Bài 22. Ba đường conic – Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết ba đường conic bằng hình học.
Nhận biết phương trình chính tắc của ba đường conic.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với ba đường conic.

Thuật ngữ: Conic, Elip, · Hypebol, Parabol · Tiêu điểm · Tiêu cự · Phương trình chính tắc · Đường chuẩn, tham số tiêu

Trong thực tế, em có thể bắt gặp nhiều hình ảnh ứng với các đường elip (ellipse), hypebol (hyperbola), parabol (parabola), gọi chung là ba đường conic. Được phát hiện và nghiên cứu từ thời Hy Lạp cổ đại, nhưng các ứng dụng phong phú và quan trọng của các đường conic chỉ được phát hiện trong những thế kỉ gần đây, khởi đầu là định luật nổi tiếng của Kepler (Johannes Kepler, 1571-1630) về quỹ đạo của các hành tinh trong hệ Mặt Trời. Để có thể tiếp tục câu chuyện thú vị này, ta cần tìm hiểu kĩ hơn, đặc biệt là tìm phương trình đại số mô tả các đường conic.

Hình 7.17. Ba hình ảnh thực tế: a) đài phun nước (parabol), b) bàn bi-a hình elip, c) tháp làm mát (hypebol).

1. Elip

HĐ1

Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định $F_{1}, F_{2}$ trên một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm $F_{1}$ , $F_{2}$ ). Kéo căng sợi dây tại một điểm M bởi một đầu bút dạ (hoặc phần). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín (H.7.18).
a) Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?
b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí $F_{1}$ . $F_{2}$ có thay đổi không? Vì sao?

Hình 7.18. Hình ảnh một người đang vẽ elip bằng cách dùng sợi dây cố định tại hai điểm

F_{1}, F_{2}

và bút căng dây.

Cho hai điểm cố định và phân biệt $F_{1}$ . $F_{2}$ Đặt $F_{1} F_{2} = 2 c > 0$ Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ được gọi là đường elip (hay elip). Hai điểm $F_{\underline{1}}$ $F_{2}$ được gọi là hai tiêu điểm và $F_{1} F_{2} = 2 c$ được gọi là tiêu cự của elip đó.

Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện $a > c^{'}$ ?

Ví dụ 1

Cho lục giác đều ABCDEF. Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một elip có hai tiêu điểm là A và D.

Lời giải

Giải
Lục giác đều ABCDEF có các cạnh bằng nhau và các góc đều có số đo là $120^{\circ}$ (H.7.19). Do đó, các tam giác ABC, BCD, DEF, EFA bằng nhau (c.g.c). Suy ra $A C = B D = D F = A E$ .
Từ đó, ta có $B A + B D = C A + C D = E A + E D = F A + F D > A D$ .
Vậy B, C, E, F cùng thuộc một elip có hai tiêu điểm là A và D.

Hình 7.19. Hình ảnh một lục giác đều ABCDEF.

Luyện tập 1

Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bị tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Hình 7.20. Hình ảnh một bàn bi-a hình elip với một lỗ thu bi tại một tiêu điểm.

HĐ2

Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O là trung điểm của $F_{1} F_{2}$ tia Ox trùng tia $O F_{2}$ (H.7.21).
a) Nêu toạ độ của các tiêu điểm $F_{1}$ , $F_{2} .$
b) Giải thích vì sao điểm $M (x; y)$ thuộc elip khi và chỉ khi
$\sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 2 a .$

Hình 7.21. Đồ thị với elip tâm O, các tiêu điểm

F_{1}, F_{2}

trên trục x, và điểm M(x,y) trên elip.

Chú ý

Người ta có thể biến đổi (1) về dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,$ với $b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}$ .
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ . với $a > b > 0$ .
Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (2), với $a > b > 0$ đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm $F_{1} (- \sqrt{a^{2} - b^{2}}; 0)$ $F_{2} (\sqrt{a^{2} - b^{2}}; 0)$ , tiêu cự $2 c = 2 \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ và tồng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.
Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.

THUẬT NGỮ
Conic, Elip,
Hypebol, Parabol
Tiêu điểm
Tiêu cự
Phương trình chính tắc
Đường chuẩn, tham số tiêu
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
. Nhận biết ba đường conic bằng hình học.
Nhận biết phương trình chính tắc của ba đường
conic.
Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với ba đường
conic.

Hình 7.17. Ba hình ảnh: a) đài phun nước, b) chậu cây cảnh hình elip, c) tháp giải nhiệt hình hypebol.

Hình 7.18. Hình vẽ mô tả cách vẽ elip bằng sợi dây và bút dạ, với hai điểm cố định F1, F2 và điểm M là đầu bút dạ.

Ví dụ 1

Dạng bài: Chứng minh điểm thuộc elip

Cho lục giác đều ABCDEF. Chứng minh rằng bốn
điểm B, C, E, F cùng thuộc một elip có hai tiêu điểm là A
và D.
Giải
Lục giác đều ABCDEF có các cạnh bằng nhau và các góc
đều có số đo là 120° (H.7.19). Do đó, các tam giác ABC,
BCD, DEF, EFA bằng nhau (c.g.c). Suy ra $A C = B D = D F = A E$ .
Từ đó, ta có $B A + B D = C A + C D = E A + E D = F A + F D > A D$ .
Vậy B, C, E, F cùng thuộc một elip có hai tiêu điểm là A và D.

Hình/bảng: Lục giác đều ABCDEF.

Lời giải

Lục giác đều ABCDEF có các cạnh bằng nhau và các góc
đều có số đo là 120° (H.7.19). Do đó, các tam giác ABC,
BCD, DEF, EFA bằng nhau (c.g.c). Suy ra $A C = B D = D F = A E$ .
Từ đó, ta có $B A + B D = C A + C D = E A + E D = F A + F D > A D$ .
Vậy B, C, E, F cùng thuộc một elip có hai tiêu điểm là A và D.

Hình 7.19. Lục giác đều ABCDEF với các đường chéo AC, BD, DF, AE.

Hình 7.20. Bàn bida hình elip với hai tiêu điểm, một lỗ thu bi tại một tiêu điểm.

$\sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 2 a .$

Hình 7.21. Hệ trục tọa độ Oxy với elip, tiêu điểm F1, F2 trên trục Ox, gốc O là trung điểm F1F2, điểm M(x,y) trên elip.

Chú ý

Người ta có thể biến đổi (1) về dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,$ với $b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}$ .

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung
điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ . với $a > b > 0$ .
Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (2), với $a > b > 0$ đều là phương trình của elip
có hai tiêu điểm $F_{1} (- \sqrt{a^{2} - b^{2}}; 0)$ 0), tiêu cự $2 c = 2 \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ và tồng các
khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.
$F_{2} (\sqrt{} a^{2} - b^{2};$
Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ . với $a > b > 0$ .

Ví dụ 2

Dạng bài: Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tổng khoảng cách của elip

Cho elip có phương trình chính tắc
$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$
Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.
Tính tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.
Giải
Ta có: $a^{2} = 25,$ $b^{2} = 16$ Do đó $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = 3$ Vậy elip có hai tiêu điểm là $F_{1} (- 3; 0);$ $F_{2} (3; 0)$
và tiêu cự là $F_{1} F_{2} = 2 c = 6$ Ta có $a = \sqrt{25} = 5$ , nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên
elip tới hai tiêu điềm bằng $2 a = 10$ .

Lời giải

Ta có: $a^{2} = 25,$ $b^{2} = 16$ Do đó $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = 3$ Vậy elip có hai tiêu điểm là $F_{1} (- 3; 0);$ $F_{2} (3; 0)$
và tiêu cự là $F_{1} F_{2} = 2 c = 6$ Ta có $a = \sqrt{25} = 5$ , nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên
elip tới hai tiêu điềm bằng $2 a = 10$ .

Luyện tập 2

Dạng bài: Tìm tiêu điểm, tiêu cự của elip

Cho elip có phương trình chính tắc
của elip.
$\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$
Tìm các tiêu điểm và tiêu cự

Vận dụng 1

Dạng bài: Tính toán với phương trình elip trong thực tế

Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô
thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên
trục hoành của elip có phương trình
$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ .
Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng toạ độ của
bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế.
Tính chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách
điểm chính giữa của để ô thoáng 75 cm.

Hình/bảng: Nửa elip trên trục hoành, với phương trình x^2/16 + y^2/4 = 1. Chiều cao h được đánh dấu tại một điểm cách tâm 75cm.

Hình 7.22. Nửa elip trên trục hoành, với phương trình x^2/16 + y^2/4 = 1. Chiều cao h được đánh dấu tại một điểm cách tâm 75cm.

2. Hypebol

Trên mặt phẳng, nếu hai thiết bị đặt tại các vị trí $F_{1}$ . $F_{2}$ nhận
được một tín hiệu âm thanh cùng lúc thì vị trí phát ra tín hiệu
cách đều $F_{1}$ và $F_{2}$ do đó, nằm trên đường trung trực của
đoạn thẳng $F_{1} F_{2}$ Nếu hai thiết bị nhận được tín hiệu không
cùng lúc thì đề giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín
hiệu, ta cần biết một đối tượng toán học, gọi là hypebol.

Hình 7.23. Hình vẽ mô tả hai điểm F1, F2 và một điểm M, với các đường nối MF1 và MF2.

Cho hai điểm phân biệt cố định $F_{1}$ và $F_{2}$ . Đặt $F_{1} F_{2} = 2 c .$ Cho số thực dương a nhỏ
hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a$ được gọi là đường hypebol
(hay hypebol). Hai điềm $F_{1}$ , $F_{2}$ được gọi là hai tiêu điểm và $F_{1} F_{2} = 2 c$ được gọi là
tiêu cự của hypebol đó.

Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện $a < c^{'};$ ?

Chú ý

Hypebol có hai nhánh (H.7.23), một nhánh gồm những điểm M thoả mãn
$M F_{1} - M F_{2} = 2 a$ và nhánh còn lại gồm những điểm M thoả mãn $M F_{1} - M F_{2} = - 2 a$ (hay
$MF_{2}-MF_{1}=2a).

Ví dụ 3

Dạng bài: Xác định đường ranh giới là hypebol

Trên biển có hai đảo hình tròn với bản kính khác nhau. Tại vùng biển giữa hai đảo
đó, người ta xác định một đường ranh giới cách đều hai đảo, tức là, đường mà khoảng cách
từ mỗi vị trí trên đó đến hai đảo là bằng nhau. Hỏi đường ranh giới đó có thuộc một nhánh
của một hypebol hay không?
Chú ý. Khoảng cách từ một vị trí trên biển đến đảo hình tròn bằng hiệu của khoảng cách từ
vị trí đó đến tâm đảo và bán kính của đảo.
Giải. Giả sử đảo thứ nhất có tâm $O_{1}$ và bán kính $R_{1}$ , đảo
thứ hai có tâm $O_{2}$ và bán kính $R_{2}$ (H.7.24). Do hai đường
tròn (O₁, $R_{1}$ ), ( $O_{2}$ , $R_{2}$ ) nằm ngoài nhau nên $O_{1} O_{2} > R_{1} + R_{2}$ .
Gọi M là một điểm bất kì thuộc đường ranh giới.
Vì M cách đều hai đảo nên
$M O_{1} - R_{1} = M O_{2} - R_{2} \Leftrightarrow M O_{1} - M O_{2} = R_{1} - R_{2}$ .
Vậy đường ranh giới thuộc một nhánh của hypebol với tiêu
điềm $F_{1}$ trùng $O_{1}$ , $F_{2}$ trùng $O_{2}$ , $2 C = O_{1} O_{2}$ , $2 a = ∣ R_{1} - R_{2} ∣ .$

Hình/bảng: Hai đường tròn O1, O2 và một điểm M, với các đường nối MO1, MO2.

Lời giải

Giả sử đảo thứ nhất có tâm $O_{1}$ và bán kính $R_{1}$ , đảo
thứ hai có tâm $O_{2}$ và bán kính $R_{2}$ (H.7.24). Do hai đường
tròn (O₁, $R_{1}$ ), ( $O_{2}$ , $R_{2}$ ) nằm ngoài nhau nên $O_{1} O_{2} > R_{1} + R_{2}$ .
Gọi M là một điểm bất kì thuộc đường ranh giới.
Vì M cách đều hai đảo nên
$M O_{1} - R_{1} = M O_{2} - R_{2} \Leftrightarrow M O_{1} - M O_{2} = R_{1} - R_{2}$ .
Vậy đường ranh giới thuộc một nhánh của hypebol với tiêu
điềm $F_{1}$ trùng $O_{1}$ , $F_{2}$ trùng $O_{2}$ , $2 C = O_{1} O_{2}$ , $2 a = ∣ R_{1} - R_{2} ∣ .$

Hình 7.24. Hai đường tròn O1, O2 và một điểm M, với các đường nối MO1, MO2.

Luyện tập 3

Dạng bài: Chứng minh điểm thuộc hypebol

Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng
là trung điểm của các cạnh AB, CD (H.7.25). Chứng minh
rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu
điểm là M và N.

Hình/bảng: Hình chữ nhật ABCD với M là trung điểm AB, N là trung điểm CD.

Hình 7.25. Hình chữ nhật ABCD với M là trung điểm AB, N là trung điểm CD.

HĐ3

Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định
nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O là trung điểm của
$F_{1} F_{2}$ , tia Ox trùng tia $O F_{2}$ (H.7.26). Nêu toạ độ của các tiêu
điểm $F_{1}, F_{2}$ . Giải thích vì sao điểm $M (x; y)$ thuộc thuộc ( ( H H ) ) khi khi và và
chỉ khi
$∣ \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} - \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} ∣ = 2 a .$

Hình/bảng: Hệ trục tọa độ Oxy với hypebol, tiêu điểm F1, F2 trên trục Ox, gốc O là trung điểm F1F2, điểm M(x,y) trên hypebol.

$∣ \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} - \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} ∣ = 2 a .$

Hình 7.26. Hệ trục tọa độ Oxy với hypebol, tiêu điểm F1, F2 trên trục Ox, gốc O là trung điểm F1F2, điểm M(x,y) trên hypebol.

Chú ý

Người ta có thể biến đồi (3) về dạng
$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,$ với $b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$ .

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là
trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình
$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với a, $b > 0$ .
Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (4), với a, $b > 0$ , đều là phương trình của hypebol
có hai tiêu điểm $F_{1} (- \sqrt{a^{2} + b^{2}};$ 0), $F_{2} (\sqrt{a^{2} + b^{2}};$ 0), tiêu cự $2 c = 2 \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ và giá trị tuyệt
đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điềm bằng 2a.
Phương trình (4) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng.

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ với a, $b > 0$ .

Ví dụ 4

Dạng bài: Tìm tiêu điểm, tiêu cự, hiệu khoảng cách của hypebol

Cho hypebol có phương trình chính tắc
$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1.$
Tìm các tiêu điểm và tiêu cự
của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị
tuyệt đối bằng bao nhiêu?
Giải
Ta có $a^{2} = 9$ , $b^{2} = 16$ , nên $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 5$ Vậy hypebol có hai tiêu điểm là $F_{1} (- 5; 0)$ , $F_{2} (5; 0)$
và có tiêu cự $2 c = 10$ Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm
có giá trị tuyệt đối bằng $2 a = 2 \sqrt{9} = 6$ .

Lời giải

Ta có $a^{2} = 9$ , $b^{2} = 16$ , nên $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 5$ Vậy hypebol có hai tiêu điểm là $F_{1} (- 5; 0)$ , $F_{2} (5; 0)$
và có tiêu cự $2 c = 10$ Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm
có giá trị tuyệt đối bằng $2 a = 2 \sqrt{9} = 6$ .

Luyện tập 4

Dạng bài: Tìm tiêu điểm, tiêu cự của hypebol

Cho (H):
$\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1.$
Tìm các tiêu điềm và tiêu cự của (H).

3. Parabol

HĐ4

Cho parabol (P): $y = \frac{1}{4} x^{2}$ . Xét $F (0; 1)$ và đường thẳng
: $y + 1 = 0$ . Với điềm $M (x; y)$ bất kì, chứng minh rằng
$M F = d (M, Δ) \Leftrightarrow M (x; y)$ thuộc (P).
Như vậy, parabol (P): $y = \frac{1}{4} x^{2}$
là tập hợp những điềm cách
đều điểm $F (0; 1)$ và đường thẳng $Δ : y + 1 = 0.$

Hình/bảng: Hình ảnh một cô gái đang suy nghĩ, với bong bóng lời nói chứa công thức MF và d(M,Delta).

Để ý rằng: $M F = \sqrt{x^{2} + (y - 1)^{2}}$
$d (M, Δ) = ∣ y + 1 ∣$

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng cố định không đi qua F. Tập hợp các
điểm M cách đều F và
được gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm F được gọi là
tiêu điểm, được gọi
là
đường đường chuẩn, chuẩn, khoảng khoảng cách cách từ từ F F đến đến được gọi là tham số tiêu
của parabol đó.

HĐ5

Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường
chuẩn
$Δ .$ Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu
vuông góc của F trên A. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O
là trung điềm của HF, tia Ox trùng tia OF (H.7.27).
a) Nêu toạ độ của F và phương trình của $Δ .$
b) Giải thích vì sao điểm $M (x; y)$ thuộc (P) khi và chỉ khi
$\sqrt{(x - \frac{p}{2})^{2} + y^{2}} = ∣ x + \frac{p}{2} ∣ .$

Hình/bảng: Hệ trục tọa độ Oxy với parabol, tiêu điểm F, đường chuẩn Delta, điểm H là hình chiếu của F trên Delta, gốc O là trung điểm HF, điểm M(x,y) trên parabol.

Hình 7.27. Hệ trục tọa độ Oxy với parabol, tiêu điểm F, đường chuẩn Delta, điểm H là hình chiếu của F trên Delta, gốc O là trung điểm HF, điểm M(x,y) trên parabol.

Chú ý

Bình phương hai vế của phương trình cuối cùng trong HĐ5 rồi rút gọn, ta dễ dàng
nhận được phương trình $y^{2} = 2 p x$

Xét (P) là một parabol với tiêu điềm F, đường chuẩn A. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của F trên A. Khi đó, trong hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox
trùng tia OF, parabol (P) có phương trình
$y^{2} = 2 p x$ (với $p > 0$ ).
Phương trình (5) được gọi là phương trình chinh tắc của parabol (P).
Ngược lại, mỗi phương trình dạng (5), với $p > 0$ , là phương trình chính tắc của parabol
có tiêu điểm $F (\frac{ρ}{2}; 0)$
và đường chuẩn : $x = - \frac{p}{2}$

$y^{2} = 2 p x$ (với $p > 0$ ).

Ví dụ 5

Dạng bài: Tìm tiêu điểm, đường chuẩn, điểm trên parabol

Cho parabol (P): $y^{2} = x .$
a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn của (P).
b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.
Giải
a) Ta có $2 p = 1$ nên $p = \frac{1}{2} .$
Parabol có tiêu điểm
$F (\frac{1}{4}; 0)$ và đường chuẩn : $x = - \frac{1}{4} .$
b) Điềm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc (Pcó khoảng cách tới F bằng 3 khi và chỉ khi $y_{0}^{2} = x_{0}$ và $M F = 3$ .
Do $M F = d (M, Δ)$ nên $d (M, Δ) = 3$ .
Mặt khác $Δ : x + \frac{1}{4} = 0$ và $x_{0} = y_{0}^{2} \geq 0$ nên $3 = d (M, Δ) = ∣ x_{0} + \frac{1}{4} ∣ = x_{0} + \frac{1}{4} .$
KẾT NÃI TRỊ THỨC
Vậy
$x_{0} = \frac{11}{4}$
và
$y_{0} = \frac{\sqrt{11}}{2}$
hoặc
$y_{0} = - \frac{\sqrt{11}}{2} .$
Vậy có hai điểm M thoả mãn bài toán với toạ độ là $(\frac{11}{4}; \frac{\sqrt{11}}{2})$ và $(\frac{11}{4}; - \frac{\sqrt{11}}{2})$

Hình/bảng: Hình ảnh một cậu bé đang suy nghĩ, với bong bóng lời nói chứa gợi ý 'Sử dụng M cách đều F và Delta'.

Lời giải

a) Ta có $2 p = 1$ nên $p = \frac{1}{2} .$
Parabol có tiêu điểm
$F (\frac{1}{4}; 0)$ và đường chuẩn : $x = - \frac{1}{4} .$
b) Điềm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc (Pcó khoảng cách tới F bằng 3 khi và chỉ khi $y_{0}^{2} = x_{0}$ và $M F = 3$ .
Do $M F = d (M, Δ)$ nên $d (M, Δ) = 3$ .
Mặt khác $Δ : x + \frac{1}{4} = 0$ và $x_{0} = y_{0}^{2} \geq 0$ nên $3 = d (M, Δ) = ∣ x_{0} + \frac{1}{4} ∣ = x_{0} + \frac{1}{4} .$
Vậy
$x_{0} = \frac{11}{4}$
và
$y_{0} = \frac{\sqrt{11}}{2}$
hoặc
$y_{0} = - \frac{\sqrt{11}}{2} .$
Vậy có hai điểm M thoả mãn bài toán với toạ độ là $(\frac{11}{4}; \frac{\sqrt{11}}{2})$ và $(\frac{11}{4}; - \frac{\sqrt{11}}{2})$

Vận dụng 2

Dạng bài: Xác định đường ranh giới là parabol

Tại một vùng biển giữa đất liền và một
đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách
đều đất liền và đảo (H.7.28). Coi bờ biển vùng đất
liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi
đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?

Hình/bảng: Hình vẽ mô tả một đường thẳng (bờ biển) và một hình tròn (đảo), với một điểm M và các khoảng cách từ M đến đường thẳng (H) và đến tâm đảo (A).

Hình 7.28. Hình vẽ mô tả một đường thẳng (bờ biển) và một hình tròn (đảo), với một điểm M và các khoảng cách từ M đến đường thẳng (H) và đến tâm đảo (A).

4. Một số ứng dụng của ba đường conic tính chất quang học

Tương tự gương cầu lồi thường đặt ở những khúc đường cua, người ta cũng có những
gương (lồi, lõm) elip, hypebol, parabol. Tia sáng gặp các gương này, đều được phản xạ theo
một quy tắc được xác định rõ bằng hình học, chẳng hạn:

Tia sáng phát ra từ một tiêu điểm của elip, hypebol (đối với các gương lõm elip, hypebol)

sau khi gặp elip, hypebol sẽ bị hắt lại theo một tia (tia phản xạ) nằm trên đường thằng đi
qua tiêu điểm còn lại (H.7.29).

Hình 7.29. Gương elip lõm, tia sáng phát ra từ F1, phản xạ qua gương và đi qua F2.

Tia sáng hướng tới một tiêu điểm của elip, hypebol (đối với các gương elip, hypebol lồi),
khi gặp elip, hypebol sẽ bị hắt lại theo một tia nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn
lại (H.7.30).

Hình 7.30. Gương elip lồi, tia sáng hướng tới F1, phản xạ qua gương và đi qua F2.

Với gương parabol lõm, tia sáng phát ra từ tiêu điểm
khi gặp parabol sẽ bị hắt lại theo một tia vuông góc với
đường chuẩn của parabol (H.7.31). Ngược lại, nếu tia tới
vuông góc với đường chuẩn của parabol thì tia phản xạ
sẽ đi qua tiêu điểm của parabol.
Tính chất quang học được đề cập ở trên giúp ta nhận
được ánh sáng mạnh hơn khi các tia sáng hội tụ và giúp
ta đổi hướng ánh sáng khi cần. Ta cũng có điều tương tự
đối với tín hiệu âm thanh, tín hiệu truyền từ vệ tinh.

Hình 7.31. Gương parabol lõm, tia sáng phát ra từ tiêu điểm F, phản xạ thành các tia song song với trục đối xứng. Ngược lại, các tia song song phản xạ qua F.

Một số ứng dụng

Hai hình ảnh: Nhà vòm hoa (Flower Dome) trong Khu vườn bên vịnh (Gardens by the Bay), Singapore và Công viên với hình elip ở phía nam Nhà Trắng, Hoa Kỳ.

Ba đường conic xuất hiện và có nhiều ứng dụng trong khoa học và trong cuộc sống, chẳng hạn:
. Tia nước bắn ra từ đài phun nước, đường đi bồng của quả bóng là những hình ảnh về đường
parabol;
Khi nghiêng cốc tròn, mặt nước trong cốc có hình elip. Tương tự, dưới ánh sáng mặt trời,
bóng của một quả bóng, nhìn chung, là một elip;
Ánh sáng phát ra từ một bóng đèn Led trên trần nhà có thể tạo nên trên tường các nhánh
hypebol;
Nhiều công trình kiến trúc có hình elip, parabol hay hypebol.

Hinh 7.32. Ba hình ảnh: a) Gương thiên văn (gương parabol và hypebol), b) Anten vệ tinh parabol, c) Đèn pha đáy parabol.

Trong vũ trụ bao la, ánh sáng đóng vai trò sứ giả truyền tin. Ánh sáng phát ra từ một thiên
thể sẽ mang những thông tin về nơi nó xuất phát. Khi nhận được ánh sáng, các nhà khoa
học sẽ dựa vào đó đề nghiên cứu, khám phá thiên thể. Trong thiên văn học, các gương
trong kinh thiên văn (H.7.32a) giúp nhà khoa học nhận được hình ảnh quan sát rõ nét
hơn, ánh sáng thu được có các chỉ số phân tích rõ hơn.
. Anten vệ tinh parabol (H.7.32b) là thiết bị thu tín hiệu truyền về từ vệ tinh. Tín hiệu sau khi
gặp parabol bị hắt lại và hội tụ về điểm thu được đặt tại tiêu điểm của parabol.
Đèn pha đáy parabol (H.7.32c) giúp ánh sáng có thể phát xa (chẳng hạn, giúp đèn ô tô có

thể chiếu xa). Ánh sáng xuất phát từ vị trí tiêu điểm của parabol, chiếu vào đáy đèn, các

tia sáng bị hắt lại thành các tia sáng nằm trên các đường thẳng song song.
Trong y học, để tán sỏi thận, người ta có thể dùng chùm tia laser phát ra từ một tiêu điểm
của gương elip để sau khi phản xạ sẽ hội tụ tại tiêu điểm còn lại cũng chính là vị trí sỏi.
Tháp giải nhiệt hình hypebol trong lò phản ứng hạt nhân (H.7.17c) hay trong nhà máy
nhiệt điện có kiến trúc đảm bảo độ vững chãi, tiết kiệm nguyên vật liệu và giúp quá trình
toả nhiệt được thuận lợi.

Bằng các quan sát và phân tích thiên văn, Johannes Kepler (1571-1630) đã đưa ra định
luật nói rằng, các hành tinh trong hệ Mặt Trời chuyển động theo các quỹ đạo là các đường
elip nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm.

Vận dụng 3

Dạng bài: Ứng dụng elip trong y học

Guương elip trong một máy tản
sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương
trình chính tắc $\frac{x^{2}}{400} + \frac{y^{2}}{76} = 1$ (theo đơn vị cm).
Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng
của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

Hình/bảng: Máy tán sỏi thận sử dụng gương elip. Đầu phát sóng tại một tiêu điểm, sỏi thận tại tiêu điểm còn lại.

Hình 7.33. Máy tán sỏi thận sử dụng gương elip. Đầu phát sóng tại một tiêu điểm, sỏi thận tại tiêu điểm còn lại.

Bài tập

7.19

Dạng bài: Tìm tiêu điểm, tiêu cự của elip

Cho elip có phương trình: $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{9} = 1.$ Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

7.20

Dạng bài: Tìm tiêu điểm, tiêu cự của hypebol

Cho hypebol có phương trình:
Tim tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.
$\frac{x^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

7.21

Dạng bài: Tìm tiêu điểm, đường chuẩn của parabol

Cho parabol có phương trình: $y^{2} = 8 x$ Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

7.22

Dạng bài: Lập phương trình elip

Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm $A (5; 0)$ và có một tiêu điểm là $F_{2} (3; 0)$ .

7.23

Dạng bài: Lập phương trình parabol

Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm
$M (2; 4) .$

7.24

Dạng bài: Ứng dụng hypebol trong định vị

Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một
thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thuỷ thu và đo
độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên,
ta có thể xác định được tàu thuỷ thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc
của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

7.25

Dạng bài: Lập phương trình parabol từ dữ kiện thực tế

Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc
cua là A, điểm cuối là B, khoảng cách $A B = 400$ m. Đỉnh parabol (P) của
khúc cua cách đường thẳng AB một khoảng 20 m và cách đều A, B (H.7.34).
a) Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ
độ tương ứng 1 m trên thực tế.
b) Lập phương trình chính tắc của (P), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ
độ tương ứng 1 km trên thực tế.

Hình/bảng: Hình vẽ mô tả một parabol là khúc cua, với điểm A và B trên parabol, khoảng cách AB = 400m. Đỉnh parabol cách đường thẳng AB 20m.

Hình 7.34. Hình vẽ mô tả một parabol là khúc cua, với điểm A và B trên parabol, khoảng cách AB = 400m. Đỉnh parabol cách đường thẳng AB 20m.

Em có biết?

Hệ thống định vị trên mặt đất LORAN (Long Range Navigation) được hoạt động dựa
trên nguyên li đo sự chênh lệch thời gian tiếp nhận tín hiệu và sử dụng tinh chất của
hypebol để xác định vị trí của nơi nhận tín hiệu. Ta có thể hình dung một tình huống đơn
giản như sau: Hai trạm phát sóng radio đặt tại hai vị trí xác định A, B, cùng lúc phát tín
hiệu và được một tàu thuỷ thu và đo độ lệch về thời gian tiếp nhận. Từ vận tốc truyền
sóng, có thể xác định được hiệu khoảng cách từ tàu thuỷ đến các vị trí A, B. Như vậy,

tàu thuỷ nằm trên một nhánh hypebol hoàn toàn xác định. Tương tự, nếu có trạm phát
sóng thứ ba C (hoặc một cặp trạm C, D), thì cặp trạm phát sóng A, C (hay C, D), cũng
cho phép ta xác định một nhánh hypebol đi qua vị trí tàu thuỷ. Do đó, vị trí tàu thuỷ được
xác định như là giao điểm của hai nhánh hypebol (H.7.35a).

Hình 7.35. Ba hình ảnh: a) Định vị bằng hypebol, b) Bài toán Apollonius với ba đường tròn tiếp xúc ngoài, c) Bài toán Apollonius với ba đường tròn bất kỳ.

Nền tảng toán học cho ứng dụng trên đã được biết đến từ hơn 2000 năm trước. Bài
toán xác định đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước đã được đặt ra và nghiên
cứu bởi Apollonius (khoảng 262-190, TCN). Trong Hình 7.35c, với ba đường tròn màu
đen cho trước, đôi một ngoài nhau, có tám đường tròn tiếp xúc với cả ba đường tròn đó
mà ta có thể đếm được trên hình vẽ. Nói chung, bài toán Apollonius có tám nghiệm hình,
tuy vậy, trong một số trường hợp đặc biệt, số nghiệm có thể khác. Trong Hình 7.35b,
với ba đường tròn đôi một tiếp xúc ngoài với nhau cho trước (ba hình tròn được tô cùng
màu), có hai đường tròn tiếp xúc với chúng. Gọi $r_{1}$ , $r_{2}$ $r_{3}$ là bán kính của ba đường
tròn cho trước trong Hình 7.35b và $, R (r < R)$ là bán kính của hai đường tròn nghiệm.
Năm 1643, trong một bức thư gửi công chúa Elisabeth $(1618 - 1680)$ , Descartes
(1596-1650) đã đưa ra các công thức sau, cho phép tính bán kính của các đường tròn
nghiệm theo các đường tròn đã cho
(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{3}}+\frac{1}{r})^{2}=2(\frac{1}{r_{1}^{2}}+\frac{1}{r_{2}^{2}}+\frac{1}{r_{3}^{2}}+\frac{1}{r_{2}^{2}})v\dot{a}(\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}}+\frac{1}{r_{3}}-\frac{1}{R})^{2}=2(\frac{1}{r_{1}^{2}}+\frac{1}{r_{2}^
Định lí của Descartes còn được phát hiện một cách độc lập bởi Steiner năm 1826,
Beecroft năm 1842, Soddy năm 1936. Soddy đã công bố phát hiện của mình trên tạp
chí Nature dưới dạng một bài thơ với tên "The Kiss Precise".
Các thông tin trên cũng được đề cập trong bài báo của Coxter trên tạp chí American
Mathematical Monthly, số 75, năm 1968.
Bài toán Apollonius còn được hiểu theo nghĩa rộng hơn, ở đó, ba đường cho trước có
thể là đường tròn, đường thẳng, hay điềm. Để một đường tròn tiếp xúc ngoài (tiếp xúc
trong) với hai đường tròn cho trước, thì tâm của nó phải thuộc một nhánh hypebol (hoặc
elip). Do đó việc xác định tâm của đường tròn nghiệm của bài toán Apollonius có thể
chuyển thành bài toán xác định giao của hai đường conic. Ta hoàn toàn có thể nhìn ra
mối liên hệ giữa bài toán Apollonius với Ví dụ 3, Vận dụng 2 trong Bài 22, cũng như bài
toán định vị trong hệ thống LORAN.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 10 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 48–57).