Bài 10. Vecto trong mặt phẳng toạ độ

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết toạ độ của vectơ và thể hiện các phép toán vectơ theo toạ độ.
Thể hiện mối quan hệ giữa các vectơ thông qua toạ độ của chúng.
Ứng dụng của toạ độ vectơ trong bài toán xác định vị trí của vật trên mặt phẳng toạ độ.

Thuật ngữ: Mặt phẳng toạ độ · Toạ độ của vecto

Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên một mặt phẳng toạ độ. Trong khoảng thời gian đó, tâm bão di chuyển thẳng đều từ vị trí có toạ độ (13,8; 108,3) đến vị trí có toạ độ (14,1; 106,3). Dựa vào thông tin trên, liệu ta có thể dự đoán được vị trí của tâm bão tại thời điểm bất ki trong khoảng thời gian 12 giờ đó hay không?

Trong bài học này, ta gắn cho mỗi vectơ trên mặt phẳng toạ độ một cặp số để có thể làm việc với vectơ thông qua cặp số đó.

1. Toạ độ của vecto

HĐ1

Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt $\overline{O A} = \overline{i}$ (H.4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số $- \frac{3}{2} .$ Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overline{O M},$ ON theo vecto i.

Dùng vectơ, ta có thể diễn đạt lại trục số như sau:

Trục toạ độ (còn gọi là trục, hay trục số) là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm O và một vectơ $\vec{i}$ có độ dài bằng 1. Điểm O gọi là gốc toạ độ, vectơ $\vec{i}$ gọi là vecto đơn vị của trục. Điểm M trên trục biểu diễn số $X_{0}$ nếu $\overline{O M} = x_{0} \vec{i}$ (H.4.32b).

HĐ2

Trong Hình 4.33:
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overline{O M},$ $\overline{O N}$ theo các vectơ $\vec{I},$ $\overline{j}$ .
b) Hãy biểu thị vectơ $\overline{M N}$ theo các vecto $\overline{O M}$ , $\overline{O N}$ , từ đó biểu thị vecto $\overline{M N}$ theo các vecto $\vec{i},$ $\vec{j}$ .

Hãy nhớ lại quy tắc hình bình hành và quy tắc hiệu.

Hình 4.33. Hệ trục tọa độ Oxy với các điểm M(3;5) và N(-2;5/2).

Trên mặt phẳng, xét hai trục Ox, Oy có chung gốc O và vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị của trục Ox là $\vec{i},$ vectơ đơn vị của trục Oy là $\vec{j}$ Hệ gồm hai trục Ox, Oy như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Oxy. Điểm O gọi là gốc toạ độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. Mặt phẳng chứa hệ trục toạ độ Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ Oxy hay mặt phẳng Oxy (H.4.34).

Với mỗi vectơ $\overline{U}$ trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số $(x_{0}; y_{0})$ sao cho $\vec{u} = x_{0} \vec{j} + y_{0} \vec{j}$ . Ta nói vectơ $\vec{u}$ có toạ độ $(x_{0}; y_{0})$ và viết $u = (x_{0}; y_{0})$ hay $u (x_{0}; y_{0})$ . Các số $x_{0}$ $y_{0}$ tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của u.

Nhận xét

Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng toạ độ.

$\overline{u} (x; y) = \overline{v} (x^{'}; y^{'}) \Leftrightarrow {\begin{cases} x = x^{'} \\ y = y^{'} . \end{cases}$

Ví dụ 1

Dạng bài: Tìm tọa độ vectơ đơn vị

Tìm toạ độ của các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}$ tương ứng của các trục Ox, Oy.

Lời giải

Giải
Vi $\vec{j} = \vec{i i} + 0 \vec{j}$ nên $\vec{i}$ có toạ độ là (1; 0).
Vij $\vec{j} = 0 \vec{i} + 1 \vec{j}$ nên $\vec{j}$ có toạ độ là (0; 1).

Luyện tập 1

Tim toạ độ của $\vec{0}$

2. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

HĐ3

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho $u = (2; - 3)$ , $v = (4; 1)$ , $a = (8; - 12)$ .
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ u, v, a theo các vectơ $\vec{i},$ j.
b) Tìm toạ độ của các vectơ $\overline{u} + \overline{V},$ $4 \overline{u} .$
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ u, a.

Cho hai vectơ $\overline{u} = (x; y)$ và $v = (x^{'}; y^{'})$ Khi đó:

$\overline{u} + \overline{v} = (x + x^{'}; y + y^{'})$
$\vec{u} - \vec{v} = (x - x^{'}; y - y^{'});$

$\vec{k u} = (k x; k y)$ với $k \in R .$

Ví dụ 2

Dạng bài: Tính toán và kiểm tra cùng phương của vectơ

Cho $\vec{a} = (1; 2), \vec{b} = (\frac{3}{2}; 3) .$
a) Tìm toạ độ của $\vec{a} + \vec{b}$ $\vec{a} - 2 \vec{b} .$
b) Hỏi $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có cùng phương hay không?

Lời giải

Giải
a) Vi $a = (1; 2),$ $\vec{b} = (\frac{3}{2}; 3)$ nên $\overline{a} + \overline{b} = (\frac{5}{2}; 5) .$
Ta có $2 \vec{b} = (3; 6)$ nên $\vec{a} - 2 \vec{b} = (- 2; - 4)$ .
b) Do $\frac{3}{2} \vec{a} = (\frac{3}{2}; 3) = \vec{b}$ nên hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

Nhận xét

Vectơ $v (x^{'}; y^{'})$ cùng phương với vectơ $\vec{u} (x; y) \neq \vec{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho $x^{'} = k x, y^{'} = k y$ (hay là $\frac{x^{'}}{x} = \frac{y^{'}}{y}$ nếu $x y \neq 0)$ .

HĐ4

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm $M (x_{\underline{0}}; y_{0})$ .
Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35).
a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biều thị $\overline{O P}$ theo $\vec{i}$ và tính độ dài của $\overline{O P}$ theo $x_{0} .$
b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị OQ theo và tỉnh độ dài của $\overline{O Q}$ theo $y_{0} .$
c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của $\overline{O M}$ theo $x_{0}$ $y_{0}$
d) Biểu thị $\overline{O M}$ theo các vecto $\vec{i},$ $\overline{j}$

Hình/bảng: Hình 4.35: Hệ trục tọa độ Oxy với điểm M(x0; y0) và các hình chiếu P, Q trên các trục.

Nếu điểm M có toạ độ $(x, y)$ thì vectơ $\overline{O M}$ có toạ độ $(x, y)$ và độ dài $∣ \overline{O M} ∣ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$

Nhận xét

Với vectơ $\vec{u} = (x; y)$ ta lấy điểm $M (x; y)$ thì $\overline{u} = \overline{O M}$ . Do đó, $∣ \overline{u} ∣ = ∣ \overline{O M} ∣ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ . Chẳng hạn, vectơ $\overline{u} = (2; - 1)$ có độ dài là $∣ \overline{μ} ∣ = \sqrt{2^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{5}$

HĐ5

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm $M (x; y)$ và $N (x^{'}; y^{'})$ .
a) Tìm toạ độ của các vectơ OM, $\overline{O N}$ .
b) Biểu thị vecto $\overline{M N}$ theo các vectơ $\overline{O M}$ , $\overline{O N}$ và tìm toạ độ của $\overline{M N}$ .
c) Tìm độ dài của vectơ $\overline{M N} .$

Với hai điểm $M (x; y)$ và $N (x^{'}; y^{'})$ thì $\overline{M N} = (x^{'} - x; y^{'} - y)$ và khoảng cách giữa hai điểm M, N là $M N = ∣ \overline{M N} ∣ = \sqrt{(x^{'} - x)^{2} + (y^{'} - y)^{2}} .$

Ví dụ 3

Dạng bài: Tính tọa độ vectơ, khoảng cách, kiểm tra thẳng hàng, tìm điểm để tạo hình thoi

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm $A (1; - 2)$ , $B (3; 2)$ , $C (7; 4) .$
a) Tìm toạ độ của các vectơ $\overline{A B}$ $\overline{B C}$ . So sánh các khoảng cách từ B tới A và C.
b) Ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?
c) Tìm điểm $D (x; y)$ đề ABCD là một hình thoi.

Hình/bảng: Hình 4.36: Hình thoi ABCD với các đỉnh A, B, C, D.

Lời giải

Giải
a) Ta có $\overline{A B} = (3 - 1; 2 - (- 2)) = (2; 4)$ $\overline{B C} = (7 - 3; 4 - 2) = (4; 2) .$
Các khoảng cách từ B tới A và C lần lượt là: $A B = ∣ \overline{A B} ∣ = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$ $B C = ∣ \overline{B C} ∣ = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{5}$
Do đó các khoảng cách này bằng nhau.
b) Hai vecto $\overline{A B} = (2; 4)$ $\overline{B C} = (4; 2)$ không cùng phương (vì $\frac{2}{4} \neq \frac{4}{2})$ Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thằng hàng.
c) Các điểm A, B, C không thẳng hàng và $B A = B C$ nên ABCD là một hình thoi khi và chỉ khi $\overline{A D} = \overline{B C}$ .
Do $\overline{A D} = (x - 1; y + 2)$ , $\overline{B C} = (4; 2)$ nên $\overline{A D} = \overline{B C} \Leftrightarrow {\begin{array}{c} x - 1 = 4 \\ y + 2 = 2 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{c} x = 5 \\ y + 0. \end{array}$
Vậy điểm cần tìm là D $D (5; 0) .$

Luyện tập 2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm $A (2; 1)$ , $B (3; 3)$ .
a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?
b) Tìm điểm $M (x; y)$ để OABM là một hình bình hành.

Ví dụ 4

Dạng bài: Tìm tọa độ trung điểm và trọng tâm

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng: $A (1; 3)$ , $B (- 2; 6)$ , $C (5; 1)$ .
a) Tìm toạ độ trung điểm / của đoạn thẳng AB.
b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Hình/bảng: Hình 4.37: Đoạn thẳng AB.

Lời giải

Giải
a) (H.4.37) Điểm $l (x; y)$ là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ (*).
Mặt khác $\vec{I A} = (1 - x; 3 - y)$ , $\vec{I B} = (- 2 - x; 6 - y)$ $\vec{I A} + \vec{I B} = (- 1 - 2 x; 9 - 2 y) .$
Do đó, (*) tương đương với ${\begin{cases} - 1 - 2 x = 0 \\ θ - 2 y = 0 \end{cases} {\begin{cases} x = - \frac{1}{2} \\ y = \frac{θ}{2} . \end{cases}$
vay $I (- \frac{1}{2}; \frac{9}{2}) .$
b) Điểm $G (x; y)$ là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0} (^{* *})$
Mặt khác
$\overline{G A} = (1 - x; 3 - y),$ $\overline{G B} = (- 2 - x; 6 - y),$ $\overline{G C} = (5 - x; 1 - y)$ ,
$\overline{G A} + \overline{G B} + \overline{G C} = (4 - 3 x; 10 - 3 y)$ .
Do đó, (**) tương đương với ${\begin{cases} 4 - 3 x = 0 \\ 10 - 3 y = 0 \end{cases} {\begin{cases} x = \frac{4}{3} \\ y = \frac{10}{3} . \end{cases}$
Vậy $G (\frac{4}{3}; \frac{10}{3}) .$

Chú ý

Trung điểm M của đoạn thẳng AB có toạ độ là $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}) .$

Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}) .$

Vận dụng

Dạng bài: Xác định vị trí tâm bão

Từ thông tin dự báo bão được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định toạ độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.

Chú ý

Để thể hiện một phần Trái Đất trên một bản đồ phẳng người ta dùng một phép chiếu bản đồ, với độ sai khác nhất định giữa bản vẽ và thực địa (thường được quy định với từng loại bản đồ). Về nguyên tắc, phạm vi thể hiện càng hẹp thì càng chính xác. Trong vận dụng này, ta chỉ tính toán trong phạm vi một đoạn đường đi ngắn của tâm bão.

Trong 12 giờ, tâm bão được dự báo di chuyển thẳng đều từ A(13,8; 108,3) tới vị trí có toạ độ B(14,1; 106,3). Gọi toạ độ của M là (x; y). Bạn hãy tìm mối liên hệ giữa hai vecto $\overline{A M}$ và $\overline{A B}$ rồi thể hiện mối quan hệ đó theo toạ độ để tìm x, y.

Bài tập

4.16

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm $M (1; 3)$ , $N (4; 2)$ .
a) Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.
b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

4.17

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các vectơ $\vec{a} = 3 \vec{i} - 2 \vec{j}$ , $\overline{b} = (4; - 1)$ và các điểm $M (- 3; 6)$ , $N (3; - 3)$
a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\overline{M N}$ và $2 \vec{a} - \vec{b} .$
b) Các điểm O, M, N có thằng hàng hay không?
c) Tìm điểm $P (x; y)$ đề OMNP là một hình bình hành.

4.18

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm $A (1; 3)$ , $B (2; 4),$ $C (- 3; 2)$ .
a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tìm điểm $D (x; y)$ đề $O (0; 0)$ là trọng tâm của tam giác ABD.

4.19

Sự chuyển động của một tàu thuỷ được thể hiện trên một mặt phẳng toạ độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí $A (1; 2)$ chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $v = (3; 4)$ Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng toạ độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

4.20

Trong Hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có toạ độ (1; 2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Hình/bảng: Hình 4.38: Bàn cờ vua với quân mã ở vị trí (1;2).

Bạn có thể tìm hiểu để biết quy tắc đi của quân mã.

Giải

a) (H.4.37) Điểm $I (x; y)$ là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ (*).

Mặt khác $\vec{I A} = (1 - x; 3 - y)$ , $\vec{I B} = (- 2 - x; 6 - y)$ , $\vec{I A} + \vec{I B} = (- 1 - 2 x; 9 - 2 y)$ .

Do đó, (*) tương đương với ${\begin{cases} - 1 - 2 x = 0 9 - 2 y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = - \frac{1}{2} \\ y = \frac{9}{2} \end{cases}$ .

Vậy $I (- \frac{1}{2}; \frac{9}{2})$ .

b) Điểm G(x; y) là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ (**)

Mặt khác

$\vec{G A} = (1 - x; 3 - y)$ , $\vec{G B} = (- 2 - x; 6 - y)$ , $\vec{G C} = (5 - x; 1 - y)$ ,

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = (4 - 3 x; 10 - 3 y)$ .

Do đó, (**) tương đương với ${\begin{cases} 4 - 3 x = 0 10 - 3 y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = \frac{4}{3} \\ y = \frac{10}{3} \end{cases}$ .

Vậy $G (\frac{4}{3}; \frac{10}{3})$ .

Chú ý

Trung điểm M của đoạn thẳng AB có toạ độ là $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ .

Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$ .

Hình 4.37. Line segment AB with point I in the middle. A is on the left, B on the right.

A robot character.

4.17

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các vectơ $\vec{a} = (3; - 2)$ , $\vec{b} = (4; - 1)$ và các điểm M(-3;6), N(3;-3).
a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\vec{M N}$ và $2 \vec{a} - \vec{b}$ .
b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?
c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Hình 4.38. A chessboard with a knight piece at coordinates (1,2). A speech bubble says: "Bạn có thể tìm hiểu để biết quy tắc đi của quân mã."

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 60–65).