Bài 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Ví dụ 1

Cho $D=\{n\in \mathbb{N}\mathrm{\mid }\text{ n l}\grave{\text{a}}\text{ s}\acute{\stackrel{ˆ}{\text{o}}}\text{ nguy}\hat{\text{e}}\text{n t}\acute{\stackrel{ˆ}{\text{o}}}\text{, }5<n<20\}$.
a) Dùng kí hiệu $\in$, $\mathrm{\notin }$ để viết câu trả lời cho câu hỏi sau: Trong các số 5; 12; 17; 18, số nào thuộc tập D, số nào không thuộc tập D?
b) Viết tập hợp D bằng cách liệt kê các phần tử. Tập hợp D có bao nhiêu phần tử?

Ví dụ 2

Cho tập hợp $S=\{2;3;5\}$. Những tập hợp nào sau đây là tập con của S?
$S_1=\{3\}$;
$S_2=\{0;2\}$;
$S_3=\{3;5\}$.

Hình/bảng: Venn diagrams illustrating sets S, S1, S2, S3. S contains 2, 3, 5. S1 contains 3. S2 contains 0, 2. S3 contains 3, 5. S1 and S3 are shown inside S, while S2 is shown overlapping S but not fully contained.

Ví dụ 3

Cho hai tập hợp:
$C=\{n\in \mathbb{N}\mathrm{\mid }n\text{ l}\grave{\text{a}}\text{ bội chung của 2 v}\grave{\text{a}}\text{ 3; }n<30\}$;
$D=\{n\in \mathbb{N}\mathrm{\mid }n\text{ l}\grave{\text{a}}\text{ bội của 6; }n<30\}$.
Chứng minh $C=D$.

Ví dụ 4

Hãy xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) $3,274\in \mathbb{Q}$
b) $\sqrt{2}\in \mathbb{R}$
c) $\frac{3}{4}\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 5

Viết các tập hợp sau dưới dạng các khoảng, đoạn, nửa khoảng trong $\mathbb{R}$ rồi biểu diễn trên trục số: $C=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }2\le x\le 7\}$; $D=\{x\in \mathbb{R}\mathrm{\mid }x<2\}$.

Hình/bảng: Number lines showing the intervals [2,7] and (-infinity, 2).

Ví dụ 6

a) Cho hai tập hợp $C=\{4;7;27\}$ và $D=\{2;4;9;27;36\}$. Hãy xác định tập hợp $C\cap D$.
b) Cho hai tập hợp $E=[1;+\mathrm{\infty })$ và $F=(-\mathrm{\infty };3]$. Hãy xác định tập hợp $E\cap F$.

Hình/bảng: Number lines illustrating the intersection of $[1;+\infty)$ and $(-\infty;3]$ resulting in $[1;3]$.

Ví dụ 7

Cho hai tập hợp: $C=\{2;3;4;7\}$; $D=\{-1;2;3;4;6\}$.
Hãy xác định tập hợp $C\cup D$.

Hình/bảng: A Venn diagram showing the union of sets C and D. C contains 2, 4, 7, 3. D contains -1, 6, 2, 3, 4.

Ví dụ 8

Trở lại câu hỏi trong tình huống mở đầu. Gọi A là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 1, B là tập hợp những thành viên tham gia Chuyên đề 2.
Ta có: $A\cup B=$ {Nam; Hương; Chi; Tú; Bình; Ngân; Khánh; Hân; Hiền; Lam}.
Tập $A\cup B$ có 10 phần tử, tức là có 10 thành viên tham gia một hoặc hai chuyên đề.
Số thành viên vắng mặt trong cả hai chuyên đề là:
$12-10=2$ (thành viên).

Ví dụ 9

Cho các tập hợp: $D=\{-2;3;5;6\}$; $E=\{x\mathrm{\mid }x\text{ l}\grave{\text{a}}\text{ s}\acute{\stackrel{ˆ}{\text{o}}}\text{ nguy}\hat{\text{e}}\text{n t}\acute{\stackrel{ˆ}{\text{o}}}\text{ nhỏ hơn }10\}$;
$X=\{x\mathrm{\mid }x\text{ l}\grave{\text{a}}\text{ s}\acute{\stackrel{ˆ}{\text{o}}}\text{ nguy}\hat{\text{e}}\text{n dương nhỏ hơn }10\}$.
a) Tìm $D\setminus E$ và $E\setminus D$.
b) E có là tập con của X không? Hãy tìm phần bù của E trong X (nếu có).