Bài 15. Hàm số – Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Thuật ngữ: Tập xác định · Tập giá trị · Đồ thị của hàm số · Hàm số đồng biến · Hàm số nghịch biến

Chương VI hàm số, đồ thị và ứng dụng

Chương này hệ thống hoá các khái niệm cơ bản về hàm số và đồ thị của hàm số đã được học ở các lớp dưới; cách vẽ đồ thị của hàm số bậc hai, xét dấu của tam thức bậc hai và vận dụng để giải bất phương trình bậc hai, bài toán thực tiễn. Ta cũng xét các phương trình chứa căn thức đơn giản có thể quy về phương trình bậc hai.

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

Nhận biết những mô hình dẫn đến khái niệm hàm số.
Chỉ ra các khái niệm cơ bản về hàm số: định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, đồ thị của hàm số.
Mô tả dạng đồ thị của hàm số đồng biến, nghịch biến.
Vận dụng kiến thức của hàm số vào giải quyết một số bài toán thực tiễn.

Quan sát hoạt động tiền điện ở hình bên. Hãy cho biết tổng lượng điện tiêu thụ trong tháng và số tiền phải trả (chưa tính thuế giá trị gia tăng).
Có cách nào mô tả sự phụ thuộc của số tiền phải trả vào tổng lượng điện tiêu thụ hay không?

Hình/bảng: A table showing electricity consumption and corresponding cost, and a graph of electricity cost vs consumption.

1. Khái niệm hàm số

HĐ1

HĐ1. Bảng 6.1 cho biết nồng độ bụi PM 2.5 trong không khí theo thời gian trong ngày
25-3-2021 tại một trạm quan trắc ở Thủ đô Hà Nội:

Thời điểm (giờ)
0
4
8
12
16
Nồng độ bụi PM
2.5 (µg/m³)
74,27
64,58
57,9
69,07
81,78

Bảng 6.1 (Theo moitruongthudo.vn)
a) Hãy cho biết nồng độ bụi PM 2.5 tại mỗi thời điểm 8 giờ,
12 giờ, 16 giờ.
b) Trong Bảng 6.1, mỗi thời điểm tương ứng với bao nhiêu
giá trị của nồng độ bụi PM 2.5?

Hình/bảng: Table 6.1 showing PM 2.5 concentration at different times. A small image of a girl explaining PM 2.5.

Bụi PM 2.5 là hạt bụi mịn
có đường kính nhỏ hơn 2,5
micrômét, gây tác hại cho
sức khoẻ.

HĐ2

HĐ2. Quan sát Hình 6.1.
a) Thời gian theo dõi mực nước biển ở
Trường Sa được thể hiện trong hình
từ năm nào đến năm nào?
b) Trong khoảng thời gian đó, năm
nào mực nước biển trung bình tại
Trường Sa cao nhất, thấp nhất?

Hình/bảng: Figure 6.1: A line graph titled 'MỰC NƯỚC BIỂN TRUNG BÌNH TẠI TRƯỜNG SA (mm)' showing sea level from 2013 to 2019.

HĐ3

HĐ3. Tính tiền điện
a) Dựa vào Bảng 6.2 về giá bán lẻ điện
sinh hoạt, hãy tính số tiền phải trả
ứng với mỗi lượng điện tiêu thụ ở
Bảng 6.3:

Mức điện tiêu thụ
Giá bán điện
(đồng/kWh)
Bậc 1 (từ 0 đến 50 kWh)
1 678
Bậc 2 (từ trên 50 đến 100 kWh)
1 734
Bậc 3 (từ trên 100 đến 200 kWh)
2 014
Bậc 4 (từ trên 200 đến 300 kWh)
2 536
Bậc 5 (từ trên 300 đến 400 kWh)
2 834
Bậc 6 (từ trên 400 kWh trở lên)
2 927

Bảng 6.2
(Theo Tập đoàn Điện lực Việt Nam ngày 20-3-2019)

Lượng điện
tiêu thụ (kWh)
50
100
200
Số tiền
(nghìn đồng)
?
?
?

Bảng 6.3
b) Gọi x là lượng điện tiêu thụ (đơn vị
kWh) và y là số tiền phải trả tương
ứng (đơn vị nghìn đồng). Hãy viết
công thức mô tả sự phụ thuộc của y
vào x khi $0 \leq x \leq 50$ .

Hình/bảng: Table 6.2 showing electricity prices per kWh for different consumption tiers. Table 6.3 with blank spaces for calculating electricity cost. A small image of a boy explaining kWh.

kWh hay kW.h (kilôoát giờ, còn gọi là số điện) là
đơn vị để đo lượng điện tiêu thụ. Ví dụ, một chiếc
bàn là công suất 2 kW, nếu sử dụng liên tục trong
1 giờ sẽ tiêu thụ lượng điện là 2 kWh.

Trong HĐ1, nếu gọi x là thời điểm và y là nồng độ bụi PM 2.5
thì với mỗi giá trị của x, xác định được chỉ một giá trị tương
ứng của y. Ta tìm thấy mối quan hệ phụ thuộc tương tự giữa
các đại lượng trong HĐ2, HĐ3.
Giả sử có đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x,
trong đó x nhận giá trị thuộc tập hợp số D.

Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập hợp số D có một và chỉ một
giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số.
Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.
Tập hợp D gọi là tập xác định của hàm số.
Tập tất cả các giá trị y nhận được, gọi là tập giá trị của hàm số.

Ví dụ 1

Ví dụ 1. Trong HĐ1, nếu gọi x là thời điểm, y là nồng độ bụi PM 2.5 thì x là biến số và y là hàm
số của x. Đó là hàm số được cho bằng bảng.
Tập xác định của hàm số là $D = {0; 4; 8; 12; 16}$ .
Tập giá trị của hàm số là ${74, 27; 64, 58; 57, 9; 69, 07; 81, 78}$ .

Ví dụ 2

Ví dụ 2. Viết hàm số mô tả sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian của một
vật chuyển động thẳng đều với vận tốc 2 m/s. Tìm tập xác định của hàm số đó. Tính quãng
đường vật đi được sau 5 s, 10 s.

Lời giải

Giải
Một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc $v = 2$ m/s thì quãng đường đi được $S$ (mét) phụ
thuộc vào thời gian $t$ (giây) theo công thức $S = 2 t$ , trong đó $t$ là biến số, $S = S (t)$ là hàm số của $t$ .
Tập xác định của hàm số là $D = [0; + \infty)$ .
Quãng đường vật đi được sau 5 s là: $S_{1} = S (5) = 2.5 = 10$ (m).
Quãng đường vật đi được sau 10 s là: $S_{2} = S (10) = 2.10 = 20$ (m).

Chú ý

Chú ý. Khi cho hàm số bằng công thức $y = f (x)$ mà không chỉ rõ tập xác định của nó thì ta quy
ước tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức $f (x)$ có nghĩa.

Ví dụ 3

Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y = \sqrt{2 x - 4}$ ;
b) $y = \frac{1}{x - 1}$

Lời giải

Giải
a) Biểu thức $\sqrt{2 x - 4}$ có nghĩa khi $2 x - 4 \geq 0$ , tức là khi $x \geq 2$ .
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = [2; + \infty)$ .
b) Biểu thức $\frac{1}{x - 1}$ có nghĩa khi $x - 1 \neq 0$ , tức là khi $x \neq 1$ .
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = R ∖ {1}$ .

Luyện tập 1

Luyện tập 1. a) Hãy cho biết Bảng 6.4 có cho ta một hàm số hay không. Nếu có, tìm tập xác
định và tập giá trị của hàm số đó.

Thời điểm (năm)
2013
2014
2015
2016
2017
2018
Tuổi thọ trung bình của người Việt Nam (tuổi)
73,1
73,2
73,3
73,4
73,5
73,5

Bảng 6.4 (Theo Tổng cục Thống kê)
b) Trở lại HĐ2, ta có hàm số cho bằng biểu đồ. Hãy cho biết giá trị của hàm số tại
$x = 2018$ . Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số đó.
c) Cho hàm số $y = f (x) = - 2 x^{2}$ . Tính $f (1)$ ; $f (2)$ và tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số này.

Hình/bảng: Table 6.4 showing average life expectancy in Vietnam from 2013 to 2018.

Nhận xét

Nhận xét. Một hàm số có thể được cho bằng bảng, bằng biểu đồ, bằng công thức hoặc bằng
mô tả.

2. Đồ thị của hàm số

HĐ4

HĐ4. Quan sát Hình 6.2 và cho biết những điểm nào sau đây nằm trên đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2}$ :
$(0; 0), (2; 2), (- 2; 2), (1; 2), (- 1; 2)$ .
Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa hoành độ và tung độ
của những điểm nằm trên đồ thị.

Hình/bảng: Figure 6.2: A parabola $y = \frac{1}{2}x^2$ with points $(0,0), (2,2), (-2,2)$ marked.

Đồ thị của hàm số $y = f (x)$ xác định trên tập $D$ là tập hợp
tất cả các điểm $M (x; f (x))$ trên mặt phẳng toạ độ với mọi $x$
thuộc $D$ .

Ví dụ 4

Ví dụ 4. Viết công thức của hàm số cho ở HĐ3b. Tìm tập xác
định, tập giá trị và vẽ đồ thị của hàm số này.

Hình/bảng: Figure 6.3: A line graph showing $y = 1.678x$ for $0 \le x \le 50$, with points $(0,0)$ and $(50, 83.9)$ marked.

Lời giải

Giải
Công thức của hàm số cho ở HĐ3b là $y = 1, 678 x$ với
$0 \leq x \leq 50$ .
Tập xác định của hàm số này là $D = [0; 50]$ .
Vì $0 \leq x \leq 50$ nên $0 \leq y \leq 1, 678 \cdot 50 = 83, 9$ .
Vậy tập giá trị của hàm số là $[0; 83, 9]$ .
Đồ thị của hàm số $y = 1, 678 x$ trên $[0; 50]$ là một đoạn thẳng
(H.6.3).

Luyện tập 2

Luyện tập 2
a) Dựa vào đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2}$ (H.6.2), tìm x sao cho $y = 8$ .
b) Vẽ đồ thị của các hàm số $y = 2 x + 1$ và $y = 2 x^{2}$ trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

Vận dụng 1

Vận dụng 1. Nếu lượng điện tiêu thụ từ trên 50 đến 100 kWh ( $50 < x \leq 100$ ) thì công thức liên
hệ giữa y và x đã thiết lập ở HĐ3 không còn đúng nữa.
Theo bảng giá bán lẻ điện sinh hoạt (Bảng 6.2) thì số tiền phải trả là:
$y = 1, 678 \cdot 50 + 1, 734 (x - 50) = 83, 9 + 1, 734 (x - 50)$ , hay $y = 1, 734 x – 2, 8$ (nghìn đồng).
Vậy trên tập xác định $D = (50; 100]$ , hàm số y mô tả số tiền phải thanh toán có công thức là
$y = 1, 734 x – 2, 8$ ; tập giá trị của nó là $(83, 9; 170, 6]$ .
Hãy vẽ đồ thị ở Hình 6.3 vào vở rồi vẽ tiếp đồ thị của hàm số $y = 1, 734 x – 2, 8$ trên tập $D = (50; 100]$ .

Tìm hiểu thêm

Tìm hiểu thêm
Hàm số mô tả sự phụ thuộc của y (số tiền phải trả) vào x (lượng điện tiêu thụ) trên từng
khoảng giá trị x được cho bằng công thức như sau:

$y = \begin{cases}
1,678x & \text{nếu } 0 \le x \le 50 \\
1,734x-2,8 & \text{nếu } 50 < x \le 100 \\
2,014x-30,8 & \text{nếu } 100 < x \le 200 \\
2,536x-135,2 & \text{nếu } 200 < x \le 300 \\
2,834x-224,6 & \text{nếu } 300 < x \le 400 \\
2,927x-261,8 & \text{nếu } x > 400.
\end{cases}$

Đồ thị của hàm số trên được vẽ như Hình 6.4.

3. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

HĐ5

HĐ5. Cho hàm số $y = - x + 1$ và $y = x$ . Tính giá trị y theo giá trị x để hoàn thành bảng sau:

$x$
-2
-1
0
1
2
$y = - x + 1$
?
?
?
?
?
$y = x$
?
?
?
?
?

Khi giá trị x tăng, giá trị y tương ứng của mỗi hàm số $y = - x + 1$ và $y = x$ tăng hay giảm?

Hình/bảng: Table with x values and blank y values for $y = -x+1$ and $y=x$.

HĐ6

HĐ6. Quan sát đồ thị của hàm số $y = f (x) = - x^{2}$ trên $R$ (H.6.5).
Hỏi:
a) Giá trị của $f (x)$ tăng hay giảm khi x tăng trên
khoảng $(- \infty; 0)$ ?
b) Giá trị của $f (x)$ tăng hay giảm khi x tăng trên
khoảng $(0; + \infty)$ ?

Hình/bảng: Figure 6.5: A parabola $y = -x^2$ opening downwards, symmetric about the y-axis.

Hàm số $y = f (x)$ được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng $(a; b)$ , nếu
$\forall x_{1}, x_{2} \in (a; b), x_{1} < x_{2} \to f (x_{1}) < f (x_{2})$ .

Hàm số $y = f (x)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng $(a; b)$ , nếu
$\forall x_{1}, x_{2} \in (a; b), x_{1} < x_{2} \to f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

Ví dụ 5

Ví dụ 5. Hàm số $y = x^{2}$ đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng: $(- \infty; 0)$ và $(0; + \infty)$ ?

Hình/bảng: Figure 6.6: A parabola $y = x^2$ opening upwards, symmetric about the y-axis, with points $x_1, x_2, x_3, x_4$ and corresponding $f(x)$ values illustrating increasing and decreasing intervals.

Lời giải

Giải
Vẽ đồ thị hàm số $y = f (x) = x^{2}$ như Hình 6.6.

Trên khoảng $(- \infty; 0)$ , đồ thị “đi xuống” từ trái sang phải

và với $x_{1}, x_{2} \in (- \infty; 0), x_{1} < x_{2}$ thì $f (x_{1}) > f (x_{2})$ . Như vậy,
hàm số $y = x^{2}$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ .

Trên khoảng $(0; + \infty)$ , đồ thị "đi lên" từ trái sang phải và với

$x_{3}, x_{4} \in (0; + \infty), x_{3} < x_{4}$ thì $f (x_{3}) < f (x_{4})$ . Như vậy, hàm số
$y = x^{2}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Chú ý

Chú ý

Đồ thị của một hàm số đồng biến trên khoảng $(a; b)$ là đường "đi lên” từ trái sang phải;
Đồ thị của một hàm số nghịch biến trên khoảng $(a; b)$ là đường “đi xuống" từ trái sang phải.

Luyện tập 3

Luyện tập 3. Vẽ đồ thị của hàm số $y = 3 x + 1$ và $y = - 2 x^{2}$ . Hãy cho biết:
a) Hàm số $y = 3 x + 1$ đồng biến hay nghịch biến trên $R$ .
b) Hàm số $y = - 2 x^{2}$ đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng: $(- \infty; 0)$ và $(0; + \infty)$ .

Vận dụng 2

Vận dụng 2. Quan sát bảng giá cước taxi bốn chỗ trong Hình 6.7.
a) Tính số tiền phải trả khi di chuyển 25 km.
b) Lập công thức tính số tiền cước taxi phải trả
theo số kilômét di chuyển.
c) Vẽ đồ thị và cho biết hàm số đồng biến trên
khoảng nào, nghịch biến trên khoảng nào.

Hình/bảng: Figure 6.7: A taxi fare table with different rates for initial distance, subsequent kilometers up to 25km, and beyond 25km. Also includes waiting time and VAT information.

Bài tập

6.1

6.1. Xét hai đại lượng x, y phụ thuộc vào nhau theo các hệ thức dưới đây. Những trường
hợp nào thì y là hàm số của x?
a) $x + y = 1$ ;
b) $y = x^{2}$ ;
c) $y^{2} = x$ ;
d) $x^{2} - y^{2} = 0$ .

6.2

6.2. Hãy cho một ví dụ về hàm số được cho bằng bảng hoặc biểu đồ. Hãy chỉ ra tập xác định
và tập giá trị của hàm số đó.

6.3

6.3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y = 2 x^{3} + 3 x + 1$ ;
b) $y = \frac{x - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ ;
c) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x}$ .

6.4

6.4. Tìm tập xác định và tập giá trị của mỗi hàm số sau:
a) $y = ∣ 2 x + 3 ∣$ ;
b) $y = 2 x^{2}$ .

6.5

6.5. Vẽ đồ thị các hàm số sau và chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của chúng.
a) $y = - 2 x + 1$ ;
b) $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ .

6.6

6.6. Giá thuê xe ô tô tự lái là 1,2 triệu đồng một ngày cho hai ngày đầu tiên và 900 nghìn
đồng cho mỗi ngày tiếp theo. Tổng số tiền $T$ phải trả là một hàm số của số ngày x mà
khách thuê xe.
a) Viết công thức của hàm số $T = T (x)$ .
b) Tính $T (2)$ , $T (3)$ , $T (5)$ và cho biết ý nghĩa của mỗi giá trị này.

Em có biết?

Em có biết?
HÀM SỐ VÀ MÔ HÌNH HOÁ
Nhiều tình huống trong thực tiễn đời sống hoặc trong khoa học liên quan đến việc tìm
hiểu một đại lượng thay đổi phụ thuộc vào một đại lượng khác như thế nào. Việc tìm
hàm số mô tả sự phụ thuộc của đại lượng này vào đại lượng kia được gọi là mô hình
hoá. Ta thường sử dụng những tính chất hình học hoặc tính chất đại số của đối tượng
cần nghiên cứu để thiết lập mô hình. Dựa vào mô hình đã được thiết lập, ta có thể phân
tích và dự đoán các tính chất của đối tượng hoặc của tình huống cần nghiên cứu.

Quá trình mô hình hoá bằng cách dùng hàm số thường bao gồm các bước sau:
Bước 1: Diễn tả mô hình bằng lời
Xác định đại lượng cần mô hình hoá và diễn tả bằng lời sự phụ thuộc của nó vào những
đại lượng khác trong bài toán.
Bước 2: Chọn biến số
Xác định tất cả các đại lượng được dùng để diễn tả sự phụ thuộc bằng lời ở Bước 1.
Dùng kí hiệu, chẳng hạn x, để chỉ một đại lượng thích hợp nào đó và biểu diễn các đại
lượng khác theo x.
Bước 3: Thiết lập mô hình
Biểu diễn sự phụ thuộc ở Bước 1 như là một hàm số của biển số x đã được chọn ở Bước 2.
Bước 4: Sử dụng mô hình
Sử dụng hàm số đã thiết lập ở Bước 3 để trả lời các câu hỏi của bài toán.
Kiểm tra sự phù hợp của mô hình.
Dưới đây ta xét một ví dụ đơn giản minh hoạ cho quá trình mô hình hoá này.

Ví dụ

Ví dụ. Bác An dùng 20 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để
trồng rau.
a) Thiết lập hàm số mô tả diện tích của mảnh vườn.
b) Bác An có thể rào thành mảnh vườn có diện tích bằng 21 m² được không?
c) Chiều rộng của mảnh vườn phải như thế nào đề diện tích của mảnh vườn lớn hơn 24 m²?
d) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác An có thể
rào được.

Hình/bảng: A diagram showing a rectangular garden with sides labeled x and 10-x.

Lời giải

Giải
Bước 1. Diễn tả mô hình bằng lời
Ta biết rằng
Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật = chiều rộng x chiều dài.
Bước 2. Chọn biến số
Có hai đại lượng thay đổi là chiều rộng và chiều dài. Vì ta muốn lập
hàm số chỉ phụ thuộc vào một biến số ta chọn, chẳng hạn
$x$ = chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật.
Ta cần tính chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật theo x. Do chu vi của mảnh vườn
hình chữ nhật không đổi bằng 20 m và nửa chu vi bằng tổng của chiều rộng và chiều
dài nên chiều dài của mảnh vườn sẽ là $10 – x$ (m).
Bước 3. Thiết lập mô hình
Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là
$S (x)$ = chiều rộng x chiều dài = $x (10 – x) = - x^{2} + 10 x$ (m).
Như vậy, ở đây diện tích $S (x)$ của mảnh vườn là hàm số của chiều rộng x.
Bước 4. Sử dụng mô hình
Ta có thể sử dụng mô hình đã thiết lập để trả lời các câu hỏi ở phần b, c, d. Chẳng hạn,
với câu hỏi ở phần b, ta cần tìm chiều rộng x của mảnh vườn sao cho
$S (x) = 21$ hay $- x^{2} + 10 x = 21$ , hay $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ .
Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm $x = 3$ và $x = 7$ .
Vì chiều rộng phải nhỏ hơn hoặc bằng chiều dài nên chỉ có nghiệm $x = 3$ là thoả mãn.
Khi đó mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng là 3 m và chiều dài là $10 - 3 = 7$ (m).
Vậy bác An có thể dùng 20 m hàng rào dây thép gai để rào thành mảnh vườn hình chữ
nhật có diện tích bằng 21 m².
Trong các bài sau, các em sẽ được học những kiến thức toán học cần thiết để sử dụng
hàm số $S (x)$ trả lời cho các câu hỏi ở phần c và phần d.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 10 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 5–11).