Bài 20. Định lí viète và ứng dụng

Thuật ngữ: Định lí Viète

Khái niệm, thuật ngữ

Kiến thức, kĩ năng Giải thích định lí Viète. Vận dụng định lí Viète để tỉnh nhầm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.

Bác An có 40 m hàng rào lưới thép. Bác muốn dùng nó để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 96 $m^{2}$ để trồng rau. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

1. Định lí viète

Khám phá định lí Viète

Xét phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ Giả sử $Δ = b^{2} - 4 a c \geq 0.$

HĐ1

Nhắc lại công thức tính hai nghiệm $x_{1}$ $x_{2}$ của phương trình trên.

HĐ2

Từ kết quả HĐ1, hày tính $x_{1} + x_{2}$ và $x_{1} x_{2}$

Từ kết quả HĐ2, ta có định lí Viète như sau:

Nếu $x_{1}$ , $x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ thì
${\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} . \end{cases}$

Ví dụ 1

Không giải phương trình, hãy tính biệt thức (hoặc $Δ^{'}$ ) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau:
a) $2 x^{2} + 11 x + 7 = 0;$
b) $4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ .

Lời giải

Giải
a) Ta có: $Δ = 11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 65 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$ $x_{2}$
Theo định lí Viète, ta có:
$x_{1} + x_{2} = - \frac{11}{2};$ $x_{1} x_{2} = \frac{7}{2} .$
b) Ta có: $Δ^{'} = 6^{2} - 4 \cdot 9 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm trùng nhau $x_{1},$ $x_{2}$ .
Theo định lí Viète, ta có:
$x_{1} + x_{2} = - \frac{- 12}{4} = 3;$ $x_{1} x_{2} = \frac{9}{4}$

Luyện tập 1

Không giải phương trình, hãy tính biệt thức $Δ$ (hoặc $Δ^{'}$ ) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau:
a) $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0;$
b) $25 x^{2} - 20 x + 4 = 0,$
c) $2 \sqrt{2} x^{2} - 4 = 0$ .

Tranh luận

Không cần giải, tớ biết ngay tổng và tích hai nghiệm của phương trình $x^{2} - x + 1 = 0$ đều bằng 1.

Hình/bảng: A cartoon character speaking.

Ý kiến của em thế nào?

2. Áp dụng định lí viète để tính nhẩm nghiệm

Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó

HĐ3

Cho phương trình $2 x^{2} - 7 x + 5 = 0.$
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính $a + b + c .$
b) Chứng tỏ rằng $x_{1} = 1$ là một nghiệm của phương trình.
c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại $x_{2}$ của phương trình.

HĐ4

Cho phương trình $3 x^{2} + 5 x + 2 = 0.$
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính $a - b + c .$
b) Chứng tỏ rằng $x_{1} = - 1$ là một nghiệm của phương trình.
c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại $x_{2}$ của phương trình.

Xét phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0) .$

Nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_{1} = 1$ , còn nghiệm kia là $x_{2} = \frac{c}{a}$
Nếu $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_{1} = - 1,$ còn nghiệm kia là $x_{2} = - \frac{c}{a} .$

Ví dụ 2

Bằng cách nhẩm nghiệm, hãy giải các phương trình sau:
a) $x^{2} - 6 x + 5 = 0;$
b) $5 x^{2} + 14 x + 9 = 0$ .

Lời giải

Giải
a) Ta có: $a + b + c = 1 + (- 6) + 5 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 5$ .
b) Ta có: $a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = - 1,$ $x_{2} = - \frac{9}{5}$

Ví dụ 3

Giải phương trình $x^{2} - 7 x + 12 = 0,$ biết phương trình có một nghiệm là $x_{1} = 3$ .

Lời giải

Giải
Gọi $x_{2}$ là nghiệm còn lại của phương trình. Theo định lí Viète, ta có: $x_{1} x_{2} = 12$
Do đó, $x_{2} = \frac{12}{x_{1}} = \frac{12}{3} = 4.$
Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_{1} = 3$ $x_{2} = 4$ .

Luyện tập 2

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) $3 x^{2} - 11 x + 8 = 0;$
b) $4 x^{2} + 15 x + 11 = 0$
c) $x^{2} + 2 \sqrt{2} x + 2 = 0$ biết phương trình có một nghiệm là $x = - \sqrt{2} .$

Thử thách nhỏ

Hãy tìm một phương trình bậc hai mà tổng và tích các nghiệm của phương trình là hai số đối nhau.

Hình/bảng: Two cartoon characters speaking. One says 'Hãy tìm một phương trình bậc hai mà tổng và tích các nghiệm của phương trình là hai số đối nhau.'. The other says 'Tớ tìm ra rồi! Đó là phương trình $x^{2}+x+1=0$'.

Em có đồng ý với ý kiến của Tròn không? Vì sao?

3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Thiết lập phương trình bậc hai để tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

HĐ5

Giả sử hai số có tổng $S = 5$ và tích $P = 6$ Thực hiện các bước sau để lập phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm.
a) Gọi một số là x. Tính số kia theo x.
b) Sử dụng kết quả câu a và giả thiết, hãy lập phương trình để tìm x.

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
$x^{2} - S x + P = 0.$
Điều kiện để có hai số đó là $S^{2} - 4 P \geq 0$ .

Ví dụ 4

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 9, tích của chúng bằng 20.

Lời giải

Giải
Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 9 x + 20 = 0$ .
Ta có: A = (-9)2-4-1-20 = 1; $\sqrt{A} = 1$ .
Suy ra phương trình có hai nghiệm:
$x_{1} = \frac{9 - 1}{2} = 4;$ $x_{2} = \frac{9 + 1}{2} = 5.$
Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.

Luyện tập 3

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng -11, tích của chúng bằng 28.

Vận dụng

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Bài tập

6.23

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:
a) $x^{2} - 12 x + 8 = 0;$
c) $3 x^{2} - 10 = 0$
b) $2 x^{2} + 11 x - 5 = 0;$
d) $x^{2} - x + 3 = 0$

6.24

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) $2 x^{2} - 9 x + 7 = 0;$
b) $3 x^{2} + 11 x + 8 = 0;$
c) $7 x^{2} - 15 x + 2 = 0$ , biết phương trình có một nghiệm $x_{1} = 2$ .

6.25

Tìm hai số u và v, biết:
a) $u + v = 20$ $u v = 99$
b) $u + v = 2,$ $u v = 15$

6.26

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ có hai nghiệm là $x_{1}$ và $x_{2}$ thì đa thức $a x^{2} + b x + c$ phân tích được thành nhân tử như sau:
$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $x^{2} + 11 x + 18$
b) $3 x^{2} + 5 x - 2$ .

6.27

Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích $500 m^{2}$ và chu vi là 150 m. Tính các kích thước của bể bơi này.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 9 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 21–24).