Bài 27. Góc nội tiếp

Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về những đường tròn đi qua các đỉnh của tam giác, tứ giác hay lục giác và những đường tròn lớn nhất có thể vẽ được nằm bên trong hình đó. Những đường tròn đó lần lượt được gọi là các đường tròn ngoại tiếp và các đường tròn nội tiếp.

Khái niệm, thuật ngữ • Góc nội tiếp Cung bị chấn Kiến thức, kĩ năng Nhận biết góc nội tiếp của một đường tròn. Nhận biết cung bị chắn bởi góc nội tiếp của một đường tròn. Giải thích mối liên hệ giữa số đo góc nội tiếp với số đo góc ở tâm chắn cùng một cung.

Chúng ta đã biết số đo góc ở tâm BOC của đường tròn (O) trong Hình 9.1 bằng số đo của cung bị chắn BC. Vậy số đo của góc này có mối quan hệ gì với số đo của góc BAC?

Các góc ACB và ADB ở Hình 9.2 được gọi là các góc nội tiếp của đường tròn (O) và $\overline{AB}$ là cung bị chắn. Tổng quát, chúng ta có định nghĩa về góc nội tiếp như sau:

Các góc A và C không phải góc nội tiếp của đường tròn vì đỉnh không nằm trên đường tròn. Góc D có một cạnh không chứa dây cung của đường tròn nên cũng không là góc nội tiếp của đường tròn. Góc B có đỉnh B nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn nên là góc nội tiếp của đường tròn.

Định lí sau cho biết mối liên hệ giữa góc nội tiếp với cung bị chắn:

Chứng minh. Ta xét ba trường hợp sau (H.9.3).

Trường hợp 1: Tâm O nằm trên một cạnh của góc ACB. Giả sử $O\in CB\mathrm{.}$ Do tam giác OAC cân tại O và có tổng các góc bằng ${180}^{\circ }$ nên: $2\widehat{ACB}=\widehat{ACO}+\widehat{CAO}={180}^{\circ }-\widehat{AOC}=\widehat{AOB}\mathrm{.}$ Do $\widehat{AOB}=sd\widehat{AB}$ (vì $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm chắn cung AB) nên $\overline{ACB}=\frac{1}{2}\overline{AOB}=\frac{1}{2}sd\overline{AB}\mathrm{.}$ Trường hợp 2: Tâm Onằm bên trong góc ACB. Vẽ đường kính CD. Áp dụng Trường hợp 1 cho các góc nội tiếp ACD và DCB với cạnh CD đi qua O, ta được: $\overline{ACD}=\frac{1}{2};$ sd $\widehat{AD}$ và $\widehat{DCB}=\frac{1}{2}sd\widehat{DB}\mathrm{.}$ Suy ra $\overline{ACB}=\overline{ACD}+\overline{DCB}=\frac{1}{2}sd\overline{AD}+\frac{1}{2}s\bar{d}\overline{DB}=\frac{1}{2}sd\overline{AB}\mathrm{.}$ Trường hợp 3: Tâm O nằm ngoài góc ACB. Vẽ đường kính CD. Áp dụng Trường hợp 1 cho các góc nội tiếp ACD và BCD với cạnh CD đi qua O, tương tự như trên ta được: $\widehat{ACB}=\widehat{ACD}-\widehat{BCD}=\frac{1}{2}s\vec{d}\overline{AD}-\frac{1}{2}s\vec{d}\overline{BD}=\frac{1}{2}s\vec{d}\widehat{AB}$

Giải (H.9.5). Xét đường tròn (O), ta có: • Do hai góc nội tiếp $\overline{BDC}$ và $\overline{BAC}$ cùng chắn cung BC nên $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}={60}^{\circ };$ • Vì góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ và góc ở tâm $\widehat{BOC}$ cùng chắn cung nhỏ BC nên $\overline{BOC}=2\overline{BAC}={120}^{\circ }$.