Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ

Giải
Do $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}\mathrm{.}$
Vậy $\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{DB}\mathrm{\mid }=DB=\sqrt{2}\mathrm{.}$
Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}\mathrm{.}$
Do đó $\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}\mathrm{\mid }=AC=\sqrt{2}$.

Giải
Áp dụng quy tắc hiệu, ta có $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DC}\mathrm{.}$
Mặt khác $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}\mathrm{.}$

Giải
a) (H.4.15) Khi / là trung điểm của AB, thì hai vecto IA và IB có cùng độ dài và ngược hướng (H.4.15). Do đó, $\overline{IA}$ và IB đối nhau, suy ra $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$.
b) (H.4.16) Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc trung tuyến Al và $GA=2Gl$. Lấy điểm D đối xứng với G qua 1. Khi đó tứ giác GBDC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là một hình bình hành. Ta có $GA=2GI=GD\mathrm{.}$
Hai vectơ $\overline{GA}$ và $\overline{GD}$ có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai vectơ đối nhau, do đó $\overline{GA}+\overline{GD}=\bar{0}\mathrm{.}$
Trong hình bình hành GBDC, ta có $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GD}$.
Vậy $\overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC}=\overline{GA}+\overline{GD}=\vec{0}\mathrm{.}$

Giải
Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song $d_1$ $d_2$ (H.4.17). Giả sử tàu xuất phát từ $A\in d_1$ và bánh lái luôn được giữ đề tàu tạo với bờ góc a. Gọi $v_r$ và $\overline{v_n}$ lần lượt là vectơ vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi M, N là các điểm sao cho $\overrightarrow{V_r}=\overline{AM},$ $\overrightarrow{V_n}=\overrightarrow{MN}$.
Khi đó tàu chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là $\vec{V}=\overrightarrow{V_r}+\overrightarrow{V_n}=\overline{AM}+\overline{MN}=\overline{AN}\mathrm{.}$
Gọi B, C tương ứng là giao điểm của AN, AM với $d_2\mathrm{.}$ Tàu chuyền động thẳng từ A đến B với vectơ vận tốc thực tế $\overline{AN}$, do đó thời gian cần thiết đề tàu sang được bờ $d_2$ là $\frac{AB}{AN}=\frac{AC}{AM}$
Mặt khác, $AM=\mathrm{\mid }\overline{v_r}\mathrm{\mid }$ không đồi nên $\frac{AC}{AM}$ nhỏ nhất $⟺AC$ nhỏ nhất $\iff AC\perp d_2\iff AM\perp d_2$ .
Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta cần giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ.