Hoạt động thực hành trải nghiệm

Thực hành tính nguyên hàm và tính gần đúng tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân cho dạng bảng (tại một số mốc) hoặc cho bởi một đồ thị (mà ta không biết phương trình của nó) hoặc không có nguyên hàm dưới dạng hàm sơ cấp.

Khởi động phần mềm GeoGebra , chọn Complex Adaptive System (CAS) để thực hiện tính toán nguyên hàm và tích phân.

Để tính nguyên hàm của hàm số, ta dùng lệnh IntegralSymbolic (<hàm số>), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới.

Để tính gần đúng tích phân, ta dùng lệnh Nintegral (<hàm số, giá trị đầu, giá trị cuối>), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới.

Để tính tích phân ${\int }_a^{b}f(x)dx$ bằng định nghĩa, ta cần biết một nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$ trên đoạn [a; b]. Khi đó:

Tuy nhiên, nếu hàm số $f(x)$ không có nguyên hàm dưới dạng hàm sơ cấp, chẳng hạn, người ta biết rằng
$\int e^{x^2}dx;\int e^{-x^2}dx;\int \frac{\sin x}{x}dx;\int \frac{\cos x}{x}dx;\int \frac{e^x}{x}dx;\int \frac{1}{\sqrt{1-x^3}}dx;\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$
không phải là những hàm số sơ cấp, thì không thể dùng định nghĩa trên được. Tình huống tương tự xuất hiện khi $f(x)$ cho bởi một đồ thị mà ta không biết phương trình của nó. Khi đó, ta cần tính xấp xỉ ${\int }_a^{b}f(x)dx$ bằng các phương pháp số.

Phương pháp đơn giản nhất là phương pháp hình thang, có nội dung như sau:
Giả sử $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:

ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con $[x_0;x_1],[x_1;x_2],\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},[x_{n-1};x_n],$ mỗi đoạn có độ dài là $\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{n}$
Khi $f(x)$ là hàm liên tục và không âm trên đoạn [a; b], ta có:

Đánh giá sai số: Người ta chứng minh được rằng nếu $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ liên tục trên đoạn [a; b] thì sai số |E của phương pháp hình thang được đánh giá như sau:

Thuật toán: Để tính xấp xỉ ${\int }_a^{b}f(x)dx$ với độ chính xác không vượt quá số $ϵ$ cho trước, ta thực hiện lần lượt các bước sau:

Bước 1. Tính $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ và tìm $M=ma{x}_{x\in [a,b]}\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\mid }$
(hoặc đánh giá $ma{x}_{x\in [a,b]}\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\mid }\le M$ nếu việc tìm chính xác là khó).

Bước 2. Với sai số $ϵ$ cho trước, tìm số tự nhiên n (nhỏ nhất) sao cho
$\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }\le \frac{(b-a{)}^{3}M}{12n^2}<ϵ\mathrm{.}$

Bước 3. Chia đoạn [a; b] thành n đoạn con có độ dài bằng nhau và áp dụng công thức hình thang.

a) Ta có: $f(x)=e^{-x^2};f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x{e}^{-x^2};$
$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=4x^2{e}^{-x^2}-2e^{-x^2};f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=4x(3-2x^2)e^{-x^2};f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\mathrm{.}$
Ta có: $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=-2;$ $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\pm \sqrt{\frac{3}{2}})=\frac{4}{e\sqrt{e}};$ $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=\frac{2}{e}\mathrm{.}$
Do đó $M=ma{x}_{x\in [0;1]}\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)\mathrm{\mid }=2.$

b) Ta cần tìm n sao cho
$\frac{(1-0{)}^3\cdot 2}{12n^2}<0,01\iff \frac{1}{6n^2}<0,01\iff n>4.$
Do đó, ta chọn n = 5.
c) Chia đoạn [0; 1] thành 5 đoạn có độ dài bằng nhau là [0; 0,2], [0,2; 0,4], [0,4; 0,6], [0,6; 0,8], [0,8; 1].
Áp dụng công thức hình thang, ta có:
${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx\approx \frac{1-0}{10}[\frac{1}{e^0}+\frac{2}{e^{0.04}}+\frac{2}{e^{0.16}}+\frac{2}{e^{0.36}}+\frac{2}{e^{0.64}}+\frac{1}{e}]\approx 0,744.$

Tìm thể tích gần đúng của thân cây này.

Hướng dẫn.
Thể tích cần tính là $V={\int }_0^{480}S(x)dx,$ trong đó $S(x)$ là diện tích mặt cắt ngang tại vị trí cách đỉnh thân cây một khoảng x (cm). Sử dụng phương pháp hình thang để tính gần đúng tích phân này.

AutoCAD và GeoGebra là các phần mềm hỗ trợ vẽ hình 2D, 3D trên máy tính. AutoCAD được sử dụng nhiều trong vẽ thiết kế kiến trúc, kĩ thuật, GeoGebra được dùng nhiều trong giáo dục. Nền tảng toán học cho các phần mềm này là hình học trong mặt phẳng toạ độ (hình 2D) và hình học trong không gian toạ độ (hình 3D). Em hãy trải nghiệm với việc dùng phần mềm GeoGebra cho một số thiết kế 3D.

Tranh “Cầu thang bất khả” cho ta cảm giác rằng có mô hình cầu thang mà từng bước đưa ta lên cao, nhưng cuối cùng thì ta vẫn ở sàn nằm ngang đồng mức nơi xuất phát, đó là một điều không thể.

Hình ảnh "Tam giác Penrose" thể hiện một mô hình trong không gian mà có thể nhìn nó như được ghép từ ba hình hộp chữ nhật cùng kích thước (ứng với ba cạnh) đôi một vuông góc với nhau. Đó cũng là một mô hình không thể thực hiện được trong thực tế.

Nếu tìm trên mạng Internet từ khoá "impossible models", ta có thể bắt gặp nhiều hình ảnh cho các mô hình mà cũng như Cầu thang bất khả và Tam giác Penrose, chúng khả dĩ, hợp lí ở từng bộ phận, phạm vi hẹp, nhưng tổng thể thì không.

Cấu trúc Cầu thang bất khả (Impossible Straircse) là sáng tạo nghệ thuật của hoạ sĩ Thuỵ Điển Oscar Reutersvard từ nửa đầu thế kỉ XX. Sau này, nhà Vật lí – Toán học lớn Sir Roger Penrose cũng đưa ra ý tưởng này mà điển hình là “Tam giác Penrose” để nói lên nguyên lí bất khả trong nhận thức cái toàn bộ, rằng nhận thức, mặc dù mỗi ngày một tiến hoá, nhưng không bao giờ đạt đến chỗ biết hết, biết đầy đủ, biết tận cùng. (Theo: F. David Peat (2002), From Certainty to Uncertainty: The Story of Science and Ideas in the Twentieth Century, Joseph Henry Press)

Trong hoạt động trải nghiệm này, em hãy theo hướng dẫn sau, để vẽ tam giác Penrose bằng cách dựng các hình hộp chữ nhật và lựa chọn một góc nhìn thích hợp.

Bước 1. Mở phần mềm GeoGebra, vào mục Hiển thị và lần lượt lựa chọn các mục sau:
Hiển thị danh sách đối tượng, Vùng làm việc, Hiển thị dạng 3D, Khung nhập lệnh.

Bước 2. Trong Khung nhập lệnh, lần lượt sử dụng các đoạn lệnh sau:

Bước 3. Di chuyển con trỏ vào khoảng trắng trong khung Hiển thị danh sách đối tượng, sau đó nháy chuột phải, lựa chọn mục Các đối tượng phụ.

Bước 4. Di chuyển con trỏ vào mục Hình đa giác trong khung Hiển thị danh sách đối tượng, sau đó nháy chuột phải và lựa chọn mục Hiển thị đối tượng để ẩn 3 hình vuông đã dựng.

Làm tương tự Bước 4 cho đối tượng Đoạn thẳng và đối tượng Hình tứ giác để ẩn tất cả các đoạn thẳng và tứ giác.

Bước 5. Trong khung Hiển thị danh sách đối tượng, di chuyển con trỏ đến ô tròn màu trắng của mục Mat4, sau đó nháy chuột để hiển thị Mat4.

Tiếp tục nháy chuột chọn Mat4, di chuyển con trỏ đến biểu tượng Thiết lập màu và sự trong suốt để tô màu cho tứ giác (ở đây ta tô màu đỏ và kéo thanh trượt để ở độ đậm lớn nhất).

Làm tương tự Bước 5 cho các đối tượng:
Mat12 (ở đây ta tô màu đỏ);
Mat7, Mat11 (ở đây ta tô hai mặt này màu xanh da trời);
Mat2, q1 (ở đây ta tô hai mặt này màu xanh lá cây).

Bước 6. Di chuyển con trỏ vào khoảng trắng trong khung Vùng làm việc, chọn công cụ để chèn nút tạo góc nhìn thích hợp.

Sau đó nháy chuột vào khoảng trắng trong khung Vùng làm việc, cửa sổ mới được bật ra, điền tên tiêu đề, chẳng hạn “TamgiacPenrose và GeoGebra Scrip, chẳng hạn "setview diretion $[(-1,-1,-1){]}^m$.

Sau khi tạo nút xong, nháy chuột vào nút Tam giác Penrose vừa tạo sẽ thu được hình vẽ sau.

Từ một mảnh giấy hình chữ nhật ABCD, nếu dán hai mép AB và DC trùng nhau mà điểm A trùng điểm D, điểm B trùng điểm C thì ta được một hình có dạng mặt trụ, nhưng nếu dán hai mép AB và CD trùng nhau mà điểm A trùng điểm C, điểm B trùng điểm D thì ta sẽ được một hình có dạng gọi là mặt Mobius. Đối với mỗi mô hình có dạng mặt cầu, mặt trụ (hay nhiều mặt khác), ta có thể hình dung rõ rằng mỗi chúng có hai phía: trong và ngoài. Nhưng mô hình có dạng mặt Mobius không phân thành hai phía trong, ngoài như vậy.

Giả sử mảnh giấy hình chữ nhật nói trên có một mặt màu xanh và một mặt màu đỏ. Mặt trụ được tạo từ mảnh giấy đó có hai phía ứng với hai màu. Giả sử một con kiến đang bám ở phía này của mặt trụ, nếu không được phép leo qua mép mặt trụ, thì nó không thể bỏ sang phía còn lại của mặt trụ. Trong khi đó, đối với mặt Mobius tạo từ mảnh giấy đó, con kiến có thể

bò từ một vị trí ở phần giấy được tô màu đỏ sang bất kì vị trí nào ở phần giấy được tô màu xanh mà không cần leo qua mép của mặt Mobius.

Trong không gian toạ độ Oxyz, tập những điểm có toạ độ (x;y;z) được xác định bởi

(với u, v là các tham số thay đổi, thoả mãn $0\le u<2\pi$ và $-1\le v\le 1)$, là một mặt Mobius.

Ta có thể sử dụng phần mềm GeoGebra để vẽ mặt Mobius trên theo các bước sau:

Bước 1. Mở phần mềm GeoGebra, vào mục Phối cảnh Vẽ đồ hoạ 3D, chọn hiển thị hệ trục toạ độ, Show Plane.

Bước 2. Trong ô Nhập lệnh, nhập phương trình của mặt Mobius như sau:

Trên màn hình hiển thị hình vẽ:

Bước 3. Để đổi màu cho hình vẽ, chọn mặt cần đổi màu trong ô Nhập lệnh, nháy chuột phải và chọn Thiết lập. Trong mục Thiết lập, chọn mục Màu sắc: