Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường…

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc.
Thiết lập công thức tỉnh góc giữa hai đường thẳng.
Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Vận dụng các công thức tỉnh góc và khoảng cách để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.

Thuật ngữ: Góc, khoảng cách · Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng toạ độ, mỗi đường thẳng đều có đối tượng đại số tương ứng, gọi là phương trình của nó. Vậy các yếu tố liên quan tới đường thẳng được thể hiện như thể nào qua phương trình tương ứng?

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

HĐ1

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng
$Δ_{1} : x - 2 y + 3 = 0$
$Δ_{2} : 3 x - y - 1 = 0$
a) Điểm $M (1; 2)$ có thuộc cả hai đường thằng nói trên hay không?
b) Giải hệ
${\begin{cases} x - 2 y + 3 = 0 \\ 3 x - y - 1 = 0. \end{cases}$
c) Chỉ ra mối quan hệ giữa toạ độ giao điểm của $Δ_{1}$ , và $Δ_{2}$ với nghiệm của hệ phương trình trên.

Nhận xét. Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ là tập hợp những điềm có toạ độ thoả mãn phương trình của đường thẳng đó. Vì vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng.
Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng
$Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ và $Δ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ .
Khi đó, toạ độ giao điểm của $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:
${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0. \end{cases}$
$Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ tại $M (x_{0}; y_{0}) \Leftrightarrow h \hat{e} (*)$ có nghiệm duy nhất $(x_{0}; y_{0})$ .
$Δ_{1}$ song song với $Δ_{2} \Leftrightarrow h \hat{e} (*)$ vô nghiệm.
$Δ_{1}$ trùng $Δ_{2} \Leftrightarrow h \hat{e} (*)$ có vô số nghiệm.

Chú ý

Dựa vào các vectơ chỉ phương $\overline{u_{1}},$ $\overline{u_{2}}$ hoặc các vectơ pháp tuyến $\overline{n_{1}}$ $\overline{n_{2}}$ của $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ , ta có:
. $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song hoặc trùng nhau $\Rightarrow \overline{u_{1}}$ và $\overline{u_{2}}$ cùng phương $\Leftrightarrow \overline{n_{1}}$ và $\overline{n_{2}}$ cùng phương.
. $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow \overline{u_{1}}$ và $\overline{u_{2}}$ không cùng phương $\Leftrightarrow \overline{n_{1}}$ và $\overline{n_{2}}$ không cùng phương.

Hình 7.5. a) Hai đường thẳng

Δ_{1}, Δ_{2}

song song với các vectơ pháp tuyến

\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}

và vectơ chỉ phương

\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}

. b) Hai đường thẳng

Δ_{1}, Δ_{2}

cắt nhau với các vectơ pháp tuyến

\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}

và vectơ chỉ phương

\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}

Ví dụ 1

Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng $Δ : x - \sqrt{2} y + 4 \sqrt{3} = 0$ và mỗi đường thẳng sau:
$Δ_{1} : \sqrt{3} x - \sqrt{6} y + 12 = 0;$
$Δ_{2} : \sqrt{2} x - 2 y = 0$ .

Lời giải

Giải
$x - \sqrt{2} y + 4 \sqrt{3} = 0 ⟺ \sqrt{3} (x - \sqrt{2} y + 4 \sqrt{3}) = 0$
$\Leftrightarrow \sqrt{3} x - \sqrt{6} y + 12 = 0.$
Vậy $Δ$ và $Δ_{1}$ là một, tức là chúng trùng nhau.
Hai đường thẳng $Δ$ và $Δ_{2}$ có hai vectơ pháp tuyến $\overline{n} (1; - \sqrt{2})$ và $\overline{n_{2}} (\sqrt{2}; - 2)$ cùng phương.
Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm $O (0; 0)$ thuộc đường thẳng $Δ_{2}$ nhưng không thuộc đường thẳng $Δ$ , nên hai đường thẳng này không trùng nhau.
Vậy $Δ$ và $Δ_{2}$ song song với nhau.

Nhận xét. Giả sử hai đường thằng $Δ_{1}$ $Δ_{2}$ có hai vectơ chỉ phương $\overline{u_{1}}$ $\overline{u_{2}}$ (hay hai vectơ pháp tuyến $\overline{n_{1}}, \overline{n_{2}})$ cùng phương. Khi đó:
. Nếu $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có điểm chung thì $Δ_{1}$ trùng $Δ_{2}$
. Nếu tồn tại điểm thuộc $Δ_{1}$ nhưng không thuộc $Δ_{2}$ thì $Δ_{1}$ song song với $Δ_{2}$ .

Luyện tập 1

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $Δ_{1} : x + 4 y - 3 = 0$ và $Δ_{2} : x - 4 y - 3 = 0;$
b) $Δ_{1} : x + 2 y - \sqrt{5} = 0$ và $Δ_{2} : 2 x + 4 y - 3 \sqrt{5} = 0$ .

2. Góc giữa hai đường thẳng

HĐ2

Hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?

Hình 7.6. Hai đường thẳng

Δ_{1}, Δ_{2}

cắt nhau tạo thành bốn góc, trong đó có góc

α

và

φ

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng.
Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng $0^{\circ}$ .

HĐ3

Cho hai đường thẳng cắt nhau $Δ_{1}$ . $Δ_{2}$ tương ứng có các vectơ pháp tuyến $\overline{n_{1}}$ $\overline{n_{2}}$ . Gọi $φ$ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:
a) góc $φ$ và góc $(\overline{n_{1}}, \overline{n_{2}})$ ;
b) $\cos φ$ và $\cos (\overline{n_{1}}, \overline{n_{2}})$ .

Hình 7.7. Hai đường thẳng

Δ_{1}, Δ_{2}

cắt nhau, với các vectơ pháp tuyến

\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}

và góc

φ

giữa chúng.

Cho hai đường thẳng
$Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ và $Δ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ ,
với các vectơ pháp tuyến $\overline{n_{1}} (a_{1}; b_{1})$ và $\overline{n_{2}} (a_{2}; b_{2})$ tương ứng. Khi đó, góc $φ$ giữa hai đường thẳng đó được xác định thông qua công thức
$\cos φ = ∣ \cos (\overline{n_{1}}, \overline{n_{2}}) ∣ = \frac{∣ \overline{n_{1}} \cdot \overline{n_{2}} ∣}{∣ \overline{n_{1}} ∣ \cdot ∣ \overline{n_{2}} ∣} = \frac{∣ a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} ∣}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}} .$

Chú ý

. $Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ .
. Nếu $Δ_{1}$ $Δ_{2}$ có các vectơ chỉ phương $\overline{u_{1}},$ $\overline{u_{2}}$ thì góc $φ$ giữa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cũng được xác định thông qua công thức $\cos φ = ∣ \cos (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) ∣$ .

Ví dụ 2

Tính góc giữa hai đường thẳng
$Δ_{1} : \sqrt{3} x - y + 2 = 0$ và $Δ_{2} : x - \sqrt{3} y - 2 = 0$ .

Lời giải

Giải
Vectơ pháp tuyến của $Δ_{1}$ là $\overline{n_{1}} = (\sqrt{3}; - 1)$ , của $Δ_{2}$ là $\overline{n_{2}} = (1; - \sqrt{3})$ .
Gọi $φ$ là góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ . Ta có
$\cos φ = ∣ \cos (\overline{n_{1}}, \overline{n_{2}}) ∣ = \frac{∣ \overline{n_{1}} \cdot \overline{n_{2}} ∣}{∣ \overline{n_{1}} ∣ \cdot ∣ \overline{n_{2}} ∣} = \frac{∣ \sqrt{3} \cdot 1 + (- 1) \cdot (- \sqrt{3}) ∣}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2} + (- 1)^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + (- \sqrt{3})^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$
Do đó, góc giữa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ là $φ = 30^{\circ}$ .

Luyện tập 2

Tính góc giữa hai đường thẳng
$Δ_{1} : x + 3 y + 2 = 0$ và $Δ_{2} : y = 3 x + 1.$

Ví dụ 3

Tính góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1} : x = 3$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 + t . \end{cases}$

Lời giải

Giải
Đường thẳng $Δ_{1}$ có phương trình $x - 3 = 0$ nên có vectơ pháp tuyến $\overline{n_{1}} (1; 0)$ . Đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\overline{u_{2}} (- 1; 1)$ nên có vectơ pháp tuyến $\overline{n_{2}} (1; 1)$ . Gọi $φ$ là góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ . Ta có
$\cos φ = ∣ \cos (\overline{n_{1}}, \overline{n_{2}}) ∣ = \frac{∣ \overline{n_{1}} \cdot \overline{n_{2}} ∣}{∣ \overline{n_{1}} ∣ \cdot ∣ \overline{n_{2}} ∣} = \frac{∣ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 ∣}{\sqrt{1^{2} + O^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} .$
Do đó, góc giữa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ là $φ = 45^{\circ}$ .

Luyện tập 3

Tính góc giữa hai đường thẳng
$Δ_{1} : {\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2 t \end{cases} v \hat{a} Δ_{2} : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 5 + 3 t . \end{cases}$

Xét đường thẳng $Δ$ bất kì cắt trục hoành Ox tại một điểm A. Điểm A chia đường thẳng $Δ$ thành hai tia, trong đó, gọi Az là tia nằm phía trên trục hoành. Kí hiệu $α_{Δ}$ là số đo của góc $\hat{X A z}$ (H.7.8). Thực hành luyện tập sau đây, ta sẽ thấy ý nghĩa hình học của hệ số góc.

Luyện tập 4

Cho đường thẳng $Δ : y = a x + b,$ với $a \neq 0$ .
a) Chứng minh rằng $Δ$ cắt trục hoành.
b) Lập phương trình đường thẳng $Δ_{0}$ đi qua $O (0; 0)$ và song song (hoặc trùng) với $Δ$ .
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa $α_{Δ}$ và $α_{Δ_{0}}$
d) Gọi M là giao điểm của $Δ_{0}$ với nửa đường tròn đơn vị và $x_{0}$ là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo $x_{0}$ và a. Từ đó, chứng minh rằng $\tan α_{Δ} = a$ .

Hình/bảng: Đồ thị với đường thẳng $\Delta$ cắt trục x tại A, đường thẳng $\Delta_0$ đi qua gốc O song song với $\Delta$. Nửa đường tròn đơn vị cắt $\Delta_0$ tại M. Các góc $\alpha_{\Delta}$ và $\alpha_{\Delta_0}$ được đánh dấu.

Hình 7.8. Đồ thị với đường thẳng

Δ

cắt trục x tại A, đường thẳng

Δ_{0}

đi qua gốc O song song với

Δ

. Nửa đường tròn đơn vị cắt

Δ_{0}

tại M. Các góc

α_{Δ}

và

α_{Δ_{0}}

được đánh dấu.

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

HĐ4

Cho điểm $M (x_{0}; y_{0})$ và đường thẳng $Δ : a x + b y + c = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} (a; b)$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên $Δ (H 7.9)$
a) Chứng minh rằng $∣ \overline{n} \cdot \overline{H M} ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot H M$ .
b) Giả sử H có toạ độ $(x_{1}; y_{1})$ . Chứng minh rằng:
$\vec{n} \cdot \vec{H M} = a (x_{0} - x_{1}) + b (y_{0} - y_{1}) = a x_{0} + b y_{0} + c .$
c) Chứng minh rằng
$H M = \frac{∣ a x_{0} + b y_{0} + c ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} .$

Hình 7.9. Đồ thị với đường thẳng

Δ : a x + b y + c = 0

, điểm

M (x_{0}; y_{0})

, hình chiếu H của M trên

Δ

, và vectơ pháp tuyến

\vec{n} (a; b)

của

Δ

Cho điểm $M (x_{0}; y_{0})$ và đường thẳng $Δ : a x + b y + c = 0$ Khoảng cách từ điềm M đến đường thẳng $Δ$ , kí hiệu là $d (M, Δ)$ , được tính bởi công thức
$d (M, Δ) = \frac{∣ a x_{0} + b y_{0} + c ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} .$

Ví dụ 4

Tính khoảng cách từ điểm $M (2; 4)$ đến đường thẳng $Δ : 3 x + 4 y - 12 = 0$

Lời giải

Giải
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điềm M đến đường thẳng $Δ$ , ta có
$d (M, Δ) = \frac{∣ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 - 12 ∣}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{10}{5} = 2.$
Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thằng $Δ$ là 2.

Trải nghiệm

Đo trực tiếp khoảng cách từ điềm M đến đường thằng $Δ (H 7.10)$ và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.

Hình 7.10. Đồ thị với điểm M(2;4) và đường thẳng

Δ : 3 x + 4 y - 12 = 0

. Khoảng cách từ M đến

Δ

được biểu diễn bằng một đoạn thẳng vuông góc.

Luyện tập 5

Tính khoảng cách từ điểm $M (1; 2)$ đến đường thẳng
$Δ : {\begin{cases} x = 5 + 3 t \\ y = - 5 - 4 t . \end{cases}$

Vận dụng

Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài $A D = 15$ m, chiều rộng $A B = 12 n$ . Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, $A E = 5$ m, $C F = 6$ m (H.7.11).
a) Chọn hệ trục toạ độ Oxy, có điểm B trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng toạ độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định toạ độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.
b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?

Hình 7.11. Hình ảnh một ao cá hình chữ nhật ABCD, với một phần tam giác DEF là nơi nuôi vịt. Các điểm A, B, C, D, E, F được đánh dấu.

Bài tập

7.7

Dạng bài: Xét vị trí tương đối của đường thẳng

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $Δ_{1} : 3 \sqrt{2} x + \sqrt{2} y - \sqrt{3} = 0$ và $Δ_{2} : 6 x + 2 y - \sqrt{6} = 0$ .
b) $d_{1} : x - \sqrt{3} y + 2 = 0$ và $d_{2} : \sqrt{3} x - 3 y + 2 = 0$ .
c) $m_{1} : x - 2 y + 1 = 0$ và $m_{2} : 3 x + y - 2 = 0$ .

7.8

Dạng bài: Tính góc giữa hai đường thẳng

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $Δ_{1} : \sqrt{3} x + y - 4 = 0$ và $Δ_{2} : x + \sqrt{3} y + 3 = 0;$
b) $d_{1} : {\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = 3 + 4 t \end{cases} v \dot{a} d_{2} : {\begin{cases} x = 3 + s \\ y = 1 - 3 s \end{cases}$ (t. s làlà các tham số).

7.9

Dạng bài: Tính khoảng cách, lập phương trình đường thẳng

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm $A (0; - 2)$ và đường thẳng $Δ : x + y - 4 = 0$
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $Δ$ .
b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm $M (- 1; 0)$ và song song với $Δ$ .
c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm $N (0; 3)$ và vuông góc với $Δ$ .

7.10

Dạng bài: Tính độ dài đường cao, diện tích tam giác

Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có $A (1; 0)$ $B (3; 2)$ và $C (- 2; - 1)$ .
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.

7.11

Dạng bài: Chứng minh điều kiện vuông góc của đường thẳng

Chứng minh rằng hai đường thẳng $d : y = a x + b$ $(a \neq 0)$ và $d^{'} : y = a^{'} x + b^{'} (a^{'} \neq 0)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a a^{'} = - 1$ .

7.12

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí $O (0; 0)$ $A (T; 0)$ , $B (1; 3)$ nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Em có biết?

Cơ sở toán học cho các tính toán trong phần mềm GeoGebra.
Hình 7.12 được chụp lại từ một màn hình máy tính đang sử dụng phần mềm vẽ hình GeoGebra:
. Chọn chức năng vẽ điểm, sau đó, nháy chuột vào ba điểm A, B, C trên cửa sổ màn hình, phần mềm tự động xác định toạ độ của ba điểm đó là $A (2; 4)$ , $B (- 4; 1)$ , $C (3; - 2)$ .
. Chọn chức năng vẽ đường thẳng $Δ$ đi qua hai điểm, sau đó, nháy vào hai điểm A, B ta được đường thằng $Δ$ đi qua hai điểm A, B phần mềm tự động xác định được phương trình của đường thẳng là $x - 2 y + 6 = 0.$
. Chọn chức năng tính khoảng cách, sau đó, nháy vào điểm C và đường thẳng $Δ$ , phần mềm sẽ tự động cho ta khoảng cách từ C tới đường thẳng $Δ$ là 5,81.
Cơ sở toán học đề phần mềm có được tính toán nói trên là các công thức đã được nêu ra trong bài học này.

Hình 7.12. Màn hình phần mềm GeoGebra hiển thị các điểm A(2,4), B(-4,1), C(3,-2), đường thẳng đi qua A và B có phương trình x-2y+6=0, và khoảng cách từ C đến đường thẳng là 5.81.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 10 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 36–42).