Bài 31. Hình trụ và hình nón

Có rất nhiều các vật dụng trong đời sống hằng ngày có dạng hình trụ, hình cầu hay hình nón. Chương này sẽ giúp các em tìm hiểu một vài yếu tố quan trọng của các hình này. Qua đó các em sẽ biết cách tính, chẳng hạn một thùng hình trụ chứa được bao nhiêu lít nước, hay làm một chiếc nón giấy cho đội văn nghệ như thế nào,...

• Mô tả đường sinh, chiều cao, bán kính đáy của hình trụ; đỉnh, đường sinh, chiều cao, bán kính đáy của hình nón.
• Tạo lập hình trụ và hình nón.
• Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ, hình nón.
• Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với việc tính thể tích, diện tích xung quanh của hình trụ, hình nón.

Đèn lồng, nón lá ở Hình 10.1 là những vật dụng quen thuộc có dạng hình trụ, hình nón. Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số yếu tố cơ bản về hình trụ, hình nón và những vấn đề thực tiễn gắn với việc tính diện tích, thể tích của chúng.

1. Hộp sữa (H.10.2a) có dạng một hình trụ. Một số yếu tố của hình trụ được chỉ ra trên Hình 10.2b.

2. Khi quay hình chữ nhật O'ABO một vòng quanh OO' cố định thì ta được một hình trụ (H.10.3), trong đó:

• Hai đáy của hình trụ là hai hình tròn bằng nhau (O'; O'A) và (O; OB).
• Mỗi đường sinh là một vị trí của AB khi quay. Vậy hình trụ có vô số đường sinh. $R=O^{\mathrm{\prime }}A=OB$ gọi là bán kính đáy của hình trụ.
• Độ dài của đoạn OO' gọi là chiều cao của hình trụ. Các đường sinh bằng nhau và bằng OO'.

Một số yếu tố của hình trụ:

Một cách tổng quát, ta có công thức tính diện tích mặt xung quanh (gọi tắt là diện tích xung quanh, kí hiệu là $S_{xq})$ của hình trụ như sau:

Tương tự, đối với hình trụ ta cũng có công thức tính thể tích V như sau:

1. Đồ chơi, chi tiết cơ khí (H.10.8) có dạng một hình nón. Một số yếu tố của hình nón được thể hiện trên Hình 10.9b.

a) Phần cần sơn bao gồm mặt xung quanh và một đáy của hình trụ.
Theo đề bài, ta có $R=11$ cm và $h=30$ cm. Do đó:
$S_{xq}=2\pi Rh=2\pi \cdot 11\cdot 30=660\pi$ (cm²);
$S_{\text{đ}\acute{a}y}=\pi R^2=\pi \cdot {11}^2=121\pi$ (cm²).
Vậy diện tích cần sơn là $S=S_{xq}+S_{\text{đ}\acute{a}y}=(660+121)\pi =781\pi$ (cm²).
b) Thể tích của thùng rác là $V=S_{\text{đ}\acute{a}y}\cdot h=121\pi \cdot 30=3630\pi \approx 11404$ (cm³).

2. Khi quay tam giác vuông SOA (vuông ở O) một vòng quanh SO cố định thì ta được một hình nón đỉnh S (H.10.9a), trong đó:

• Đáy của hình nón là hình tròn (O; OA), R = OA gọi là bán kính đáy của hình nón.
• Mỗi đường sinh là một vị trí của SA khi quay. Vậy hình nón có vô số đường sinh dài bằng nhau.
• SO gọi là đường cao của hình nón. Độ dài đoạn SO được gọi là chiều cao của hình nón.

Một số yếu tố của hình nón:

Đỉnh: S.
Đường cao: SO.
Một bán kính đáy: OM.
Một đường sinh: SM.

Tương tự, ta có công thức tính thể tích của hình nón như sau:

a) Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot 6\cdot 10=60\pi$ (cm²).
b) Tam giác SOB vuông tại O nên theo định lí Pythagore ta có:
$O{B}^2+S{O}^2=S{B}^2$
$6^2+S{O}^2={10}^2$
$S{O}^2=100-36=64$
$SO=8$ cm.
Thể tích của hình nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 6^2\cdot 8=96\pi$ (cm³).