽ biến các điểm B, C, D, E lần lượt thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên ngũ giác đều ABCDE không?

Hình 9.59. Hình vẽ ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn tâm O.

9.36

Người ta muốn làm một khay đựng bánh kẹo hình lục giác đều có cạnh 10 cm và chia thành 7 ngăn gồm một lục giác đều nhỏ và 6 hình thang cân như Hình 9.60. Hỏi lục giác đều nhỏ phải có cạnh bằng bao nhiêu để nó có diện tích bằng hai lần diện tích mỗi hình thang?

Hinh 9.60. Hình vẽ một khay đựng bánh kẹo hình lục giác đều lớn, chia thành một lục giác đều nhỏ ở giữa và 6 hình thang cân xung quanh.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 9 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 84–91).