Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc…

Yêu cầu cần đạt

Giải một số phương trình chứa căn bậc hai đơn giản có thể quy về phương trình bậc hai.

Thuật ngữ: Phương trình chứa căn thức

Trong bài này chúng ta sẽ giải các phương trình chứa căn thức thường gặp có dạng $\sqrt{a x^{2} + b x + c} = \sqrt{d x^{2} + e x + f}$ và $\sqrt{a x^{2} + b x + c} = d x + e .$

1. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}$

HĐ1

Cho phương trình $\sqrt{x^{2} - 3 x + 2} = \sqrt{- x^{2} - 2 x + 2}$ .
a) Bình phương hai về phương trình đề khử căn và giải phương trình bậc hai nhận được.
b) Thử lại các giá trị x tìm được ở câu a có thoả mãn phương trình đã cho hay không.

Để giải phương trình $\sqrt{a x^{2} + b x + c} = \sqrt{d x^{2} + e x + f}$ , ta thực hiện như sau:
Bình phương hai về và giải phương trình nhận được;
Thử lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ 3

Dạng bài: Giải phương trình chứa căn

Giải phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 4 x - 2} = \sqrt{x^{2} - x - 2}$

Lời giải

Giải
Bình phương hai vế của phương trình, ta được
$2 x^{2} - 4 x - 2 = x^{2} - x - 2$ .
Sau khi thu gọn ta được $x^{2} - 3 x = 0$ Từ đó $x = 0$ hoặc $x = 3$
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x = 3$ thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 3$ .

Luyện tập 1

Dạng bài: Giải phương trình chứa căn

Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{3 x^{2} - 6 x + 1} = \sqrt{- 2 x^{2} - 9 x + 1};$
b) $\sqrt{2 x^{2} - 3 x - 5} = \sqrt{x^{2} - 7} .$

2. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $\sqrt{ax^{2}+bx+c}=dx+e.$

HĐ2

Cho phương trình $\sqrt{26 x^{2} - 63 x + 38} = 5 x - 6$
a) Bình phương hai về và giải phương trình nhận được.
b) Thử lại các giá trị x tìm được ở câu a có thoả mãn phương trình đã cho hay không.

Để giải phương trình $\sqrt{a x^{2} + b x + c} = d x + e$ , ta thực hiện như sau:
Bình phương hai về và giải phương trình nhận được;
Thử lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ 2

Dạng bài: Giải phương trình chứa căn

Giải phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 5 x - 9} = x - 1$ .

Lời giải

Giải
Bình phương hai vế của phương trình ta được
$2 x^{2} - 5 x - 9 = x^{2} - 2 x + 1.$
Sau khi thu gọn ta được $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ Từ đó $x = - 2$ hoặc $x = 5$
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x = 5$ thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 5$

Luyện tập 2

Dạng bài: Giải phương trình chứa căn

Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{2 x^{2} + x + 3} = 1 - x;$
b) $\sqrt{3 x^{2} - 13 x + 14} = x - 3$

Vận dụng

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Bác Việt sống và làm việc tại trạm hải đăng cách bờ biển 4 km. Hằng tuần bác chèo thuyền vào vị trí gần nhất trên bờ biển là bến Bính để nhận hàng hoá do cơ quan cung cấp. Tuần này, do trục trặc về vận chuyển nên toàn bộ số hàng vẫn đang nằm ở thôn Hoành, bên bờ biển cách bến Bính 9,25 km và sẽ được anh Nam vận chuyển trên con đường dọc bờ biển tới bến Bính bằng xe kéo. Bác Việt đã gọi điện thống nhất với anh Nam là họ sẽ gặp nhau ở vị trí nào đó giữa bến Bính và thôn Hoành để hai người có mặt tại đó cùng lúc, không mất thời gian chờ nhau. Tìm vị trí hai người dự định gặp nhau, biết rằng vận tốc kéo xe của anh Nam là $5 k m / h$ và thuyền của bác Việt di chuyển với vận tốc $4 k m / h$ Ngoài ra giả thiết rằng đường bờ biển từ thôn Hoành đến bến Bính là đường thẳng và bác Việt cũng luôn chèo thuyền tới một điểm trên bờ biển theo một đường thẳng.

Hướng dẫn

Ta mô hình hoá bài toán như trong Hình 6.20: Trạm hải đăng ở vị trí A; bến Bình ở B và thôn Hoành ở C. Giả sử bác Việt chèo thuyền cập bến ở vị trí M và ta đặt $B M = x (x > 0)$ . Đề hai người không phải chờ nhau thì thời gian chèo thuyền bằng thời gian kéo xe nên ta có phương trình:
$\frac{\sqrt{x^{2} + 16}}{4} = \frac{9, 25 - x}{5}$
Giải phương trình này sẽ tìm được vị trí hai người dự định gặp nhau.

Bài tập

6.20

Dạng bài: Giải phương trình chứa căn

Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{3 x^{2} - 4 x - 1} = \sqrt{2 x^{2} - 4 x + 3};$
c) $\sqrt{2 x^{2} + 3 x - 3} = \sqrt{- x^{2} - x + 1};$
b) $\sqrt{x^{2} + 2 x - 3} = \sqrt{- 2 x^{2} + 5}$
d) $\sqrt{- x^{2} + 5 x - 4} = \sqrt{- 2 x^{2} + 4 x + 2} .$

6.21

Dạng bài: Giải phương trình chứa căn

Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{6 x^{2} + 13 x + 13} = 2 x + 4;$
c) $\sqrt{3 x^{2} - 17 x + 23} = x - 3;$
b) $\sqrt{2 x^{2} + 5 x + 3} = - 3 - x;$
d) $\sqrt{- x^{2} + 2 x + 4} = x - 2$ .

6.22

Dạng bài: Giải bài toán hình học

Cho tứ giác ABCD có $A B ⊥ C D;$ $A B = 2$ $B C = 13;$ $C D = 8$ ; $D A = 5$ (H.6.21). Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt $X = A H .$ Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD.

Hình/bảng: Hình 6.21. Tứ giác ABCD với AB song song CD, H là giao điểm của AD và BC kéo dài. Các cạnh AB=2, BC=13, CD=8, DA=5. AH=x.

6.23

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Mình đứng tại vị trí A cách lề đường một khoảng 50 m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm B, cách mình một đoạn 200 m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là 5 km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là 15 km/h. Hãy xác định vị trí C trên lề đường (H.6.22) đề hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hình/bảng: Hình 6.22. Sơ đồ vị trí Hùng, Minh và điểm gặp C. Minh ở A cách lề đường 50m. Hùng ở B cách A 200m trên lề đường. C là điểm gặp trên lề đường.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 10 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 25–27).