Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

Yêu cầu cần đạt

Giải thích Định lí về dấu của tam thức bậc hai từ việc quan sát đồ thị của hàm bậc hai.
Giải bất phương trình bậc hai.
Vận dụng bất phương trình bậc hai vào giải quyết bài toán thực tiễn.

Thuật ngữ: Tam thức bậc hai · Dấu của tam thức bậc hai · Bất phương trình bậc hai

Xét bài toán rào vườn ở Bài 16, nhưng ta trả lời câu hỏi: Hai cột góc hàng rào (H.6.8) cần phải cắm cách bờ tường bao nhiêu mét đề mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m²?

HĐ1

Hãy chỉ ra một đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:
$A = 0, 5 x^{2}$ ;
$B = 1 - x^{2};$
$C = x^{2} + x + 1;$
$D = (1 - x) (2 x + 1)$ .

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ trong đó a, b, c là những số thực cho trước (với $a \neq 0$ ), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.

Kết nối tri thức

Người ta thường viết $f (x) = a x^{2} + b x + c .$ Các đa thức đã cho trong HĐ1 là những tam thức bậc hai. Ở đa thức A, ta có $a = 0, 5;$ $b = 0;$ $c = 0.$

Luyện tập 1

Dạng bài: Nhận diện tam thức bậc hai

Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai.
$A = 3 x + 2 \sqrt{x} + 1;$
$B = - 5 x^{4} + 3 x^{2} + 4;$
$C = - \frac{2}{3} x^{2} + 7 x - 4$
$D = (\frac{1}{x})^{2} + 2 \frac{1}{x} + 3.$

Chú ý

Nghiệm của phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0$ cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $a x^{2} + b x + c$ .
$Δ = b^{2},$ 4ac và $Δ^{'} = b^{2} - a c$ , với $b = 2 b^{'}$ tương ứng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $a x^{2} + b x + c$

HĐ2

Cho hàm số bậc hai $y = f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ .
a) Xác định hệ số a. Tinh $f (0)$ $f (1)$ , $f (2)$ $f (3)$ , $f (4)$ và nhận xét về dấu của chúng so với dẫu của hệ số a.
b) Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ (H.6.17). Xét trên từng khoảng (-00; 1), (1; 3), $(3; + \infty),$ đồ thị nằm phía trên hay nằm phía dưới trục Ox?
c) Nhận xét về dấu của $f (x)$ và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Hình/bảng: Hình 6.17. Đồ thị parabol $y=x^2-4x+3$ cắt trục Ox tại x=1 và x=3, đỉnh tại x=2

HĐ3

Cho đồ thị hàm số $y = g (x) = - 2 x^{2} + x + 3$ như Hình 6.18.
a) Xét trên từng khoảng $(- \infty, - 1),$ -1; $\frac{3}{2}$ , $(\frac{3}{2}; + \infty)$ , đồ thị nằm phía trên trục Ox hay nằm phía dưới trục Ox?
b) Nhận xét về dấu của $g (x)$ và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Hình/bảng: Hình 6.18. Đồ thị parabol $y=-2x^2+x+3$ cắt trục Ox tại x=-1 và x=3/2, đỉnh tại x=1/4

Nhận xét

Từ HĐ2 và HĐ3 ta thấy, nếu tam thức bậc hai $f (x) = a x^{2} + b x + c$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$ , $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ thì $f (x)$ luôn cùng dấu với hệ số a với mọi giá trị $x \in (- \infty; x_{1}) \cup (x_{2}; + \infty)$ (ở ngoài đoạn hai nghiệm) và trái dấu với a với mọi giá trị $X \in (X_{j}; X_{2})$ (ở trong khoảng hai nghiệm).

HĐ4

Nêu nội dung thay vào ô có dấu "?" trong bảng sau cho thích hợp.

Trường hợp $a > 0$

\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline
\Delta & \Delta\le0 & \Delta=0 & \Delta>0 \\
\hline
Dạng đồ thị & \text{Đồ thị parabol mở lên, không cắt trục Ox} & \text{Đồ thị parabol mở lên, tiếp xúc trục Ox tại một điểm} & \text{Đồ thị parabol mở lên, cắt trục Ox tại hai điểm} \\
\hline
Vị trí của đồ thị so với trục Ox & \text{Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục Ox.} & \text{Đồ thị nằm phía trên trục Ox và tiếp xúc với trục Ox tại điểm có hoành độ } x=-\frac{b}{2a} & \text{Đồ thị nằm phía trên trục Ox khi } x<x_{1} \text{ hoặc } x>x_{2}. \text{ Đồ thị nằm phía dưới trục Ox khi } X_{1}<x<x_{2}. \\
\hline
\end{array}

Trường hợp $a < 0$

\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline
\Delta & \Delta<0 & \Delta=0 & \Delta>0 \\
\hline
Dạng đồ thị & \text{Đồ thị parabol mở xuống, không cắt trục Ox} & \text{Đồ thị parabol mở xuống, tiếp xúc trục Ox tại một điểm} & \text{Đồ thị parabol mở xuống, cắt trục Ox tại hai điểm} \\
\hline
Vị trí của đồ thị so với trục Ox & \text{Đồ thị nằm hoàn toàn phía dưới trục Ox.} & \text{Đồ thị nằm phía dưới trục Ox và tiếp xúc với trục Ox tại điểm có hoành độ } x=-\frac{b}{2a} & \text{Đồ thị nằm phía dưới trục Ox khi } x<x_{1} \text{ hoặc } x>x_{2}. \text{ Đồ thị nằm phía trên trục Ox khi } X_{1}<x<x_{2}. \\
\hline
\end{array}

Mối quan hệ giữa dấu của tam thức bậc hai $a x^{2} + b x + c$ với dấu của hệ số a trong từng trường hợp của $Δ$ được phát biểu trong Định lí về dấu tam thức bậc hai sau đây.

Cho tam thức bậc hai $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ .
. Nếu $Δ < 0$ thì $f (x)$ cùng dấu với hệ số a với mọi $x \in R$
. Nếu $Δ = 0$ thì $f (x)$ cùng dấu với hệ số a với mọi $x \neq - \frac{b}{2 a}$ và $f (- \frac{b}{2 a}) = 0.$
. Nếu $Δ > 0$ thì tam thức $f (x)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$ và $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ . Khi đó, $f (x)$ cùng dấu với hệ số a với mọi $x \in (- \infty; x_{1}) \cup (x_{2}; + \infty);$ f(x) trái dấu với hệ số a với mọi $X \in (x_{1}; x_{2})$ .

Chú ý

Trong Định lí về dấu tam thức bậc hai có thể thay $Δ$ bởi $Δ^{'}$ .

Ví dụ 1

Dạng bài: Xét dấu tam thức bậc hai

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) $x^{2} + x + 1$
b) $- \frac{3}{2} x^{2} + 9 x - \frac{27}{2}$
c) $2 x^{2} + 6 x - 8$

Lời giải

Giải
a) $f (x) = x^{2} + x + 1$ có $Δ = - 3 < 0$ và $a = 1 > 0$ nên $f (x) > 0$ với mọi $x \in R$
b) $g (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + 9 x - \frac{27}{2}$ có $Δ = 0$ và $a = - \frac{3}{2} < 0$ nên $g (x)$ có nghiệm kép $x = 3$ và $g (x) < 0$ với mọi $x \neq 3$ .
c) Dễ thấy $h (x) = 2 x^{2} + 6 x - 8$ có $Δ^{'} = 25 > 0$ , $a = 2 > 0$ và có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = - 4;$ $x_{2} = 1$ . Do đó ta có bảng xét dấu $h (x)$ :
\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & -\infty & & -4 & & 1 & & +\infty \\
\hline
h(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
\end{array}
Suy ra $h (x) > 0$ với mọi $x \in (- \infty; - 4) \cup (1; + \infty)$ và $h (x) < 0$ với mọi $x \in (- 4; 1) .$

Luyện tập 2

Dạng bài: Xét dấu tam thức bậc hai

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) $- 3 x^{2} + x - \sqrt{2};$
b) $x^{2} + 8 x + 16$ ;
c) $- 2 x^{2} + 7 x - 3$

2. Bất phương trình bậc hai

HĐ5

Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 $m^{2}$ , hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích $S (x) = - 2 x^{2} + 20 x$ với 48.
Từ HĐ5, ta có $2 x^{2} - 20 x + 48 \leq 0.$ (1)
Đây là một bất phương trình bậc hai.
Tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng $a x^{2} + b x + c > 0$ (hoặc $a x^{2} + b x + c \geq 0$ , $a x^{2} + b x + c < 0$ , $a x^{2} + b x + c \leq 0)$ , trong đó a, b, c là những số thực đã cho và $a \neq 0$
Số thực $x_{0}$ gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c > 0$ , nếu $a x_{0}^{2} + b x_{0} + c > 0$ Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c > 0$ gọi là tập nghiệm của bất phương trình này.
Giải bất phương trình bậc hai $f (x) = a x^{2} + b x + c > 0$ là tìm tập nghiệm của nó, tức là tìm các khoảng mà trong đó $f (x)$ cùng dấu với hệ số a (nếu $a > 0$ ) hay trái dấu với hệ số a (nếu $a < 0$ ).

Nhận xét

Để giải bất phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c > 0$ (hoặc $a x^{2} + b x + c \geq 0$ , $a x^{2} + b x + c < 0$ , $a x^{2} + b x + c \leq 0)$ ta cần xét dấu tam thức $a x^{2} + b x + c$ từ đó suy ra tập nghiệm.

Ví dụ 2

Dạng bài: Giải bất phương trình bậc hai

Giải các bất phương trình sau:
a) $3 x^{2} + x + 5 \leq 0$ ; b) $- 3 x^{2} + 2 \sqrt{3} x - 1 \geq 0$
c) $- x^{2} + 2 x + 1 > 0$ .

Lời giải

Giải
a) Tam thức $f (x) = 3 x^{2} + x + 5$ có $Δ = - 59 < 0$ hệ số $a = 3 > 0$ nên $f (x)$ luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là $3 x^{2} + 5 x + 5 > 0$ với mọi $x \in R$ Suy ra bất phương trình vô nghiệm.
b) Tam thức $f (x) = - 3 x^{2} + 2 \sqrt{3} x - 1 c \hat{0} Δ^{'} = l$ 0, hệ số $a = - 3 < 0$ nên $f (x)$ luôn âm (cùng dấu với a) với mọi $x \neq \frac{\sqrt{3}}{3}$ , tức là $- 3 x^{2} + 2 \sqrt{3} x - 1 < 0$ với mọi $x \neq \frac{\sqrt{3}}{3}$
Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$
c) Tam thức $f (x) = - x^{2} + 2 x + 1$ có $Δ^{'} = 2 > 0$ nên $f (x)$ có hai nghiệm $x_{1} = 1 - \sqrt{2}$ và $x_{2} = 1 + \sqrt{2} .$
Mặt khác $a = - 1 < 0,$ do đó ta có bảng xét dấu sau:
\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & -\infty & & 1-\sqrt{2} & & 1+\sqrt{2} & & +\infty \\
\hline
f(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
\end{array}
Tập nghiệm của bất phương trình là $S = (1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$ .

Ví dụ 3

Dạng bài: Giải bất phương trình bậc hai và ứng dụng

Giải bất phương trình (1), từ đó suy ra lời giải cho bài toán rào vườn ở tình huống mở đầu.

Lời giải

Giải
Tam thức bậc hai $f (x) = 2 x^{2} - 20 x + 48$ có hai nghiệm $x_{1} = 4;$ $x_{2} = 6$ và hệ số $a = 2 > 0$ Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình (1) là đoạn [4; 6]. Như vậy khoảng cách từ điểm cắm cột đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 4 m và nhỏ hơn hoặc bằng 6 m thì mảnh đất rào chắn của bác Việt sẽ có diện tích không nhỏ hơn $48 m^{2} .$

Luyện tập 3

Dạng bài: Giải bất phương trình bậc hai

Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) $- 5 x^{2} + x - 1 \leq 0;$
b) $x^{2} - 8 x + 16 \leq 0;$
c) $x^{2} - x + 6 > 0$

Vận dụng

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai $h (t) = - 4, 9 t^{2} + 20 t + 1,$ ở đó độ cao $h (t)$ tính bằng mét và thời gian t tỉnh bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5 m so với mặt đất?

Tìm hiểu thêm

Ta có thể dùng máy tính cầm tay đề giải bất phương trình bậc hai. Sau khi mở máy, ta bấm liên tiếp các phím sau đây:
Mode $↓$ 1 1
Sau đó chọn một trong bốn dạng bất phương trình bậc hai rồi nhập các hệ số a, b, c, từ đó nhận được nghiệm.
Ví dụ đề giải bất phương trình: $2 x^{2} - 3 x - 6 \leq 0$ ta bấm tổ hợp phím
Mode $↓$ 1 1 4 2 = -3 = -6 = =
Màn hình máy tính hiển thị: $\frac{3 - \sqrt{57}}{4} \leq x \leq \frac{3 + \sqrt{57}}{4}$
Tập nghiệm của bất phương trình là $[\frac{3 - \sqrt{57}}{4}; \frac{3 + \sqrt{57}}{4}]$

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 10 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 19–23).