Bài 9. Tích của một vectơ với một số

Yêu cầu cần đạt

Thực hiện phép nhân vectơ với một số.
Mô tả các mối quan hệ cùng phương, cùng hướng bằng vecto.

Thuật ngữ: Tích của vectơ với một số · Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Với mỗi cặp vật đặt trên hai đầu của một cánh tay đòn AB, luôn có duy nhất một điềm M thuộc AB để nếu đặt trụ đỡ tại M thì cánh tay đòn ở trạng thái cân bằng (H.4.20). Điều trên còn đúng trong những trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn, cánh tay đòn được thay bởi một tấm ván hình đa giác n đỉnh $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n^{'}}$ tại mỗi đỉnh $A_{i}$ có đặt một vật nặng $m_{i}$ (kg). Ở đây, ta coi cánh tay đòn, tấm ván là không có trọng lượng. Trong Vật lí, điểm M như trên được gọi là điểm khối tâm của hệ chất điểm $A_{1}$ , $A_{2}, . . ., A_{n}$ ứng với các khối lượng $m_{1}$ , $m_{2} .$ .... $m_{n}$ (kg).

Qua bài học này, ta sẽ thấy Hình học cho phép xác định vị trí khối tâm của một hệ chất điểm.

Hình 4.20. Hình ảnh một cánh tay đòn AB với điểm M là điểm cân bằng.

HĐ1

Cho vecto $\overline{A B} = \overline{a}$ . Hãy xác định điểm C sao cho $\overline{B C} = \overline{a} .$
a) Tìm mối quan hệ giữa $\overline{A B}$ và $a + a .$
b) Vecto $\overline{a} + \overline{a}$ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vectơ a?

Tích của một vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ với một số thực $k > 0$ là một vectơ, kí hiệu là ka, cùng hướng với vectơ a và có độ dài bằng ka

1

$\vec{a}$ và $\vec{a}$ có bằng nhau hay không?

HĐ2

Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số 0; 1; $\sqrt{2};$ $- \sqrt{2}$ . Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vectơ ${\vec{O M}}_{1}$ $\vec{O N}$ với vecto $\vec{a} = \vec{O A}$ . Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vectơ $\vec{O M}$ và $\vec{O A}$ .

Hình/bảng: Hình 4.22: Trục số với các điểm O, A, M, N tương ứng với các số 0, 1, sqrt(2), -sqrt(2).

Mối quan hệ giữa $\overline{O N}$ và $\overline{O A}$ được thể hiện bời đẳng thức nào?

Tích của một vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ với một số thực $k \leq 0$ là một vectơ, kí hiệu là $\vec{k a}$ ngược hướng với vectơ a và có độ dài bằng $(- k) ∣ \vec{a} ∣$

Chú ý

Ta quy ước $k \vec{a} = \vec{0}$ nếu $\vec{a} = \vec{0}$ hoặc $k = 0$ .

Trong Hình 4.24, hai trung tuyến AM và BN của tam giác ABC cắt nhau tại G.

Ta có $\overline{G A} = - 2 \overline{G M},$ $\overline{M N} = - \frac{1}{2} \overline{A B} .$

Nhận xét

Vectơ kể có độ dài bằng $∣ k ∣ ∣ \vec{a} ∣$ và cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k \geq 0$ , ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $a \neq 0$ và $k < 0,$ .

Phép lấy tích của vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một số (hay phép nhân một số với vecto).

$- \vec{a}$ và $(- 1) \vec{a}$ có mối quan hệ gì?

Ví dụ 1

Dạng bài: Chứng minh hai vectơ cùng phương

Chứng minh rằng hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ $(\vec{b} \neq \vec{0})$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để $\vec{a} = k \vec{b} .$

Lời giải

Giải
Thật vậy, nếu $\vec{a} = k \vec{b}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương. Ngược lại, giả sử $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.
Ta lấy $k = \frac{∣ \vec{a} ∣}{∣ \vec{b} ∣}$ nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng và lấy k = $- \frac{∣ \vec{a} ∣}{∣ \vec{b} ∣}$ nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.
Khi đó $\vec{a} = k \vec{b}$ .

Luyện tập 1

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t đề $\vec{A M} = t \vec{A B} .$
b) Với điểm M bất ki, ta luôn có $\overline{A M} = \frac{A M}{A B} \overline{A B}$ .
c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số $t \leq 0$ đề $\vec{A M} = t \vec{A B}$ .

Hình/bảng: Hình 4.25: Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số

HĐ3

Với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Hai vectơ $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $∣ k t ∣ ∣ \vec{u} ∣$
b) Nếu $k t \geq 0$ thì cả hai vectơ $k (\vec{t u})$ $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u} .$
c) Nếu $k t < 0$ thì cả hai vectơ $k (\vec{t u}),$ $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$
d) Hai vectơ $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ bằng nhau.

HĐ4

Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ $3 (\vec{u} + \vec{v})$ và $3 \vec{u} + 3 \vec{v}$ $v_{j}$
Từ đó, nêu mối quan hệ giữa $3 (\vec{u} + \vec{v})$ và $3 \vec{u} + 3 \vec{v}$ .

Hình/bảng: Hình 4.26: Minh họa các vectơ u, v, u+v, 3(u+v), 3u, 3v, 3u+3v trên lưới ô vuông.

Với hai vectơ $\vec{a_{i}}$ $\vec{b}$ và hai số thực k, t, ta luôn có:

$k (t \vec{a}) = (k t) \vec{a};$

$k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}; k (\vec{a} - \vec{b}) = k \vec{a} - k \vec{b};$

$(k + t) a = k a + t a;$
1 $∣ \vec{a} = \vec{a}; (- 1) \vec{a} = - \vec{a}$

Ví dụ 2

Dạng bài: Chứng minh đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm

Cho đoạn thẳng AB có trung điềm /. Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có $\vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O I} .$

Lời giải

Giải
Vi / là trung điểm của AB nên $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ (Ví dụ 3a, Bài 8).
Do đó $\overline{O A} + \overline{O B} = (\overline{O I} + \overline{I \overline{A}}) + (\overline{O I} + \overline{I B}) = 2 \overline{O I} + (\overline{I} \overline{A} + \overline{I B}) = 2 \overline{O I} .$

Luyện tập 2

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} .$

Nhận xét

Điểm / là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overline{I A} + \overline{I B} = \overline{0}$
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0} .$

Luyện tập 3

Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto $\vec{u}$ $\vec{v}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ , tức là tìm các số x, y, z, t đề $\vec{u} = x \vec{a} + y \vec{b},$ $\vec{v} = t \vec{a} + z \vec{b} .$

Hình/bảng: Hình 4.27: Minh họa các vectơ u, v, a, b trên lưới ô vuông.

Chú ý

Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a},$ $\vec{b}$ (H.4.28). Khi đó, mọi vectơ $\vec{u}$ đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ , nghĩa là có duy nhất cặp số $(x; y)$ sao cho $\vec{u} = x \vec{a} + y \vec{b}$

Ví dụ 3

Dạng bài: Xác định vị trí điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ

Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M để $\vec{M A} + 3 \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} .$

Hình/bảng: Hình 4.29: Tam giác ABC với điểm M, E, F được đánh dấu.

Lời giải

Giải (H.4.29)
Để xác định vị trí của M, trước hết ta biểu thị $\vec{A M}$ (với gốc A đã biết) theo hai vectơ đã biết $\overline{A B},$ $\vec{A C}$ .
Đẳng thức vectơ đã cho tương đương với: $\vec{M A} + 3 (\vec{M A} + \vec{A B}) + 2 (\vec{M A} + \vec{A C}) = \vec{0}$
$\Leftrightarrow 6 \vec{M A} + 3 \vec{A B} + 2 \vec{A C} = \vec{0} \Leftrightarrow \overline{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} .$
Lấy điểm E là trung điểm của AB và điểm F thuộc cạnh AC sao cho $A F = \frac{1}{3} A C$
Khi đó $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ và $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ . Vì vậy $\vec{A M} = \vec{A E} + \vec{A F}$
Suy ra M là đỉnh thứ tư của hình bình hành EAFM.
Ta trở lại vẫn đề đã được nêu trong phần đầu bài học. Điềm khối tâm M của hệ các chất điểm $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n}$ với các khối lượng tương ứng $m_{1}, m_{2}, . . ., m_{n}$ được xác định bởi đẳng thức vectơ
$m_{1} \vec{M A_{1}} + m_{2} \vec{M A_{2}} + \cdot \cdot \cdot + m_{n} \vec{M A_{n}} = \vec{0}$ .
Vì vậy, việc xác định điểm khối tâm được quy về việc xác định điểm thoả mãn đằng thức vectơ tương ứng.

Bài tập

4.11

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị $\vec{A M}$ theo hai vectơ $\overline{A B}$ và $\vec{A D}$ .

4.12

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng $\overline{B C} + \overline{A D} = 2 \overline{M N} = \overline{A C} + \overline{B D} .$

4.13

Cho hai điểm phân biệt A và B.
a) Hãy xác định điểm K sao cho $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0} .$
b) Chứng minh rằng với mọi điềm O, ta có $\vec{O K} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} .$

4.14

Cho tam giác ABC.
a) Hãy xác định điểm M để $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} .$
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = 4 \vec{O M} .$

4.15

Chất điểm A chịu tác động của ba lực ${\vec{F}}_{1}$ ${\vec{F}}_{2}$ ${\vec{F}}_{3}$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là ${\vec{F}}_{1} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0})$ . Tính độ lớn của các lực ${\vec{F}}_{2},$ ${\vec{F}}_{3}$ biết ${\vec{F}}_{1}$ có độ lớn là 20 Ν.

Hình/bảng: Hình 4.30: Ba lực F1, F2, F3 tác động lên điểm A. F1 hướng ngang sang phải, F2 hướng lên trên tạo góc 120 độ với F1, F3 hướng xuống dưới.

Em có biết?

Mặc dù dựa vào lực đầy của gió, bằng cách đi theo đường dích dắc, thuyền buồm vẫn có thể di chuyển tới một vị trí ở ngược hướng gió so với vị trí xuất phát.

Ta hãy dùng kiến thức về vectơ để phân tích các lực chính tác động tới sự chuyển động của thuyền buồm trong trường hợp này. Lực $\overline{F}$ do gió tác động vào cánh buồm được phân tích thành lực p cùng phương với cánh buồm và lực $\vec{q}$ vuông góc với cánh buồm. Do cánh buồm mỏng nên lực $\overline{p}$ chỉ trượt đi mà không tác động lên cánh buồm. Ta lại phân tích lực q thành lực a cùng phương với sống thuyền và lực $\vec{b}$ có phương vuông góc với sống thuyền. Thuyền buồm có sống thuyền sâu (mũi nhọn) nên nó chịu một lực cản $\vec{b^{'}}$ đáng kể của nước, vuông góc với sống thuyền. Người ta điều chỉnh hướng thuyền (hướng sống thuyền), phương của cánh buồm để lực cản $\vec{b^{'}}$ của nước (lực này không phụ thuộc vào sự điều chỉnh) thắng lực b (có thể điều chỉnh độ lớn). Cuối cùng. dưới tác động của lực a thuyền di chuyển và sau một khoảng thời gian, nó lại được điều chỉnh hướng, để đi đến đích theo đường dích dắc.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 55–59).