Bài tập cuối chương IV – Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

A – trắc nghiệm

4.27

Trong mặt phẳng toạ độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?
A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = (1; \frac{3}{2})$ .
B. $\vec{a} = (\sqrt{2}; 6)$ và $\vec{b} = (1; 3 \sqrt{2})$ .
C. $\vec{i} = (0; 1)$ và $\vec{j} = (1; 0)$ .
D. $\vec{c} = (2; 3)$ và $\vec{d} = (- 2; - 6)$ .

4.28

Trong mặt phẳng toạ độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?
A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = (4; 6)$ .
B. $\vec{a} = (1; - 1)$ và $\vec{b} = (- 1; 1)$ .
C. $\vec{z} = (a; b)$ và $\vec{t} = (- b; a)$ .
D. $\vec{n} = (1; 1)$ và $\vec{k} = (2; 0)$ .

4.29

Trong mặt phẳng toạ độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?
A. $\vec{a} = (1; 1)$ .
B. $\vec{b} = (- 1; - 1)$ .
C. $\vec{c} = (\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ .
D. $\vec{d} = (\frac{1}{\sqrt{2}}; - \frac{1}{\sqrt{2}})$ .

4.30

Góc giữa vectơ $\vec{a} = (1; - 1)$ và vectơ $\vec{b} = (- 2; 0)$ có số đo bằng:
A. $90^{\circ}$ .
B. $0^{\circ}$ .
C. $135^{\circ}$ .
D. $45^{\circ}$ .

4.31

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c})$ .
B. $∣ \vec{a} \cdot \vec{b} ∣^{2} = {\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2}$ .
C. $\vec{a} \cdot \vec{b} = ∣ \vec{a} ∣ ∣ \vec{b} ∣ \sin (\vec{a}, \vec{b})$ .
D. $\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c}$ .

4.32

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $(\vec{A B}, \vec{B D}) = 45^{\circ}$ .
B. $(\vec{A C}, \vec{B C}) = 45^{\circ}$ và $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = a^{2}$ .
C. $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = - a^{2} \sqrt{2}$ .
D. $\vec{B A} \cdot \vec{B D} = - a^{2}$ .

B – tự luận

4.33

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho $\vec{M B} = 3 \vec{M C}$ .
a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\vec{M B}$ và $\vec{M C}$ .
b) Biểu thị vectơ $\vec{A M}$ theo hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

4.34

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$ .

4.35

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(2;1), B(-2;5) và C(-5;2).
a) Tìm toạ độ của các vectơ $\vec{B A}$ và $\vec{B C}$ .
b) Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

4.36

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(1;2), B(3;4), C( 1; 2) và D(5;5).
a) Tìm toạ độ của các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ .
b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ cùng phương.
c) Giả sử E là điểm có toạ độ (a;1). Tìm a để các vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{B E}$ cùng phương.
d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ $\vec{A E}$ theo các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

4.37

Cho vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ . Chứng minh rằng $\frac{\vec{a}}{∣ \vec{a} ∣}$ (hay còn được viết là $\frac{1}{∣ \vec{a} ∣} \vec{a}$ ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ .

4.38

Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}$ với $∣ \vec{a} ∣ = ∣ \vec{b} ∣ = 1$ và $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ . Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b}$ . Chứng minh rằng:
a) Vectơ $\vec{u}$ có toạ độ là $(\vec{u} \cdot \vec{a}; \vec{u} \cdot \vec{b})$ .
b) $\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{a}) \vec{a} + (\vec{u} \cdot \vec{b}) \vec{b}$ .

4.39

Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15E với vận tốc có độ lớn bằng 20 km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 71–72).