Bài 23. Bảng tần số tương đối và biểu đồ tần…

Thuật ngữ: Tần số tương đối · Bảng tần số tương đối

Khái niệm, thuật ngữ

Thiết lập bảng tần số tương đối, biểu đồ tần số tương đối.
Giải thích ý nghĩa và vai trò của tần số tương đối trong thực tiễn.

Ở bài trước chúng ta đã được học các cách biểu diễn dây dữ liệu để dễ dàng thấy được tần số xuất hiện của mỗi giá trị trong dãy. Trong bài này, chúng ta sẽ tìm hiểu các cách biểu diễn dây dữ liệu để dễ dàng thấy được tỉ lệ xuất hiện của các giá trị trong dãy.

1 bảng tần số tương đối

Tần số tương đối và bảng tần số tương đối

HĐ1

Có một túi kín đựng 10 quả bóng, mỗi quả có một trong các màu xanh, đỏ hoặc vàng. Thực hiện 30 lần lấy bóng, mỗi lần lấy 1 quả, ghi lại màu quả bóng được lấy ra sau đó trả lại bóng vào túi và trộn đều.
a) Từ dữ liệu ghi lại, cho biết tần số xuất hiện của các quả bóng màu xanh, đỏ, vàng. Lập tỉ số giữa tần số và số lần lấy bóng.
b) Đoán xem trong túi số lượng bóng có màu gì là ít nhất, nhiều nhất.

Cho dây dữ liệu $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n} .$ Tần số tương đối $f_{j}$ của giá trị $x_{i}$ là tỉ số giữa tần số của $x_{1}$ (gọi là m) với n.
Bảng sau đây được gọi là bảng tần số tương đối.

Giá trị
| $x_{1}$
| ...
| $x_{k}$
Tần số tương đối
| $f_{1}$
| ...
| $f_{k}$
trong đó $n = m_{1} + . . . + m_{k}$ và $f_{1} = \frac{m_{1}}{n} \cdot 100 (%)$ là tần số tương đối của $x_{1}$ .....
$f_{k} = \frac{m_{k}}{n} \cdot 100 (%)$ là tần số tương đối của $x_{k}$

Tần số tương đối còn gọi là tần suất.

Lập bảng tần số tương đối cho dây dữ liệu thu được trong HĐ1.
Chú ý. Người ta còn cho bảng tần số tương đối ở dạng cột: cột thứ nhất ghi các giá trị, cột thứ hai ghi tần số tương đối của các giá trị đó.

Ví dụ 1

Thu thập dữ liệu về chất lượng không khí tại một địa điểm trong 30 ngày mùa xuân cho kết quả như sau:
M1, M1, M2, M2, M2, M2, M1, M2, M2, M2, M2, M2, M2, M2, M2,
M4, M3, M3, M3, M3, M4, M4, M1, M1, M1, M1, M3, M3, M3, M1.
(M1: Tốt; M2: Trung bình; M3: Kém; M4: Xấu)

a) Lập bảng tần số tương đối cho dây dữ liệu trên.
b) Trong một ngày xuân, khả năng cao nhất địa điểm này có chất lượng không khí ở mức nào?

Giải

a) Tổng số quan sát là $n = 30$ . Số ngày có chất lượng không khí ở các mức M1, M2, M3, M4 tương ứng là $m_{1} = 8$ , $m_{2} = 12$ , $m_{3} = 7$ , $m_{4} = 3$ . Do đó các tần số tương đối cho các mức M1, M2, M3, M4 lần lượt là:
$f_{1} = \frac{8}{30} \approx 26, 7 %$ ; $f_{2} = \frac{12}{30} = 40 %$ ; $f_{3} = \frac{7}{30} \approx 23, 3 %$ ; $f_{4} = \frac{3}{30} = 10 %$ .
Ta có bảng tần số tương đối sau:

Chất lượng không khí
| M1
| M2
| M3
| M4
Tần số tương đối
| 26,7%
| 40%
| 23,3%
| 10%

b) Trong một ngày xuân, khả năng cao nhất là địa điểm này có chất lượng không khí ở mức M2, tức là mức Trung bình.

Nhận xét

Tần số tương đối của một giá trị là ước lượng cho xác suất xuất hiện giá trị đó.

Luyện tập 1

Quay 50 lần một tấm bìa hình tròn được chia thành ba hình quạt với các màu xanh, đỏ, vàng. Quan sát và ghi lại mũi tên chỉ vào hình quạt có màu nào khi tấm bìa dừng lại. Kết quả thu được như sau:
Xanh: 美美美美美
Đỏ: 美美美美美
Vàng: 美美美
a) Lập bảng tần số tương đối cho kết quả thu được.
b) Ước lượng xác suất mũi tên chỉ vào hình quạt màu đỏ.

Hình tròn chia thành ba hình quạt màu xanh, đỏ, vàng. Màu xanh chiếm phần lớn, màu đỏ nhỏ hơn, màu vàng nhỏ nhất.

2. Biểu đồ tần số tương đối

Tìm hiểu về biểu đồ tần số tương đối

HĐ2

Có ba phương án thi đấu tại giải bóng đá khối lớp 9 của một trường như sau:
Phương án 1: Các đội đấu vòng tròn, tính điểm;
Phương án 2: Chia các đội thành hai bảng, mỗi bảng lấy hai đội vào trận bán kết;
Phương án 3: Các đội bốc thăm ghép cặp, đấu loại trực tiếp.
Ban tổ chức đã lấy phiếu khảo sát ý kiến. Kết quả được Bình và Nam biểu diễn bằng các biểu đồ như sau:

Hình 7.9. Biểu đồ cột. Biểu đồ cột thể hiện tỉ lệ ủng hộ các phương án thi đấu. Trục hoành là Phương án thi đấu (1, 2, 3), trục tung là Tỉ lệ (0-80%). Các cột có chiều cao tương ứng: Phương án 1 (28%), Phương án 2 (61%), Phương án 3 (11%).

Hình 7.10. Biểu đồ hình quạt tròn. Biểu đồ hình quạt tròn thể hiện tỉ lệ ủng hộ các phương án thi đấu. Phương án 1 (28%), Phương án 2 (61%), Phương án 3 (11%).

a) Đọc và giải thích mỗi biểu đồ trên.
b) Lập bảng tần số tương đối cho kết quả khảo sát ý kiến.

Biểu đồ biểu diễn bảng tần số tương đối được gọi là biểu đồ tần số tương đối. Dạng thường gặp của biểu đồ tần số tương đối là biểu đồ cột và biểu đồ hình quạt tròn.
Để vẽ biểu đồ hình quạt tròn ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định số đo cung tương ứng của các hình quạt dùng để biểu diễn tần số tương đối của các giá trị theo công thức $360^{\circ} \cdot f_{i}$ với $i = 1, . . .,$ k.
Bước 2. Vẽ hình tròn và chia hình tròn thành các hình quạt có số đo cung tương ứng được xác định trong Bước 1.
Bước 3. Định dạng các hình quạt tròn (thường bằng cách tô màu), ghi tần số tương đối, chú giải và tiêu đề.

Ví dụ 2

Cho bảng tần số tương đối về loại phim yêu thích của các học sinh trong lớp 9A như sau:

Loại phim
| Hài
| Khoa học viễn tưởng
| Kinh dị
Tỉ lệ bạn yêu thích
| 50%
| 37,5%
| 12,5%

Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối trên.

Giải

Bước 1. Xác định số đo cung tương ứng của các hình quạt biểu diễn các tần số tương đối cho mỗi loại phim:
Hài: $360^{\circ} \cdot 50 % = 180^{\circ}$ ;
Khoa học viễn tưởng: $360^{\circ} \cdot 37, 5 % = 135^{\circ}$ ;
Kinh dị: $360^{\circ} \cdot 12, 5 % = 45^{\circ}$

Bước 2. Vẽ hình tròn và chia hình tròn thành các hình quạt (H.7.11).

Hình 7.11. Hình tròn được chia thành ba phần tương ứng với các góc đã tính.

Hình 7.12. Biểu đồ hình quạt tròn hoàn chỉnh thể hiện tỉ lệ học sinh yêu thích các loại phim. Hài (50%), Khoa học viễn tưởng (37.5%), Kinh dị (12.5%).

Bước 3. Định dạng các hình quạt tròn, ghi tỉ lệ phần trăm, chú giải và tiêu đề (H.7.12).

Luyện tập 2

Bảng tần số tương đối sau cho biết tỉ lệ học sinh đánh giá độ khó của đề thi học kì môn Toán theo các mức độ.

Đánh giá
| Rất khó
| Khó
| Trung bình
| Dễ
Tỉ lệ
| 10%
| 25%
| 45%
| 20%

Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối này.

Tranh luận

Bạn Bình phát phiếu (H.7.13) lấy ý kiến bình chọn của 40 bạn trong lớp về địa điểm đi dã ngoại. Kết quả bạn Bình thu được như sau:

Địa điểm
| Vườn quốc gia Ba Vì
| Vườn quốc gia Cát Bà
| Vườn quốc gia Cúc Phương
Tỉ lệ bạn
bình chọn
| 70%
| 30%
| 50%

Hình 7.13. Phiếu bình chọn địa điểm đi dã ngoại với các lựa chọn: A. Vườn quốc gia Ba Vì. B. Vườn quốc gia Cát Bà. C. Vườn quốc gia Cúc Phương. Có hai hình người đang nói chuyện: một người nói 'Tớ sẽ dùng biểu đồ hình quạt tròn để biểu diễn bảng thống kê này.' và người kia nói 'Không được. Cậu phải dùng biểu đồ cột để biểu diễn.'

Ý kiến của bạn thế nào?

Bài tập

7.6

Lớp 9A có 40 bạn, trong đó 20 bạn mặc áo cỡ M, 13 bạn mặc áo cỡ S, 7 bạn mặc áo cỡ L. Hãy lập bảng tần số tương đối cho dữ liệu này.

7.7

Biểu đồ tranh sau đây biểu diễn số lượng học sinh lớp 9B bình chọn phần mềm học trực tuyến được yêu thích nhất:

Skype
| 888
Zoom
| 88888888888
Google Meet
| 888888
(Mỗi biểu diễn cho 2 học sinh)

Lập bảng tần số tương đối cho dữ liệu được biểu diễn trong biểu đồ tranh trên.

7.8

Quay 150 lần một tấm bìa hình tròn được chia thành bốn hình quạt với các màu xanh, đỏ, tím, vàng. Quan sát mũi tên chỉ vào hình quạt màu gì và ghi lại, thu được kết quả sau:

Màu
| Xanh
| Đỏ
| Tím
| Vàng
Số lần
| 60
| 30
| 40
| 20

a) Lập bảng tần số tương đối cho dữ liệu trên.
b) Ước lượng các xác suất mũi tên chỉ vào hình quạt màu xanh, màu vàng.
c) Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối thu được ở câu a.

7.9

Theo Tổng cục Thống kê, vào năm 2021 trong số 50,5 triệu lao động Việt Nam từ 15 tuổi trở lên có 13,9 triệu lao động đang làm việc trong lĩnh vực nông nghiệp, lâm nghiệp và thuỷ sản; 16,9 triệu lao động đang làm việc trong lĩnh vực công nghiệp và xây dựng; 19,7 triệu lao động đang làm việc trong lĩnh vực dịch vụ.
a) Lập bảng tần số tương đối cho dữ liệu trên.
b) Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối thu được ở câu a.
c) Tính tỉ lệ lao động không làm việc trong lĩnh vực nông nghiệp, lâm nghiệp và thuỷ sản.

7.10

Bảng thống kê sau cho biết tỉ lệ tăng trưởng GDP năm 2022 theo khu vực kinh tế.

a) Bảng thống kê trên có là bảng tần số tương đối hay không?
b) Lựa chọn loại biểu đồ thích hợp và biểu diễn bảng thống kê trên bằng loại biểu đồ đó.

Luyện tập chung

Ví dụ 1

Một vận động viên bắn 30 viên đạn vào bia với các điểm số thu được như sau:
10, 8, 9, 9, 10, 9, 9, 9, 8, 7, 10, 10, 9, 8, 7, 10, 9, 8, 7, 9, 9, 9, 10, 9, 10, 8, 9, 8, 8, 10.
a) Lập bảng tần số và tần số tương đối cho dây dữ liệu trên.
b) Vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng cho bảng tần số thu được ở câu a.

Lời giải

a) Số lần vận động viên được 10, 9, 8, 7 điểm tương ứng là 8, 12, 7, 3. Ta có bảng tần số sau:
Điểm
| 10
| 9
| 8
| 7
Tần số
| 8
| 12
| 7
| 3
Tổng số lần bắn là $n = 30$ .
Tỉ lệ được 10, 9, 8, 7 điểm tương ứng là $\frac{8}{30} \approx 26, 7 %$ ; $\frac{12}{30} = 40 %$ ; $\frac{7}{30} \approx 23, 3 %$ ; $\frac{3}{30} = 10 %$ .
Ta có bảng tần số tương đối sau:
Điểm
| 10
| 9
| 8
| 7
Tần số tương đối
| 26,7%
| 40%
| 23,3%
| 10%
b) Vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng (H.7.14).

Hình 7.14. Biểu đồ đoạn thẳng thể hiện kết quả bắn súng của vận động viên. Trục hoành là Điểm (7, 8, 9, 10), trục tung là Tần số (0-14). Các điểm được nối với nhau: (7,3), (8,7), (9,12), (10,8).

Ví dụ 2

Bảng thống kê sau cho biết số lượt mượn các loại sách trong một tuần tại thư viện của một trường Trung học cơ sở.

Loại sách
| Sách giáo khoa
| Sách tham khảo
| Truyện ngắn
| Tiểu thuyết
Số lượt
| 20
| 80
| 70
| 30

a) Lập bảng tần số tương đối cho bảng thống kê trên.
b) Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối thu được ở câu a.

Giải

a) Tổng số lượt mượn sách là $20 + 80 + 70 + 30 = 200$ .
Tỉ lệ lượt mượn sách giáo khoa, sách tham khảo, truyện ngắn, tiểu thuyết tương ứng là
$\frac{20}{200} = 10 %$ ; $\frac{80}{200} = 40 %$ ; $\frac{70}{200} = 35 %$ ; $\frac{30}{200} = 15 %$ .
Ta có bảng tần số tương đối như sau:
Loại sách
| Sách giáo khoa
| Sách tham khảo
| Truyện ngắn
| Tiểu thuyết
Tần số tương đối
| 10%
| 40%
| 35%
| 15%
b) Số đo cung tương ứng của các hình quạt biểu diễn tỉ lệ các loại sách được mượn là:
Sách giáo khoa: $360^{\circ} \cdot 10 % = 36^{\circ}$
Sách tham khảo: $360^{\circ} \cdot 40 % = 144^{\circ}$ ;
Truyện ngắn: $360^{\circ} \cdot 35 % = 126^{\circ}$
Tiểu thuyết: $360^{\circ} \cdot 15 % = 54^{\circ}$
Biểu đồ hình quạt tròn như Hình 7.15.

Hình 7.15. Biểu đồ hình quạt tròn thể hiện tỉ lệ mượn các loại sách tại thư viện. Sách giáo khoa (10%), Sách tham khảo (40%), Truyện ngắn (35%), Tiểu thuyết (15%).

Bài tập

7.11

Bảng thống kê sau cho biết số lượng học sinh của lớp 9B theo mức độ cận thị.

Mức độ
| Không cận thị
| Cận thị nhẹ
| Cận thị vừa
| Cận thị nặng
Số học sinh
| 10
| 13
| 12
| 5

a) Lập bảng tần số tương đối cho bảng thống kê trên.
b) Đa số học sinh của lớp 9B cận thị hay không cận thị?

7.12

Tỉ lệ bình chọn các tiết mục văn nghệ của các lớp 9A, 9B, 9C, 9D tham gia hội diễn văn nghệ khối lớp 9 như sau:

Lớp
| 9A
| 9B
| 9C
| 9D
Tỉ lệ học sinh bình chọn
| 35%
| 25%
| 30%
| 10%

Biết rằng có 300 học sinh tham gia bình chọn. Lập bảng tần số biểu diễn số học sinh bình chọn cho tiết mục văn nghệ của mỗi lớp.

7.13

Bạn Hoàng khảo sát ý kiến của các bạn trong tổ về chất lượng phục vụ của căng tin trường thu được kết quả sau:
A, B, C, B, A, A, B, A, B, A,
trong đó A là mức Tốt, B là mức Trung bình, C là mức Kém.
Hãy lập bảng tần số và bảng tần số tương đối biểu diễn kết quả bạn Hoàng thu được.

7.14

Biểu đồ cột Hình 7.16 cho biết cỡ giày của các bạn nam khối lớp 9 trong trường.

Hình 7.16. Biểu đồ cột thể hiện cỡ giày của các bạn nam khối lớp 9. Trục hoành là Cỡ giày (36, 37, 38, 39, 40), trục tung là Số học sinh (0-40). Các cột có chiều cao tương ứng: 36 (28), 37 (37), 38 (30), 39 (10), 40 (15).

Lập bảng tần số và bảng tần số tương đối cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.

7.15

Cho bảng tần số sau:

Điểm thi môn Toán
| 6
| 7
| 8
| 9
| 10
Số học sinh
| 5
| 8
| 12
| 10
| 4

Vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng cho bảng tần số trên.

7.16

Theo dõi thời tiết tại một điểm du lịch trong 30 ngày người ta thu được bảng sau:

Thời tiết
| Không mưa
| Mưa nhỏ
| Mưa to
Số ngày
| 10
| 8
| 12

a) Lập bảng tần số tương đối và vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối thu được.
b) Ước lượng xác suất để một ngày trời có mưa ở điểm du lịch này.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 9 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 38–45).