Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

Yêu cầu cần đạt

Tính độ dài cạnh, số đo góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích tam giác trong một số trường hợp.
Vận dụng các hệ thức lượng trong tam giác để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn.

Thuật ngữ: Định lí côsin · Định lí sin · Công thức diện tích tam giác · Giải tam giác

Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, để chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa. Em có biết vì sao?

Hình 3.4. Ảnh Tháp Rùa nằm trong lòng hồ Hoàn Kiếm ở Thủ đô Hà Nội.

HĐ1

Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hoà) theo hướng đông với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.
a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).
b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilômét (số đo gần đúng).
c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (hay vị hướng đông nam) thì có thể dùng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

Có hay không, một kiểu định lí Pythagore cho tam giác tuỳ ý?

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi, S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

HĐ2

Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c và giá trị lượng giác của góc A.
a) Tính $a^{2}$ theo $B D^{2}$ và $C D^{2}$ .
b) Tính $a^{2}$ theo b, c và DA.
c) Tính DA theo c và $\cos A$ .
d) Chứng minh $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ .

Hình/bảng: Hình 3.8: Tam giác ABC với đường cao BD. Các cạnh a, b, c và góc A được đánh dấu.

Chú ý

Người ta chứng minh được kết quả trong HĐ2d đối với cả các trường hợp góc A là góc vuông hoặc nhọn.

Định lí côsin

Trong tam giác ABC:
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ ,
$b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a \cos B$ ,
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ .

Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của Định lí côsin hay không?

Ví dụ 1

Dạng bài: Tính độ dài cạnh

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 120^{\circ}$ và $A B = 5$ , $A C = 8$ . Tính độ dài cạnh BC.

Hình/bảng: Hình 3.9: Tam giác ABC với cạnh AB=5, AC=8 và góc A=120 độ.

Lời giải

Giải (H.3.9)
Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:
$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B \cdot A C \cdot \cos 120^{\circ}$
$= 5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot (- \frac{1}{2})$
$= 25 + 64 + 40 = 129$ . Vậy $B C = \sqrt{129}$ .

Khám phá

Từ Định lí côsin, hãy viết các công thức tính $\cos A$ , $\cos B$ , $\cos C$ theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

Luyện tập 1

Dạng bài: Giải tam giác

Cho tam giác ABC có $A B = 5$ , $A C = 8$ và $\hat{A} = 45^{\circ}$ . Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Trải nghiệm

Vẽ một tam giác ABC, sau đó đo độ dài các cạnh, số đo góc A và kiểm tra tính đúng đắn của Định lí côsin tại đỉnh A đối với tam giác đó.

Vận dụng 1

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Dùng Định lí côsin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ1b.

HĐ3

Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và $\sin A$ .

Hình/bảng: Hình 3.10: Hai tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. a) Góc A nhọn. b) Góc A tù.

Định lí sin

Trong tam giác ABC:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$ .

Ví dụ 2

Dạng bài: Giải tam giác

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 135^{\circ}$ , $\hat{C} = 15^{\circ}$ và $b = 12$ . Tính a, c, R và số đo góc B.

Hình/bảng: Hình 3.11: Tam giác ABC với góc A=135 độ, góc C=15 độ, cạnh b=12.

Lời giải

Giải (H.3.11)
Ta có: $\hat{B} = 180^{\circ} - (\hat{A} + \hat{C}) = 180^{\circ} - (135^{\circ} + 15^{\circ}) = 30^{\circ}$ .
Áp dụng Định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin 135^{\circ}} = \frac{12}{\sin 30^{\circ}} = \frac{c}{\sin 15^{\circ}} = 2 R$ .
Suy ra $a = \frac{12 \sin 135^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 12 \sqrt{2}$ ; $c = \frac{12 \sin 15^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = 24 \sin 15^{\circ} (\approx 6, 21)$ ; $R = \frac{12}{2 \sin 30^{\circ}} = 12$ .

Luyện tập 2

Dạng bài: Giải tam giác

Cho tam giác ABC có $b = 8$ , $c = 5$ và $\hat{B} = 80^{\circ}$ . Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.

Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Ví dụ 3

Dạng bài: Giải tam giác

Giải tam giác ABC, biết $c = 14$ , $\hat{A} = 60^{\circ}$ , $\hat{B} = 40^{\circ}$ .

Hình/bảng: Tam giác ABC với cạnh c=14, góc A=60 độ, góc B=40 độ.

Lời giải

Giải
Ta có $\hat{C} = 180^{\circ} - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 40^{\circ}) = 80^{\circ}$ .
Áp dụng Định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin 60^{\circ}} = \frac{b}{\sin 40^{\circ}} = \frac{14}{\sin 80^{\circ}}$ .
Suy ra $a = \frac{14 \sin 60^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx 12, 31$ , $b = \frac{14 \sin 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx 9, 14$ .

Luyện tập 3

Dạng bài: Giải tam giác

Giải tam giác ABC, biết $b = 32$ , $c = 45$ , $\hat{A} = 87^{\circ}$ .

Chú ý

Áp dụng các Định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

Biết hai cạnh và góc xen giữa;
Biết ba cạnh;
Biết một cạnh và hai góc kề.

Ví dụ 4

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Trở lại tình huống mở đầu, theo các bước sau, ta có thể tiến hành đo khoảng cách từ vị trí A trên bờ hồ Hoàn Kiếm đến Tháp Rùa (H.3.12):
Bước 1. Trên bờ, đặt một cọc tiêu tại vị trí A và một cọc tiêu tại vị trí B nào đó. Đo khoảng cách AB.
Bước 2. Đứng tại A, ngắm Tháp Rùa và cọc tiêu B để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.
Bước 3. Đứng tại B, ngắm cọc tiêu A và Tháp Rùa để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.
Bước 4. Gọi C là vị trí của Tháp Rùa. Áp dụng Định lí sin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh AC.

Hình/bảng: Hình 3.12: Sơ đồ đo khoảng cách từ bờ hồ đến Tháp Rùa. A và B là các cọc tiêu trên bờ, C là Tháp Rùa.

Vận dụng 2

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

Ta đã biết tính diện tích một tam giác theo chiều cao và độ dài cạnh đáy tương ứng. Liệu còn công thức nào khác để tính diện tích tam giác hay không?

HĐ4

Cho tam giác ABC với $r$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.
b) Tính diện tích tam giác ABC theo $r$ , a, b, c.

Hình/bảng: Hình 3.13: Tam giác ABC với đường tròn nội tiếp tâm I, bán kính r.

$S = p r = \frac{(a + b + c) r}{2}$ .

HĐ5

Cho tam giác ABC với đường cao BD.
a) Biểu thị BD theo AB và $\sin A$ .
b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, $\sin A$ .

Hình/bảng: Hình 3.14: Hai tam giác ABC với đường cao BD. a) Góc A nhọn. b) Góc A tù.

$S = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} c a \sin B = \frac{1}{2} a b \sin C$ .

Ví dụ 5

Dạng bài: Tính diện tích tam giác

Tính diện tích S của tam giác ABC có $c = 4$ , $b = 6$ , $\hat{A} = 150^{\circ}$ .

Hình/bảng: Hình 3.15: Tam giác ABC với cạnh b=6, c=4 và góc A=150 độ.

Lời giải

Giải (H.3.15)
Ta có: $S = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin 150^{\circ} = 6$ .

Luyện tập 4

Dạng bài: Giải tam giác, tính diện tích và bán kính đường tròn

Cho tam giác ABC có $b = 2$ , $B = 30^{\circ}$ , $C = 45^{\circ}$ . Tính $a$ , $R$ , $S$ , $r$ .

Chú ý

Do $\sin A = \frac{a}{2 R}$ nên từ công thức $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ , ta có:

$S = \frac{a b c}{4 R}$ .

Thảo luận

Ta đã biết tính $\cos A$ theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu $\sin A$ và diện tích S có tính được theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?

Trong tam giác ABC: $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Ví dụ 6

Dạng bài: Tính sin góc, tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có $a = 13$ , $b = 14$ , $c = 15$ .
a) Tính $\sin A$ .
b) Tính diện tích S bằng hai cách khác nhau.

Hình/bảng: Hình 3.16: Tam giác ABC với cạnh a=13, b=14, c=15.

Lời giải

Giải (H.3.16)
a) Áp dụng Định lí côsin, ta có:
$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} = \frac{14^{2} + 15^{2} - 13^{2}}{2 \cdot 14 \cdot 15} = \frac{196 + 225 - 169}{420} = \frac{252}{420} = 0, 6$ .
Do đó $\sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A} = \sqrt{1 - (0, 6)^{2}} = \sqrt{1 - 0, 36} = \sqrt{0, 64} = 0, 8$ .
b) Ta có $S = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 \cdot 0, 8 = 84$ .
Áp dụng Công thức Heron, ta cũng có thể tính S theo cách thứ hai sau:
Tam giác ABC có nửa chu vi là: $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ .
Khi đó
$S_{A B C} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{21 (21 - 13) (21 - 14) (21 - 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ .

Vận dụng 3

Dạng bài: Giải bài toán thực tế, tính diện tích

Công viên Hoà Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như Hình 3.17. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên Hoà Bình.

Hình/bảng: Hình 3.17: Sơ đồ công viên Hoà Bình dạng ngũ giác ABCDE với các độ dài cạnh: AB=441m, BC=256m, CD=217m, DE=538m, EA=575m. Các đường chéo AC=476m, AD=401m.

Bài tập

3.5

Dạng bài: Tính cosin góc, diện tích, bán kính đường tròn nội tiếp

Cho tam giác ABC có $a = 6$ , $b = 5$ , $c = 8$ . Tính $\cos A$ , S, r.

3.6

Dạng bài: Giải tam giác, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

Cho tam giác ABC có $a = 10$ , $\hat{A} = 45^{\circ}$ , $\hat{B} = 70^{\circ}$ . Tính R, b, c.

3.7

Dạng bài: Giải tam giác, tính diện tích

Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết $\hat{A} = 15^{\circ}$ , $\hat{B} = 130^{\circ}$ , $c = 6$ .

3.8

Dạng bài: Giải bài toán thực tế, tính khoảng cách và hướng

Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70°E với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.
a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Hình/bảng: Sơ đồ các hướng la bàn: N, S, E, W và các hướng Sa°W, Na°E, Na°W.

Hướng Sa°E là hướng tạo với hướng nam góc $α^{\circ}$ và tạo với hướng đông góc $90^{\circ} - α^{\circ}$ . Các hướng Sa°W, Na°E, Na°W cũng được định nghĩa một cách tương tự.

3.9

Dạng bài: Giải bài toán thực tế, tính góc và chiều cao

Trên nóc một toà nhà có một cột ăng-ten cao 5 m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là $50^{\circ}$ và $40^{\circ}$ so với phương nằm ngang (H.3.18).
a) Tính các góc của tam giác ABC.
b) Tính chiều cao của toà nhà.

Hình/bảng: Hình 3.18: Sơ đồ một toà nhà có cột ăng-ten. Vị trí quan sát A cách mặt đất 7m. Cột ăng-ten cao 5m. Góc nhìn từ A đến đỉnh B là 50 độ, đến chân C là 40 độ.

3.10

Dạng bài: Giải bài toán thực tế

Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Hình/bảng: Ảnh Đảo Yến, nhìn từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình.

3.11

Dạng bài: Giải bài toán thực tế, tính khoảng cách

Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

Hình/bảng: Hình 3.19: Sơ đồ đường đi vòng qua núi. Đường cũ là A-B-C-D với AB=12km, BC=6km, CD=8km. Các góc B=135 độ, C=105 độ.

Em có biết?

Heron (Heron of Alexandria) là một nhà phát minh, nhà toán học Hy Lạp, sống vào khoảng thế kỉ 1. Mặc dù cỗ máy với động cơ hơi nước đầu tiên trên thế giới ra đời ở thế kỉ XVIII – một sự kiện quan trọng góp phần tạo nên cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ nhất, nhưng chính Heron là người đầu tiên mô tả một mô hình đơn giản cho phép biến hơi nước thành chuyển động quay. Trong toán học, Heron mô tả cách tính diện tích của các đa giác đều từ 3 tới 12 cạnh, diện tích một số mặt và thể tích một số hình trong không gian.
(Theo https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Heron/)

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 38–43).