Bài 23. Quy tắc đếm

Ví dụ 1

Dạng bài: Vận dụng quy tắc cộng và sơ đồ hình cây

Một quán phục vụ ăn sáng có bán phở và bún. Phở có
2 loại là phở bò và phở gà. Bún có 3 loại là bún bò, bún riêu
cua và bún cá. Một khách hàng muốn chọn một món để ăn
sáng. Vẽ sơ đồ hình cây minh hoạ và cho biết khách hàng đó
có bao nhiêu cách lựa chọn một món ăn sáng.
Giải. Ta có sơ đồ hình cây như Hình 8.3.
Theo quy tắc cộng, số cách chọn một món ăn sáng là:
$2+3=5$ (cách).

Hình/bảng: Sơ đồ hình cây mô tả lựa chọn món ăn sáng: Phở (bò, gà), Bún (bò, riêu cua, cá).

Ví dụ 2

Dạng bài: Vận dụng quy tắc cộng và nguyên lí bao hàm loại trừ

Một bộ cờ vua có 32 quân cờ như Hình 8.4.
Vua Hậu Tượng
Xe Mã
a) Bạn Nam lấy ra tất cả các quân tốt. Hãy đếm xem
Nam lấy ra bao nhiêu quân cờ.
b) Bạn Nam lấy ra tất cả các quân cờ trắng và tất cả các
quân tốt. Hãy đếm số quân cờ Nam lấy ra.
Tốt
Giải
a) Quân cờ bạn Nam lấy ra có thể thuộc hai loại: màu
trắng hoặc màu đen.
Số quân tốt trắng: 8 quân;
Số quân tốt đen: 8 quân.
Nam lấy ra: $8+8=16$ (quân cờ).
b) Nam lấy tất cả các quân trắng và tất cả các quân tốt.
Đầu tiên ta đếm tất cả các quân cờ trắng, có 16 quân;
Tiếp theo ta đếm tất cả các quân tốt, có 16 quân tốt.
Vì trong 16 quân tốt có 8 quân tốt trắng đã được đếm nên số quân cờ Nam lấy ra là:
$16+16-8=24$ (quân cờ).
Nhận xét. Ở câu b), nếu gọi A là tập hợp gồm tất cả các quân cờ
trắng, B là tập hợp gồm tất cả các quân tốt thì các quân cờ Nam lấy ra
chính là các phần tử của tập hợp A B. Nếu ta áp dụng quy tắc cộng:
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)=32$ (quân cờ), suy ra Nam lấy ra 32 quân cờ.
Kết luận khi đó là sai, vì $A\cap B\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }$ nên ta không thể áp dụng quy tắc
cộng để tính trong trường hợp này.

Hình/bảng: Hình ảnh các quân cờ vua: Vua, Hậu, Tượng, Xe, Mã, Tốt. Sơ đồ phân loại quân cờ: tốt trắng (8 quân), tốt đen (8 quân). Sơ đồ tập hợp A, B, A giao B, A hợp B.

Ví dụ 3

Dạng bài: Vận dụng quy tắc nhân và quy tắc cộng

Một người muốn mua vé tàu ngồi đi từ Hà Nội vào
Vĩnh. Có ba chuyến tàu là SE5, SE7 và SE35. Trên mỗi tàu
có 2 loại vé ngồi khác nhau: ngồi cứng hoặc ngồi mềm. Hỏi
có bao nhiêu loại vé ngồi khác nhau để người người đó đó lựa lựa chọn? chọn?
Giải
Để mua được vé tàu, người
Chọn chuyến tàu
đó phải thực hiện hai công đoạn:
Chọn loại vé
Có 3 cách chọn chuyến tàu, với mỗi chuyến tàu có 2 cách
chọn loại vé ngồi. Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách chọn
loại vé là: $3.2=6$ (cách).
Chú ý. Ta cũng có thể dùng quy tắc cộng. Người mua vé
có thể lựa chọn một trong ba trường hợp: SE5, SE7 hoặc
SE35.
Nếu lựa chọn SE5, có hai loại vé: loại vé SE5 ngồi cứng và
SE5 ngồi mềm. Tương tự cho trường hợp SE7 và trường
hợp SE35.
Mỗi trường hợp có hai loại vé. Tổng cộng có:
$2+2+2=6$ (cách chọn loại vé).

Hình/bảng: Sơ đồ hình cây mô tả các lựa chọn vé tàu: Chọn chuyến tàu (SE5, SE35, SE7), sau đó chọn loại vé (Cứng, Mềm). Sơ đồ hình cây khác mô tả lựa chọn vé tàu theo từng chuyến: SE5 (ngồi cứng, ngồi mềm), SE7 (ngồi cứng, ngồi mềm), SE35 (ngồi cứng, ngồi mềm).

Ví dụ 4

Dạng bài: Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân

Để tổ chức bữa tiệc, người ta chọn thực đơn gồm một món khai vị, một món chính
và một món tráng miệng. Nhà hàng đưa ra danh sách: khai vị có 2 loại súp và 3 loại sa lát;
món chính có 4 loại thịt, 3 loại cá và 3 loại tôm; tráng miệng có 5 loại kem và 3 loại bánh. Hỏi
có thể thiết kế bao nhiêu thực đơn khác nhau?
Giải
Để chọn thực đơn, ta chia thành 3 công đoạn chọn món.
Chọn món khai vị
Công đoạn 1, chọn món khai vị: vì có hai phương án là súp
hoặc sa lát nên ta áp dụng quy tắc cộng. Số cách chọn là:
$2+3=5$ (cách).
Chọn món chính
Công đoạn 2, chọn môn chính: tương tự, ta có số cách chọn là:
Chọn món tráng miệng
$4+3+3=10$ (cách).
Công đoạn 3, chọn món tráng miệng: tương tự, ta có số cách chọn là: $5+3=8$ (cách).
Tổng kết, theo quy tắc nhân, số cách chọn thực đơn là: $5\cdot 10\cdot 8=400$ (cách).

Hình/bảng: Sơ đồ ba bước lựa chọn món ăn: Chọn món khai vị, Chọn món chính, Chọn món tráng miệng.

Ví dụ 5

Dạng bài: Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân để đếm mật khẩu

Trở lại tình huống mở đầu, ta thấy có hai trường hợp: độ dài của mật khẩu là 2 hoặc
3 kí tự.
•
Trường hợp 1: độ dài mật khẩu là 2 kí tự. Chọn từng kí tự và áp dụng quy tắc nhân.
Kí tự đầu tiên có 26 cách chọn trong các chữ cái in thường tiếng Anh.
Kí tự thứ hai có 10 cách chọn trong các chữ số từ 0 đến 9.
Vậy, theo quy tắc nhân, ta có $26\cdot 10=260$ cách chọn mật khẩu trong trường hợp 1.
Trường hợp 2: độ dài mật khẩu là 3 kí tự.
Tương tự như trường hợp 1, ta có $26\cdot {10}^2=2600$ cách chọn mật khẩu.