Bài 16. Hàm số bậc hai – Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Thuật ngữ: Hàm số bậc hai · Bảng giá trị · Parabol · Đỉnh · Trục đối xứng

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

Nhận biết hàm số bậc hai.
Thiết lập bảng giá trị của hàm số bậc hai.
Vẽ parabol (parabola) là đồ thị của hàm số bậc hai.
Nhận biết các yếu tố cơ bản của đường parabol như đỉnh,

trục đối xứng.

Nhận biết và giải thích các tính chất của hàm số bậc hai

thông qua đồ thị.

Vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai và đồ thị vào giải

quyết bài toán thực tiễn.

Bác Việt có một tấm lưới hình chữ nhật dài 20 m. Bác muốn
dùng tấm lưới này rào chắn ba mặt áp bên bờ tường của
khu vườn nhà mình thành một mảnh đất hình chữ nhật để
trồng rau.
Hỏi hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường bao xa
để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích lớn nhất?

1. Khái niệm hàm số bậc hai

HĐ1

HĐ1. Xét bài toán rào vườn ở tình huống mở đầu. Gọi x mét ( $0 < x < 10$ ) là khoảng cách từ
điểm cắm cọc đến bờ tường (H.6.8). Hãy tính theo x:
a) Độ dài cạnh PQ của mảnh đất.
b) Diện tích $S (x)$ của mảnh đất được rào chắn.
Ở đây ta tính được $S (x) = - 2 x^{2} + 20 x$ .
Đây là một hàm số cho bởi công thức và gọi là một hàm số bậc hai của biến số x.

Tổng quát, ta có

Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức
$y = a x^{2} + b x + c$ ,
trong đó x là biến số, a, b, c là các hằng số và $a \neq 0$ .
Tập xác định của hàm số bậc hai là $R$ .

✓ Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?
A. $y = x^{2} + 3 x^{2} + 2$ .
B. $y = \frac{1}{x^{2}}$ .
C. $y = - 3 x^{2} + 1$ .
D. $y = 3 {(\frac{1}{x})}^{2} + 3 \frac{1}{x} - 1$ .

Nhận xét

Nhận xét.
Hàm số $y = a x^{2}$ ( $a \neq 0$ ) đã học ở lớp 9 là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc hai với
$b = c = 0$ .

Ví dụ 1

Ví dụ 1. Xét hàm số bậc hai $y = - 2 x^{2} + 20 x$ . Thay dấu "?" bằng các số thích hợp để hoàn thành
bảng giá trị sau của hàm số.

$x$
0
2
4
5
6
8
10
$y$
?
?
?
?
?
?
?

Hình/bảng: Table showing x values and corresponding y values for $y = -2x^2 + 20x$. A small robot icon.

Lời giải

Giải
Thay các giá trị của x vào công thức hàm số, ta được:

$x$
0
2
4
5
6
8
10
$y$
0
32
48
50
48
32
0

Luyện tập 1

Luyện tập 1. Cho hàm số $y = (x – 1) (2 – 3 x)$ .
a) Hàm số đã cho có phải là hàm số bậc hai không? Nếu có, hãy xác định các hệ số a, b, c
của nó.
b) Thay dấu "?" bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số đã cho.

$x$
-2
-1
0
1
$y$
?
?
?
?

Vận dụng 1

Vận dụng 1. Một viên bị rơi tự do từ độ cao 19,6 m xuống mặt đất. Độ cao h (mét) so với mặt
đất của viên bị trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian t (giây) theo công thức: $h = 19, 6 – 4, 9 t^{2}$ ;
h, $t \geq 0$ .
a) Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi rơi viên bị chạm đất?
b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số h.

2. Đồ thị của hàm số bậc hai

Ở lớp 9, ta đã biết dạng đồ thị của hàm số
$y = a x^{2}$ ( $a \neq 0$ ) (H.6.9). Trong mục này
ta sẽ tìm hiểu đồ thị của hàm số bậc hai
$y = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq 0$ ).

HĐ2

HĐ2. Xét hàm số $y = S (x) = - 2 x^{2} + 20 x$ ( $0 < x < 10$ ).
a) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, biểu diễn toạ độ các điểm trong bảng giá trị của hàm số lập
được ở Ví dụ 1. Nối các điểm đã vẽ lại ta được dạng đồ thị hàm số $y = - 2 x^{2} + 20 x$ trên
khoảng $(0; 10)$ như trong Hình 6.10. Dạng đồ thị của hàm số $y = - 2 x^{2} + 20 x$ có giống với
đồ thị của hàm số $y = - 2 x^{2}$ hay không?

b) Quan sát dạng đồ thị của hàm số
$y = - 2 x^{2} + 20 x$ trong Hình 6.10, tìm toạ độ
điểm cao nhất của đồ thị.
c) Thực hiện phép biến đổi
$y = - 2 x^{2} + 20 x = - 2 (x^{2} - 10 x)$
$= - 2 (x^{2} - 2 \cdot 5 \cdot x + 25) + 50 = - 2 (x - 5)^{2} + 50$ .
Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh
đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của
bài toán ở phần mở đầu.

Hình/bảng: Figure 6.10: A parabola $y = -2x^2 + 20x$ opening downwards, with its vertex at $(5, 50)$ and x-intercepts at $(0,0)$ and $(10,0)$.

HĐ3

HĐ3. Tương tự HĐ2, ta có dạng đồ thị của một số hàm số bậc hai sau.

Hình/bảng: Two parabolas: one $y=x^2+2x+2$ opening upwards, vertex at $(-1,1)$; another $y=-2x^2-3x+1$ opening downwards, vertex at approximately $(-0.75, 2.125)$.

Từ các đồ thị hàm số trên, hãy hoàn thành bảng sau đây.

Tính chất của đồ thị
Hàm số
Hệ số a
Bề lõm của đồ thị
(Quay lên/Quay xuống)
Toạ độ điểm cao
nhất/điểm thấp nhất
Trục đối xứng
$y = x^{2} + 2 x + 2$
1
Quay lên
(-1; 1)
$x = - 1$
$y = - 2 x^{2} - 3 x + 1$
?
?
?
?

Tổng quát, ta có thể viết hàm số bậc hai $y = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq 0$ ) dưới dạng
$y = a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + 2 \frac{b}{2 a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}) + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a}$ : Với $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Ta thấy điểm $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ thuộc đồ thị hàm số bậc hai và là một điểm đặc biệt, nó đóng
vai trò như điểm $O (0; 0)$ của đồ thị hàm số $y = a x^{2}$ . Cụ thể:

Nếu $a > 0$ thì $y = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a} \geq - \frac{Δ}{4 a}$ với mọi x. Như vậy điểm $I$ là điểm thấp nhất

trên đồ thị.

Nếu $a < 0$ thì $y = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a} \leq - \frac{Δ}{4 a}$ với mọi x. Như vậy điểm $I$ là điểm cao nhất

trên đồ thị.
Gọi $(P_{0})$ là parabol $y = a x^{2}$ . Nếu ta "dịch chuyển" $(P_{0})$ theo vectơ $\vec{O I}$ thì ta sẽ thu được đồ thị
$(P)$ của hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ có dạng như Hình 6.11.

Nhận xét

Nhận xét. Đồ thị hàm số bậc hai $y = a x^{2} + b x + c$ là một parabol.

Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq 0$ ) là một đường parabol có đỉnh là điểm $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ ,

có trục đối xứng là đường thẳng $x = - \frac{b}{2 a}$ . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu $a > 0$ ,
xuống dưới nếu $a < 0$ .

Để vẽ đường parabol $y = a x^{2} + b x + c$ ta tiến hành theo các bước sau:

1. Xác định toạ độ đỉnh $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ ;
2. Vẽ trục đối xứng $x = - \frac{b}{2 a}$ ;
3. Xác định toạ độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một
vài điểm đặc biệt trên parabol;
4. Vẽ parabol.

Ví dụ 2

Ví dụ 2. a) Vẽ parabol $y = - 2 x^{2} - 2 x + 4$ .
b) Từ đồ thị, hãy tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị lớn
nhất của hàm số $y = - 2 x^{2} – 2 x + 4$ .

Hình/bảng: Figure 6.12: A parabola $y = -2x^2 - 2x + 4$ opening downwards, with vertex at $(-0.5, 4.5)$, y-intercept at $(0,4)$, and x-intercepts at $(-2,0)$ and $(1,0)$.

Lời giải

Giải
a) Ta có $a = - 2 < 0$ nên parabol quay bề lõm xuống dưới.
Đỉnh $I (- \frac{1}{2}; \frac{9}{2})$ . Trục đối xứng $x = - \frac{1}{2}$ . Giao điểm của đồ thị với
trục Oy là $A (0; 4)$ . Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành
độ là nghiệm của phương trình $- 2 x^{2} – 2 x + 4 = 0$ , tức là $x = 1$ và
$x = - 2$ (H.6.12).
Để vẽ đồ thị chính xác hơn, ta có thể lấy thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng
$x = - \frac{1}{2}$ là $B (- 1; 4)$ .
b) Từ đồ thị ta thấy:

Hàm số $y = - 2 x^{2} – 2 x + 4$ đồng biến trên $(- \infty; - \frac{1}{2}]$ , nghịch biến trên $[- \frac{1}{2}; + \infty)$ ;
Giá trị lớn nhất của hàm số là $y = \frac{9}{2}$ , khi $x = - \frac{1}{2}$ .

Luyện tập 2

Luyện tập 2. Vẽ parabol $y = 3 x^{2} - 10 x + 7$ . Từ đó tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị
nhỏ nhất của hàm số $y = 3 x^{2} – 10 x + 7$ .

Nhận xét

Nhận xét. Từ đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq 0$ ), ta suy ra tính chất của hàm số
$y = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq 0$ ):

Với $a > 0$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - \frac{b}{2 a}]$
Hàm số đồng biến trên khoảng $[- \frac{b}{2 a}; + \infty)$
$- \frac{Δ}{4 a}$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Với $a < 0$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - \frac{b}{2 a}]$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $[- \frac{b}{2 a}; + \infty)$
$- \frac{Δ}{4 a}$ là giá trị lớn nhất của hàm số.

Vận dụng 2

Vận dụng 2. Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành
phố Đà Nẵng để ngắm cầu vượt (H.6.13). Biết rằng trụ tháp cầu có dạng đường parabol,
khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng 27 m, chiều cao của trụ tháp tính từ điểm trên
mặt đất cách chân trụ tháp 2,26 m là 20 m.
Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao của đỉnh
trụ tháp cầu (so với mặt đất).
Hướng dẫn
Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho một chân trụ
tháp đặt tại gốc toạ độ, chân còn lại đặt trên
tia Ox. Khi đó trụ tháp là một phần của đồ thị
hàm số dạng $y = a x^{2} + b x$ .

Hình/bảng: Figure 6.13: A photo of a three-level bridge in Hue, Da Nang, with a parabolic arch.

Bài tập

6.7

6.7. Vẽ các đường parabol sau:
a) $y = x^{2} - 3 x + 2$ ;
b) $y = - 2 x^{2} + 2 x + 3$ ;
c) $y = x^{2} + 2 x + 1$ ;
d) $y = - x^{2} + x - 1$ .

6.8

6.8. Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch
biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng.

6.9

6.9. Xác định parabol $y = a x^{2} + b x + 1$ , trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua hai điểm $A (1; 0)$ và $B (2; 4)$ ;
b) Đi qua điểm $A (1; 0)$ và có trục đối xứng $x = 1$ ;
c) Có đỉnh $I (1; 2)$ ;
d) Đi qua điểm $A (- 1; 6)$ và có tung độ đỉnh $- 0, 25$ .

6.10

6.10. Xác định parabol $y = a x^{2} + b x + c$ , biết rằng parabol đó đi qua điểm $A (8; 0)$ và có đỉnh
là $I (6; - 12)$ .

6.11

6.11. Gọi $(P)$ là đồ thị hàm số bậc hai $y = a x^{2} + b x + c$ . Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt
thức $Δ$ , trong mỗi trường hợp sau:
a) $(P)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành;
b) $(P)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành;
c) $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành;
d) $(P)$ tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.

6.12

6.12. Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.
An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng
cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
(H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách
giữa hai chân cổng là 8 m và chiều cao của
cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân
cổng 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tớ tính ra được
chiều cao của cổng parabol đó là 12 m.
Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện
như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol
mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.
Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy
tính chiều cao của cổng Trường Đại học
Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An
tính được có chính xác không nhé!

Hình/bảng: Figure 6.14: A photo of a parabolic arch at Hanoi University of Science and Technology.

6.13

6.13. Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.
a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng x (mét) của nó.
b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có
thể rào được.

6.14

6.14. Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng
toạ độ Oxy là một parabol có phương trình $y = - \frac{3}{1000} x^{2} + x$ , trong đó x (mét) là khoảng

6.14

cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc O, y (mét) là độ cao của
vật so với mặt đất (H.6.15).
a) Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay.
b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O. Khoảng cách này
gọi là tầm xa của quỹ đạo.

Hình/bảng: Figure 6.15: A parabola $y = -\frac{3}{1000}x^2 + x$ representing the trajectory of a projectile, starting from the origin.

Em có biết?

Em có biết?
Một số mô hình toán học sử dụng hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai được sử dụng trong nhiều mô hình thực tế. Dưới đây ta xét một số mô hình đơn
giản thường gặp.

Phương trình chuyển động của vật chuyển động thẳng biến đổi đều

$y = x_{0} + v_{0} t + \frac{a t^{2}}{2}$ ,
trong đó $x_{0}$ là toạ độ ban đầu của vật, $v_{0}$ là vận tốc ban đầu của vật và $a$ là gia tốc của vật ( $a$ cùng
dấu với $v_{0}$ nếu vật chuyển động nhanh dần đều và ngược dấu với $v_{0}$ nếu vật chuyển động chậm
dần đều). Như vậy toạ độ $x (t)$ của vật là một hàm số bậc hai của thời gian $t$ .
Nói riêng, khi bỏ qua sức cản của không khí, nếu ném một vật lên trên theo phương thẳng đứng
thì chuyển động của vật sẽ chỉ chịu ảnh hưởng của trọng lực và vật sẽ có gia tốc bằng gia tốc
trọng trường. Khi đó độ cao (so với mặt đất) của vật tại thời điểm $t$ cho bởi phương trình
$y (t) = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ ,
trong đó $y_{0}$ (mét) là độ cao ban đầu của vật khi ném lên, $v_{0}$ (m/s) là vận tốc ban đầu của vật và $g$
là gia tốc trọng trường ( $g \approx 9, 8$ m/s²).
Đặc biệt, khi bỏ qua sức cản không khí, nếu một vật rơi tự do từ độ cao $y_{0}$ (mét) so với mặt đất
thì độ cao $y$ (mét) của nó tại thời điểm $t$ (giây) cho bởi công thức
$y (t) = h_{0} - \frac{1}{2} g t^{2}$ .

Phương trình chuyển động của vật ném xiên

Một vật được ném từ độ cao $h$ (mét) so với mặt đất, với vận tốc ban đầu $v_{0}$ (m/s) hợp với phương
ngang một góc $α$ . Khi đó quỹ đạo chuyển động của vật tuân theo phương trình
$y = - \frac{g}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} α} x^{2} + x \tan α + h$ ,
ở đó $x$ (mét) là khoảng cách vật bay được theo phương ngang tính từ mặt đất tại điểm ném,
$y$ (mét) là độ cao so với mặt đất của vật trong quá trình bay, $g$ là gia tốc trọng trường. Như vậy
quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên là một parabol.

Bài tập

6.7

Dạng bài: Vẽ parabol

Vẽ các đường parabol sau:
a) $y = x^{2} - 3 x + 2;$
c) $y = x^{2} + 2 x + 1$ ;
b) $y = - 2 x^{2} + 2 x + 3$
d) $y = - x^{2} + x - 1.$

6.8

Dạng bài: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến

Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng.

6.9

Dạng bài: Xác định parabol

Xác định parabol $y = a x^{2} + b x + 1$ , trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua hai điểm $A (1; 0)$ và $B (2; 4)$
b) Đi qua điểm $A (1; 0)$ và có trục đối xứng $x = 1$ ;
c) Có đỉnh $l (1; 2);$
d) Đi qua điểm $A (- 1; 6)$ và có tung độ đỉnh –0,25.

6.10

Dạng bài: Xác định parabol

Xác định parabol $y = a x^{2} + b x + c$ , biết rằng parabol đó đi qua điểm $A (8; 0)$ và có đỉnh là $1 (6; - 12)$ .

6.11

Dạng bài: Xác định dấu hệ số a và biệt thức

Gọi (P) là đồ thị hàm số bậc hai $y = a x^{2} + b x + c .$ Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt thức $Δ$ , trong mỗi trường hợp sau:
a) (P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành;
b) (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành;
c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đình nằm phía dưới trục hoành;
d) (P) tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.

6.12

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.
An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân công là 8 m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12 m.
Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.
Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!

Hình/bảng: Hình 6.14. Cổng parabol của trường Đại học Bách khoa Hà Nội

6.13

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.
a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng x (mét) của nó.
b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.

6.14

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng toạ độ Oxy là một parabol có phương trình $y = \frac{- 3}{1000} x^{2} + x,$ trong đó x (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc O, y (mét) là độ cao của vật so với mặt đất (H.6.15).
a) Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay.
b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O. Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo.

Hình/bảng: Hình 6.15. Đồ thị parabol $y=\frac{-3}{1000}x^{2}+x$ với trục x và y, gốc O

Em có biết?

Một số mô hình toán học sử dụng hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai được sử dụng trong nhiều mô hình thực tế. Dưới đây ta xét một số mô hình đơn giản thường gặp.
Phương trình chuyển động của vật chuyển động thẳng biến đổi đều
$y = x_{0} + v_{0} t + \frac{a t^{2}}{2},$
trong đó $x_{0}$ là toạ độ ban đầu của vật, $v_{0}$ là vận tốc ban đầu của vật và a là gia tốc của vật (a cùng dấu với $v_{0}$ nếu vật chuyển động nhanh dần đều và ngược dấu với $v_{0}$ nếu vật chuyển động chậm dần đều). Như vậy toạ độ $x (t)$ của vật là một hàm số bậc hai của thời gian t.
Nói riêng, khi bỏ qua sức cản của không khí, nếu ném một vật lên trên theo phương thẳng đứng thì chuyển động của vật sẽ chỉ chịu ảnh hưởng của trọng lực và vật sẽ có gia tốc bằng gia tốc trọng trường. Khi đó độ cao (so với mặt đất) của vật tại thời điểm t cho bởi phương trình
$y (t) = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$
trong đó $y_{0}$ (mét) là độ cao ban đầu của vật khi ném lên, $v_{0} (m / s)$ là vận tốc ban đầu của vật và g là gia tốc trọng trường $(g \approx 9.8 m / s^{2})$ .
Đặc biệt, khi bỏ qua sức cản không khí, nếu một vật rơi tự do từ độ cao $y_{0}$ (mét) so với mặt đất thì độ cao y (mét) của nó tại thời điểm t (giây) cho bởi công thức
$y (t) = h_{0} - \frac{1}{2} g t^{2} .$
Phương trình chuyển động của vật ném xiên
Một vật được ném từ độ cao $h (m \dot{e} t)$ so với mặt đất, với vận tốc ban đầu $v_{0} (m / s)$ hợp với phương ngang một góc $α$ . Khi đó quỹ đạo chuyển động của vật tuân theo phương trình
$y = \frac{- g}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} α} x^{2} + x t a n α + h,$
ở đó x (mét) là khoảng cách vật bay được theo phương ngang tính từ mặt đất tại điểm ném, y (mét) là độ cao so với mặt đất của vật trong quá trình bay, g là gia tốc trọng trường. Như vậy quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên là một parabol.

Tương tự, đường đi của quả bóng khi được cầu thủ đá lên không trung, quỹ đạo của viên đạn pháo khi bắn ra khỏi nòng pháo, tia lửa hàn, hạt nước bắn lên từ đài phun nước,... đều có dạng đường parabol (H.6.16).

Hình 6.16. Hình 6.16. Ba hình ảnh minh họa đường parabol: Tường chắn, Cầu thủ sút quả bóng, Đài phun nước ở Hồ Gươm, Tia lửa hàn

Doanh thu bán hàng

Trong kinh tế, doanh thu bán hàng là số tiền nhận được khi bán một mặt hàng. Doanh thu R bằng đơn giá x của mặt hàng (tức là giá bán của một sản phẩm) nhân với số lượng n sản phẩm đã bán được, tức là
$R = x \cdot n .$
Định luật nhu cầu khẳng định rằng giữa x và n có mối liên hệ với nhau: Khi cái này tăng thì cái kia sẽ giảm. Phương trình liên hệ giữa x và n gọi là phương trình nhu cầu. Nếu phương trình nhu cầu là liên hệ bậc nhất, tức là $n = a - b x$ (a, b là những hằng số dương) thì doanh thu bán hàng sẽ là hàm số bậc hai của đơn giá
$R (x) = x n = x (a - b x) = a x - b x^{2}$
Khi đó người ta thường quan tâm đến việc tìm giá bán x đề doanh thu đạt cực đại, hoặc tìm giá bán x đề doanh thu vượt một mức nào đó.

Kết nối tri thức với cuộc sống

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 10 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 11–18).