Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

CHƯƠNG III
HỆ THỨC LƯỢNG
TRONG TAM GIÁC

Lượng giác được phát triển từ nhu cầu tính toán góc và khoảng cách trong rất nhiều lĩnh vực như thiên văn học, lập bản đồ, bản vẽ thiết kế, khảo sát và tìm tầm bắn của pháo binh. Ở lớp 9, em đã biết tỉ số lượng giác của một góc nhọn. Chương này mở rộng khái niệm đó cho một góc bất kì từ $0^{\circ }$ đến ${180}^{\circ }$.

Bài 5

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
CỦA MỘT GÓC TỪ $0^{\circ }$ ĐẾN ${180}^{\circ }$

\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{THUẬT NGỮ} & \text{KIẾN THỨC, KĨ NĂNG} \\
\hline
\text{. Giá trị lượng giác} & \text{Nhận biết giá trị lượng giác của một góc từ } 0^{\circ} \text{ đến } 180^{\circ}. \\
\text{của một góc} & \text{Giải thích hệ thức liên hệ giữa các giá trị lượng giác của} \\
\text{Hai góc bù nhau} & \text{hai góc phụ nhau, bù nhau.} \\
& \text{Sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác} \\
& \text{của một góc.} \\
& \text{Vận dụng giải một số bài toán có nội dung thực tiễn.} \\
\hline
\end{array}

Bạn đã biết tỉ số lượng giác của một góc nhọn. Đối với góc tù thì sao?

Ở lớp 9, em đã biết tỉ số lượng giác của một góc nhọn. Chương này mở rộng khái niệm đó cho một góc bất kì từ $0^{\circ }$ đến ${180}^{\circ }$.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính $R=1$ nằm phía trên trục hoành (H.3.2) được gọi là nửa đường tròn đơn vị.
Cho trước một góc $\alpha$, $0^{\circ }\le \alpha \le {180}^{\circ }$. Khi đó, có duy nhất điểm $M(x_0;y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị nói trên để $\widehat{XOM}=\alpha$.

Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn cho một góc bất kì từ $0^{\circ }$ đến ${180}^{\circ }$, ta có định nghĩa sau:

Sau đây là bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt mà em nên nhớ.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\alpha & 0^{\circ} & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} & 90^{\circ} & 180^{\circ} \\
\hline
GTLG & & & & & & \\
\hline
$\sin \alpha$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & 1 & 0 \\
\hline
$\cos \alpha$ & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 & -1 \\
\hline
$\tan \alpha$ & 0 & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & || & 0 \\
\hline
$\cot \alpha$ & || & $\sqrt{3}$ & 1 & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & || & || \\
\hline
\end{array}

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính (dùng hoặc gần đúng) các giá trị lượng giác của một góc và tính góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó.

Chẳng hạn, với một loại máy tính cầm tay, sau khi mở máy ta bấm phím $\boxed{{\displaystyle \text{SHIFT}}}\boxed{{\displaystyle \text{MODE (SETUP)}}}$ rồi bấm phím $\boxed{{\displaystyle \text{3}}}$ để chọn đơn vị đo góc là "Độ". Sau đó tính giá trị lượng giác của góc hoặc tính góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó.

\begin{array}{|l|l|l|}
\hline
Tính & Bấm phím & Kết quả \\
\hline
$\sin {48}^{\circ }{50}^{\mathrm{\prime }}{40}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ & $\boxed{{\displaystyle \sin }}\boxed{{\displaystyle 4}}\boxed{{\displaystyle 8}}\boxed{{\displaystyle {\circ }^{\mathrm{\prime }}}}\boxed{{\displaystyle 5}}\boxed{{\displaystyle 0}}\boxed{{\displaystyle {\circ }^{\mathrm{\prime }}}}\boxed{{\displaystyle 4}}\boxed{{\displaystyle 0}}\boxed{{\displaystyle {\circ }^{\mathrm{\prime }}}}\boxed{{\displaystyle =}}$ & $\sin {48}^{\circ }{50}^{\mathrm{\prime }}{40}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\approx 0,752956291$ \\
\hline
$\cos {112}^{\circ }{12}^{\mathrm{\prime }}{45}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ & $\boxed{{\displaystyle \cos }}\boxed{{\displaystyle 1}}\boxed{{\displaystyle 1}}\boxed{{\displaystyle 2}}\boxed{{\displaystyle {\circ }^{\mathrm{\prime }}}}\boxed{{\displaystyle 1}}\boxed{{\displaystyle 2}}\boxed{{\displaystyle {\circ }^{\mathrm{\prime }}}}\boxed{{\displaystyle 4}}\boxed{{\displaystyle 5}}\boxed{{\displaystyle {\circ }^{\mathrm{\prime }}}}\boxed{{\displaystyle =}}$ & $\cos {112}^{\circ }{12}^{\mathrm{\prime }}{45}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\approx -0,3780427715$ \\
\hline
$\tan {15}^{\circ }$ & $\boxed{{\displaystyle \tan }}\boxed{{\displaystyle 1}}\boxed{{\displaystyle 5}}\boxed{{\displaystyle =}}$ & $\tan {15}^{\circ }=2-\sqrt{3}$ \\
\hline
\end{array}

\begin{array}{|l|l|l|}
\hline
Tìm $x$, biết & Bấm phím & Kết quả \\
\hline
$\sin x=0,3456$ & $\boxed{{\displaystyle \text{SHIFT}}}\boxed{{\displaystyle \sin }}\boxed{{\displaystyle 0}}\boxed{{\displaystyle \mathrm{.}}}\boxed{{\displaystyle 3}}\boxed{{\displaystyle 4}}\boxed{{\displaystyle 5}}\boxed{{\displaystyle 6}}\boxed{{\displaystyle =}}$ & $x\approx {20}^{\circ }{13}^{\mathrm{\prime }}{7}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ \\
\hline
\end{array}

Ở lớp 9, em đã biết mối quan hệ giữa tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau. Trong mục này, em hãy tìm mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.

Đối với một góc $\alpha$ tuỳ ý ($0^{\circ }\le \alpha \le {180}^{\circ }$), gọi M, M' là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc bù nhau $\alpha$ và ${180}^{\circ }-\alpha$ ($\widehat{XOM}=\alpha$, $\widehat{XO{M}^{\mathrm{\prime }}}={180}^{\circ }-\alpha$) (H.3.5).

\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\alpha & 120^{\circ} & 135^{\circ} & 150^{\circ} \\
\hline
GTLG & & & \\
\hline
$\sin \alpha$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ \\
\hline
$\cos \alpha$ & $-\frac{1}{2}$ & $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ \\
\hline
$\tan \alpha$ & $-\sqrt{3}$ & -1 & $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ \\
\hline
$\cot \alpha$ & $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ & -1 & $-\sqrt{3}$ \\
\hline
\end{array}