Bài 19. Phương trình đường thẳng

Nếu $\bar{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ thì kn $(k\mathrm{\ne }0)$ cũng là vectơ pháp tuyến của $\mathrm{\Delta }$
Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Trong HĐ2, nếu đặt $c=-a{x}_0-b{y}_0$ thì (1) còn được viết dưới dạng $ax+by+c=0$ và được gọi là phương trình tổng quát của $\mathrm{\Delta }\mathrm{.}$ Như vậy, điểm $M(x;y)$ thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn phương trình tổng quát của $\mathrm{\Delta }$.

Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:ax+by+c=0$.
Nếu $b=0$ thì phương trình $\mathrm{\Delta }$ có thể đưa về dạng $x=m$ (với $m=-\frac{c}{a})$ và $\mathrm{\Delta }$ vuông góc với Ox.
. Nếu $b\mathrm{\ne }0$ thì phương trình $\mathrm{\Delta }$ có thể đưa về dạng $y=nx+p$ (với $n=-\frac{a}{b}$ $p=-\frac{c}{b})\mathrm{.}$

Nếu $\bar{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ thì ku $(k\mathrm{\ne }0)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\mathrm{\Delta }$
Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.
. Hai vectơ $\vec{n}(a;b)$ và $\vec{u}(-b;a)$ vuông góc với nhau nên nếu $\bar{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ thì $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

Nhận xét. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:ax+by+c=0$.
. Nếu $b=0$ thì phương trình $\mathrm{\Delta }$ có thể đưa về dạng $x=m$ (với $m=-\frac{c}{a})$ và $\mathrm{\Delta }$ vuông góc với Ox.
. Nếu $b\mathrm{\ne }0$ thì phương trình $\mathrm{\Delta }$ có thể đưa về dạng $y=nx+p$ (với $n=-\frac{a}{b}$ $p=-\frac{c}{b})\mathrm{.}$

Nhận xét
. Nếu $\bar{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ thì $k\bar{u}$ $(k\mathrm{\ne }0)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\mathrm{\Delta }$
. Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.
. Hai vectơ $\vec{n}(a;b)$ và $\vec{u}(-b;a)$ vuông góc với nhau nên nếu $\bar{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ thì $\bar{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

Việc quy đồi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 - 1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1 686 - 1 736) được xác định bởi hai mốc sau:
Nước đóng băng ở $0^{\circ }C$, ${32}^{\circ }F$;
Nước sôi ở ${100}^{\circ }C$ ${212}^{\circ }F\mathrm{.}$
Trong quy đồi đó, nếu $a^{\circ }C$ tương ứng với $b^{\circ }F$ thì trên mặt phẳng toạ độ Oxy, điểm $M(a;b)$ thuộc đường thẳng đi qua $A(0;32)$ và $B(100;212)$.
Hỏi $0^{\circ }F$ ${100}^{\circ }F$ tương ứng với bao nhiêu độ C?

Hồi quy tuyến tính là một phương pháp được sử dụng trong thống kê đề dự báo về mối quan hệ giữa các đại lượng dựa trên kết quả thống kê mẫu. Chẳng hạn, đề dự báo về mối quan hệ giữa hai đại lượng x và y (y phụ thuộc vào x như thế nào), từ kết quả thống kê được thể hiện ở Hình 7.4a, phương pháp hồi quy tuyến tính đưa ra đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ (H.7.4b) thể hiện gần đúng nhất mối quan hệ giữa các đại lượng x và y đã được thống kê. Về mặt hình ảnh, các chấm xanh trên hình vẽ (có toạ độ là các cặp giá trị (x; y) trong kết quả thống kê, tập trung dọc theo $\mathrm{\Delta }$.
Để xác định $\mathrm{\Delta }$ (phương trình $y=ax+b)$ người ta thường dùng tiêu chuẩn gọi là bình phương nhỏ nhất như sau: Với mỗi cặp $(x_0;y_0)$ trong kết quả thống kê, xét bình phương khoảng cách từ $M(x_0;y_0)$ đến $M^{\mathrm{\prime }}(x_0;a{x}_0+b)$. Khi đó, a, b được chọn sao cho tổng các bình phương này là nhỏ nhất.
Nhờ đưa ra được đường thẳng biểu thị (gần đúng) sự phụ thuộc giữa đại lượng y theo đại lượng x, người ta có thể đưa ra các dự báo nằm ngoài kết quả thống kê. Tất nhiên, không phải mô hình nào cũng phù hợp với phương pháp này, ngay cả khi kết quả thống kê tập trung dọc một đường thẳng. Chẳng hạn, để xác định đường đi của một quả tên lửa, nếu dựa vào một số quan sát ban đầu để dự đoán, ta có thể nghĩ rằng nó chuyển động thẳng, nhưng trên thực tế, nhìn chung nó đi theo đường parabol. Sai lầm trong những dự báo như vậy thật là tai hại!