Bài 7. Các khái niệm mở đầu

Giải
Vì cạnh của hình vuông ABCD có độ dài bằng 1 nên các đường chéo của hình vuông này có độ dài bằng $\sqrt{2}$.
Vậy $\mathrm{\mid }\overrightarrow{AC}\mathrm{\mid }=AC=\sqrt{2}$, $\mathrm{\mid }\overrightarrow{CA}\mathrm{\mid }=CA=\sqrt{2}$, $\mathrm{\mid }\overrightarrow{BD}\mathrm{\mid }=BD=\sqrt{2}$.

Giải (H.4.9)

• Hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ có cùng độ dài và cùng hướng. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng nhau.
• Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ có cùng độ dài và ngược hướng. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ không bằng nhau.
• Hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ có cùng độ dài nhưng không cùng phương nên không cùng hướng. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ không bằng nhau.

Vậy trong các cặp vectơ đang xét, chỉ có cặp vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ là bằng nhau ($\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$).

Giải

• Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng. Khi đó, chúng cùng thuộc một đường thẳng d. Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ có cùng giá là d. Suy ra chúng cùng phương.
• Giả sử hai vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ cùng phương. Khi đó, chúng có cùng giá hoặc có hai giá song song với nhau. Mặt khác, giá của các vectơ trên đều đi qua A nên chúng trùng nhau. Vậy A, B, C thẳng hàng.

Giải (H.4.9)

• Hai vecto $\overline{AD}$ và $\overline{BC}$ có cùng độ dài và cùng hướng. Do đó, hai vectơ AD và BC bằng nhau.
• Hai vecto $\overline{AB}$ và $\overline{CD}$ có cùng độ dài và ngược hướng. Do đó, hai vectơ AB và $\overline{CD}$ không bằng nhau.
• Hai vectơ $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ có cùng độ dài nhưng không cùng phương nên không cùng hướng. Do đó, hai vecto $\overrightarrow{AC}$ và $\overline{BD}$ không bằng nhau.

Vậy trong các cặp vectơ đang xét, chỉ có cặp vectơ $\overline{AD}$ và $\overline{BC}$ là bằng nhau $(\overline{AD}=\overline{BC})$.

Giải

• Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng. Khi đó, chúng cùng thuộc một đường thẳng d. Vậy hai vectơ $\overline{AB},$ $\overline{AC}$ có cùng giá là d. Suy ra chúng cùng phương.
• Giả sử hai vecto $\overline{AB}$ $\overline{AC}$ cùng phương. Khi đó, chúng có cùng giá hoặc có hai giá song song với nhau. Mặt khác, giá của các vectơ trên đều đi qua A nên chúng trùng nhau. Vậy A, B, C thẳng hàng.

Giải
Lực đầy Archimedes và trọng lực đều tác động lên vật A theo phương thẳng đứng, hai lực này cùng phương nhưng ngược hướng. Do đó, Hình 4.11a không đúng. Vật A chìm xuống đáy nên trọng lực P (có hướng từ trên xuống) lớn hơn lực đầy Archimedes F (có hướng từ dưới lên). Do vậy, Hình 4.11c không đúng.
Vậy hình biểu diễn đúng là Hình 4.11b. Theo đó, vectơ biểu diễn lực $\vec{P}$ có độ dài gấp 3 lần độ dài của vectơ biểu diễn lực $\vec{F}$
Độ lớn của trọng lực và lực đầy Archimedes tác động lên A là: $\mathrm{\mid }\vec{P}\mathrm{\mid }=d^{\mathrm{\prime }}\cdot V,\mathrm{\mid }\bar{F}\mathrm{\mid }=d\cdot V$ trong đó $V(m^3)$ là thể tích của vật A và $d^{\mathrm{\prime }}$,d $(N\mathrm{/}{m}^3)$ tương ứng là trọng lượng riêng của vật A và của chất lỏng. Do $\mathrm{\mid }\bar{P}\mathrm{\mid }=3\mathrm{\mid }\bar{F}\mathrm{\mid }$ (theo H.4.11b) nên $d^{\mathrm{\prime }}=3d$. Vậy trọng lượng riêng của vật A gấp 3 lần trọng lượng riêng của chất lỏng trong cốc.