Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ

Yêu cầu cần đạt

Tính góc, tích vô hướng của hai vectơ trong những trường hợp cụ thể.
Công thức toạ độ của tích vô hướng, tính chất của tích vô hướng.
Liên hệ khái niệm tích vô hướng với khái niệm công trong Vật lí.

Thuật ngữ: Góc giữa hai vectơ · Tích vô hướng của hai vectơ

Toán học cung cấp ngôn ngữ và công cụ cho nhiều ngành khoa học. Trong các bài học trước, ta đã dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng lực, vận tốc và dùng phép toán vectơ để tính hợp lực và tổng hợp vận tốc. Bài học này tiếp tục xây dựng khái niệm tích vô hướng giữa hai vectơ - đối tượng toán học còn được dùng để định nghĩa khái niệm công sinh bởi một lực trong Vật lí.

1. Góc giữa hai vecto

HĐ1

Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ . Hãy tìm số đo các góc giữa $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ , $\vec{D A}$ và $\vec{D B}$ .

Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$ . Từ một điểm A tuỳ ý, vẽ các vectơ $\vec{A B} = \vec{u}$ và $\vec{A C} = \vec{v}$ (H.4.40). Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ hay đơn giản là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , kí hiệu là $(\vec{u}, \vec{v})$ .

Chú ý

Quy ước rằng góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ $0^{\circ}$ đến $180^{\circ}$ .

Nếu $(\vec{u}, \vec{v}) = 90^{\circ}$ thì ta nói rằng $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ hoặc $\vec{v} ⊥ \vec{u}$ . Đặc biệt $\vec{0}$ được coi là vuông góc với mọi vectơ.

Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng $0^{\circ}$ , bằng $180^{\circ}$ ?

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC vuông tại A và $\hat{B} = 30^{\circ}$ . Tính $(\vec{A B}, \vec{A C})$ , $(\vec{C A}, \vec{C B})$ , $(\vec{A B}, \vec{B C})$ .

Lời giải

Giải (H.4.41)
Ta có: $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C} = 90^{\circ}$ , $(\vec{C A}, \vec{C B}) = \hat{A C B} = 60^{\circ}$ , $(\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{B D}, \vec{B C}) = \hat{D B C} = 150^{\circ}$ .

Luyện tập 1

Cho tam giác đều ABC. Tính $(\vec{A B}, \vec{B C})$ .

Hình 4.39. Triangle ABC with angles 80 degrees, 30 degrees, and a right angle. Point D is on the extension of BC.

Hình 4.40. Vectors u and v originating from point A, forming an angle BAC.

Hình 4.41. Right-angled triangle ABC at A, with angle B = 30 degrees. Line BD extends from B.

Trong Vật lí, nếu lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ M tới N, thì công A của lực $\vec{F}$ được tính theo công thức:

$A = ∣ \vec{F} ∣ \cdot ∣ \vec{M N} ∣ \cdot \cos (\vec{F}, \vec{M N})$ ,

trong đó $∣ \vec{F} ∣$ là độ lớn của lực $\vec{F}$ (theo đơn vị Newton);

$∣ \vec{M N} ∣$ là độ dài của vectơ $\vec{M N}$ (theo đơn vị mét);

$(\vec{F}, \vec{M N})$ là góc giữa hai vectơ $\vec{F}$ và $\vec{M N}$ .

Toán học gọi giá trị A (không kể đơn vị đo) trong biểu thức nói trên là tích vô hướng của hai vecto $\vec{F}$ và $\vec{M N}$ .

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là một số, kí hiệu là $\vec{u} \cdot \vec{v}$ , được xác định bởi công thức sau:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = ∣ \vec{u} ∣ \cdot ∣ \vec{v} ∣ \cdot \cos (\vec{u}, \vec{v})$ .

Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Chú ý

$\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

$\vec{u} \cdot \vec{u}$ còn được viết là ${\vec{u}}^{2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec{u}$ . Ta có ${\vec{u}}^{2} = ∣ \vec{u} ∣^{2}$ .

Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Khi nào thì $(\vec{u} - \vec{v})^{2} = {\vec{u}}^{2} - {\vec{v}}^{2}$ ?

Ví dụ 2

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau: $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ , $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ , $\vec{A B} \cdot \vec{B D}$ .

Lời giải

Giải. Vì $(\vec{A B}, \vec{A D}) = 90^{\circ}$ nên $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 0$ .
Hình vuông có cạnh bằng a nên có đường chéo bằng $a \sqrt{2}$ .
Mặt khác, $(\vec{A B}, \vec{A C}) = 45^{\circ}$ , $(\vec{A B}, \vec{B D}) = 135^{\circ}$ do đó
$\vec{A B} \cdot \vec{A C} = ∣ \vec{A B} ∣ \cdot ∣ \vec{A C} ∣ \cdot \cos 45^{\circ} = a \cdot a \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^{2}$ ;
$\vec{A B} \cdot \vec{B D} = ∣ \vec{A B} ∣ \cdot ∣ \vec{B D} ∣ \cdot \cos 135^{\circ} = a \cdot a \sqrt{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - a^{2}$ .

Luyện tập 2

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ theo a, b, c.

Hãy nhớ lại Định lí côsin.

Hình 4.42. A person pulling a box with force F, moving it from M to N.

Hình 4.43. Square ABCD.

3. Biểu thức toạ độ và tính chất của tích vô hướng

HĐ2

Cho hai vectơ cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (k x; k y)$ . Hãy kiểm tra công thức $\vec{u} \cdot \vec{v} = k (x^{2} + y^{2})$ theo từng trường hợp sau:
a) $\vec{u} = \vec{0}$ ;
b) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k \geq 0$ ;
c) $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $k < 0$ .

HĐ3

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'}) .$
a) Xác định toạ độ của các điểm A và B sao cho $\vec{O A} = \vec{u}$ , $\vec{O B} = \vec{v}$ .
b) Tính $A B^{2}$ , $O A^{2}$ , $O B^{2}$ theo toạ độ của A và B.
c) Tính $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ theo toạ độ của A, B.

Để ý rằng, theo Định lí côsin, ta có: $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2}$ .

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} = (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ được tính theo công thức:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x x^{'} + y y^{'}$ .

Nhận xét

Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $x x^{'} + y y^{'} = 0$ .

Bình phương vô hướng của $\vec{u} (x; y)$ là ${\vec{u}}^{2} = x^{2} + y^{2}$ .

Nếu $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $\vec{v} \neq \vec{0}$ thì $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{∣ \vec{u} ∣ \cdot ∣ \vec{v} ∣} = \frac{x x^{'} + y y^{'}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \cdot \sqrt{x^{' 2} + y^{' 2}}}$ .

Ví dụ 3

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau:
a) $\vec{u} = (2; - 3)$ và $\vec{v} = (5; 3)$ ;
b) Hai vectơ đơn vị $\vec{i}$ và $\vec{j}$ tương ứng của các trục Ox, Oy.

Lời giải

Giải
a) Ta có: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 5 + (- 3) \cdot 3 = 10 - 9 = 1$ .
b) Vì $\vec{i} = (1; 0)$ và $\vec{j} = (0; 1)$ nên $\vec{i} \cdot \vec{j} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ .

Luyện tập 3

Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (0; - 5)$ , $\vec{v} = (\sqrt{3}; 1)$ .

HĐ4

Cho ba vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1})$ , $\vec{v} = (x_{2}; y_{2})$ , $\vec{w} = (x_{3}; y_{3})$ .
a) Tính $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})$ , $\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ theo toạ độ của các vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ .
b) So sánh $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ .
c) So sánh $\vec{u} \cdot \vec{v}$ và $\vec{v} \cdot \vec{u}$ .

Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ bất kì và mọi số thực k, ta có:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (tính chất giao hoán);
$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng);
$(k \vec{u}) \cdot \vec{v} = k (\vec{u} \cdot \vec{v}) = \vec{u} \cdot (k \vec{v})$ .

Chú ý

Từ các tính chất trên, ta có thể chứng minh được:
$\vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{u} \cdot \vec{w}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ);
$(\vec{u} + \vec{v})^{2} = {\vec{u}}^{2} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\vec{v}}^{2}$ ; $(\vec{u} - \vec{v})^{2} = {\vec{u}}^{2} - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\vec{v}}^{2}$ ;
$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = {\vec{u}}^{2} - {\vec{v}}^{2}$ .

Ví dụ 4

(Ứng dụng của vectơ trong bài toán hình học)
Cho điểm M thay đổi trên đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác đều ABC cho trước. Chứng minh rằng $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}$ không đổi.

Lời giải

Giải
Cách 1 (Dùng toạ độ). Xét hệ trục toạ độ có gốc trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi toạ độ của các điểm là $A (x_{A}; y_{A})$ , $B (x_{B}; y_{B})$ , $C (x_{C}; y_{C})$ , $M (x; y)$ . Vì tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp $O (0; 0)$ đồng thời là trọng tâm của tam giác. Do đó $x_{A} + x_{B} + x_{C} = 0$ và $y_{A} + y_{B} + y_{C} = 0$ .
Vì $O M^{2} = O A^{2} = R^{2}$ nên $x^{2} + y^{2} = x_{A}^{2} + y_{A}^{2} = R^{2}$ .
Vậy $M A^{2} = (x - x_{A})^{2} + (y - y_{A})^{2} = (x^{2} + y^{2}) + (x_{A}^{2} + y_{A}^{2}) - 2 x x_{A} - 2 y y_{A} = 2 R^{2} - 2 x x_{A} - 2 y y_{A}$ .
Tương tự $M B^{2} = 2 R^{2} - 2 x x_{B} - 2 y y_{B}$ và $M C^{2} = 2 R^{2} - 2 x x_{C} - 2 y y_{C}$ .
Do đó $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 6 R^{2} - 2 x (x_{A} + x_{B} + x_{C}) - 2 y (y_{A} + y_{B} + y_{C}) = 6 R^{2}$ (không đổi).
Cách 2 (Dùng tích vô hướng). (H.4.44)
Vì tam giác ABC đều nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng tâm của tam giác. Vậy $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ .
Giả sử (O) có bán kính R. Ta có:
$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2}$
$= (\vec{M O} + \vec{O A})^{2} + (\vec{M O} + \vec{O B})^{2} + (\vec{M O} + \vec{O C})^{2}$
$= 3 M O^{2} + 2 \vec{M O} \cdot \vec{O A} + 2 \vec{M O} \cdot \vec{O B} + 2 \vec{M O} \cdot \vec{O C} + O A^{2} + O B^{2} + O C^{2}$
$= 3 M O^{2} + 2 \vec{M O} \cdot (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}) + 3 R^{2} = 3 R^{2} + 2 \vec{M O} \cdot \vec{0} + 3 R^{2} = 6 R^{2}$ .
Vậy $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}$ không đổi khi M thay đổi trên (O).

Hình 4.44. Triangle ABC inscribed in a circle with center O and radius R. Point M is on the circle.

Luyện tập 4

Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.
a) Chứng minh rằng $\vec{A H} \cdot \vec{B C} = 0$ và $\vec{B H} \cdot \vec{C A} = 0$ .
b) Tìm toạ độ của H.
c) Giải tam giác ABC.

Vận dụng

Một lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực $\vec{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần là $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ ( $\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ ).

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\vec{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

b) Giả sử các lực thành phần $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}}$ tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\vec{F}$ và lực $\vec{F_{1}}$ .

Bài tập

4.21

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\vec{a} = (- 3; 1)$ , $\vec{b} = (2; 6)$ ;
b) $\vec{a} = (3; 1)$ , $\vec{b} = (2; 4)$ ;
c) $\vec{a} = (- 2; 1)$ , $\vec{b} = (2; - \sqrt{2})$ .

4.22

Tìm điều kiện của $\vec{u}, \vec{v}$ để:
a) $∣ \vec{u} \cdot \vec{v} ∣ = ∣ \vec{u} ∣ \cdot ∣ \vec{v} ∣$ ;
b) $\vec{u} \cdot \vec{v} = - \vec{u} \cdot \vec{v}$ .

4.23

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1;2), B(-4;3). Gọi M(t;0) là một điểm thuộc trục hoành.
a) Tính $\vec{A M} \cdot \vec{B M}$ theo t.
b) Tìm t để $\hat{A M B} = 90^{\circ}$ .

4.24

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2).
a) Giải tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.

4.25

Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:
$S_{A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{∣ \vec{A B} ∣^{2} ∣ \vec{A C} ∣^{2} - (\vec{A B} \cdot \vec{A C})^{2}}$ .

4.26

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
$M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$ .

Hình 4.45. Triangle ABC with altitude AH.

Hình 4.46. Force F acting on an object, decomposed into F1 and F2.

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 66–70).