Bài tập cuối chương III

3.12

Dạng bài: Kiến thức tổng hợp

Cho tam giác ABC có $\widehat{B}={135}^{\circ }$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $S=\frac{1}{2}ca$.
B. $S=\frac{\sqrt{2}}{4}ac$.
C. $S=\frac{\sqrt{2}}{4}bc$.
D. $S=\frac{\sqrt{2}}{4}ca$.
E. $R=\frac{a}{\sin A}$.
F. $R=\frac{b}{\sqrt{2}}$.
G. $R=\frac{c}{\sqrt{2}}$.
H. $R=\frac{a}{\sqrt{2}}$.
I. $a^2=b^2+c^2-\sqrt{2}ab$.
J. $b^2=c^2+a^2-2ca\cos {135}^{\circ }$.
K. $\sin B=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
L. $\sin A=\frac{b\sin A}{\sin B}$.

3.13

Dạng bài: Kiến thức tổng hợp

Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $S=\frac{abc}{4R}$.
B. $R=\frac{2S}{abc}$.
C. $a^2=b^2+c^2+2bc\cos A$.
D. $S=\sqrt{p(a-b)(b-c)}$.
E. $\sin A=\sin (B+C)$.
F. $\cos A=\cos (B+C)$.
G. $\cos A>0$.
H. $\sin A<0$.

3.14

Dạng bài: Tính giá trị biểu thức lượng giác

Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $M=\sin {45}^{\circ }\cos {45}^{\circ }+\sin {30}^{\circ }\cos {60}^{\circ }+\sin {60}^{\circ }\cos {30}^{\circ }+\frac{1}{2}\sin {45}^{\circ }\cos {45}^{\circ }$.
b) $N=\sin {60}^{\circ }\cos {30}^{\circ }-\frac{1}{2}\sin {45}^{\circ }\cos {45}^{\circ }$.
c) $P=1-{\tan }^2{60}^{\circ }$.
d) $Q=\frac{1}{{\cot }^2{120}^{\circ }}$.

3.15

Dạng bài: Giải tam giác, tính diện tích và bán kính đường tròn

Cho tam giác ABC có $\widehat{B}={60}^{\circ }$, $\widehat{C}={45}^{\circ }$, $AC=10$. Tính a, R, S, r.

3.16

Dạng bài: Chứng minh đẳng thức hình học

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:
a) $\cos \widehat{AMB}+\cos \widehat{AMC}=0$;
b) $M{A}^2\cdot M{B}^2=A{B}^2\cdot A{M}^2-MB\cdot A{M}^2+M{C}^2-A{C}^2=2MA\cdot MC\cos \widehat{AMC}$;
c) $M{A}^2=\frac{2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

3.17

Dạng bài: Chứng minh bất đẳng thức hình học

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu góc A nhọn thì $b^2+c^2>a^2$.
b) Nếu góc A tù thì $b^2+c^2<a^2$.
c) Nếu góc A vuông thì $b^2+c^2=a^2$.

3.18

Dạng bài: Giải bài toán thực tế, tính hướng và thời gian

Trên biển, tàu B ở vị trí cách tàu A 53 km về hướng N34°E. Sau đó, tàu B chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30 km/h về hướng đông và tàu A chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50 km/h để đuổi kịp tàu B.
a) Hỏi tàu A cần phải chuyển động theo hướng nào?
b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu A đuổi kịp tàu B?

Hình/bảng: Hình 3.20: Sơ đồ vị trí tàu A, B và hướng di chuyển. Tàu B cách A 53km theo hướng N34°E. Tàu B di chuyển về hướng Đông. Tàu A di chuyển theo hướng $\alpha$ để đuổi kịp tàu B tại C.

3.19

Dạng bài: Giải bài toán thực tế, tính khoảng cách

Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2 (Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4 m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher's mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2, và cách gôn Nhà 18,44 m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3.

Hình/bảng: Hình 3.21: Sơ đồ sân bóng chày với các vị trí Gôn Nhà, Gôn 1, Gôn 2, Gôn 3 tạo thành hình vuông. Vị trí ném bóng nằm trên đường nối Gôn Nhà và Gôn 2.