Bài 14. Phương trình mặt phẳng

H01. Hình thành khái niệm vectơ pháp tuyến

H01. Hình thành khái niệm vectơ pháp tuyến
Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động
lên vật phản lực pháp tuyến $\vec{n}$, giá của vectơ $\vec{n}$ vuông góc
với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì
$\vec{n}$ có phương gì? (H.5.1)

HĐ2. Tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước

HĐ2. Tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước
Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\bar{u}=(a;b;c)$ và $v=(a^{\mathrm{\prime }};b^{\mathrm{\prime }};c^{\mathrm{\prime }})$
a) Vecto $\bar{n}=(b{c}^{\mathrm{\prime }}-b^{\mathrm{\prime }}c;c{a}^{\mathrm{\prime }}-c^{\mathrm{\prime }}a;a{b}^{\mathrm{\prime }}-a^{\mathrm{\prime }}b)$ có vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ hay không?
b) $\vec{n}=\vec{0}$ khi và chỉ khi $\vec{u}$ và $\vec{v}$ có mối quan hệ gì?

HĐ3. Hình thành khái niệm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

HĐ3. Hình thành khái niệm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u}$ $\vec{v}$ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc
song song với mặt phẳng (P).
a) Vecto [ , v có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của $u,$ $\vec{v}$
hay không?
b) Mặt phẳng (P) có nhận $[\vec{u},\vec{v}]$ làm một vectơ pháp tuyến hay không?

Vận dụng 1. Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực $\vec{F}$ để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực $\overline{M}$ được tính bởi công thức $\vec{M}=[\overline{OP},\vec{F}]$.

Vận dụng 1. Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác
động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một
vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác
động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực $\vec{F}$ để vặn con ốc ở
vị trí O (H.5.6) thì moment lực $\vec{M}$ được tính bởi công thức
$\vec{M}=[\overline{OP},\vec{F}]$.
Hình 5.6
a) Cho $\overrightarrow{OP}=(x;y;z)$, F = (a; b; c). Tính M.
b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động $\vec{F}$ trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang
$P^{\mathrm{\prime }}$ sao cho $\overrightarrow{O{P}^i}=2\overline{OP}$ thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều
gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

HĐ4. Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

HĐ4. Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ). Gọi $\tilde{n}=(A;B;C)$ là một vectơ pháp tuyến của
($\alpha$) và $M_0(x_0;y_0;z_0)$ là một điểm thuộc ($\alpha$)
.
a) Một điểm $M(x;y,z)$ thuộc ($\alpha$) khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{n}$ và $M_{0}M$ có mối quan hệ gì?
b) Điểm $M(x;y;z)$ thuộc ( ) khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn hệ thức nào?

HĐ3. Hình thành khái niệm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).
a) Vectơ $[\vec{u},\vec{v}]$ có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của $\vec{u}$, $\vec{v}$ hay không?
b) Mặt phẳng (P) có nhận $[\vec{u},\vec{v}]$ làm một vectơ pháp tuyến hay không?

Vận dụng 1

Dạng bài: Ứng dụng tích có hướng trong vật lí

Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực $\vec{F}$ để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực $\vec{M}$ được tính bởi công thức $\vec{M}=[\overrightarrow{OP},\vec{F}]$.
a) Cho $\overrightarrow{OP}=(x;y;z),\vec{F}=(a;b;c)$. Tính $\vec{M}$.
b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động $\vec{F}$ trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang $P^{\mathrm{\prime }}$ sao cho $\overrightarrow{O{P}^{\mathrm{\prime }}}=2\overrightarrow{OP}$ thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Hình/bảng: Hình 5.6: Minh họa lực $\vec{F}$ tác động vào mỏ lết tại điểm P để vặn ốc tại O.

HĐ4. Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha )$. Gọi $\vec{n}=(A;B;C)$ là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ và $M_0(x_0;y_0;z_0)$ là một điểm thuộc $(\alpha )$.
a) Một điểm $M(x;y,z)$ thuộc $(\alpha )$ khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{n}$ và $\overrightarrow{M_{0}M}$ có mối quan hệ gì?
b) Điểm $M(x;y;z)$ thuộc $(\alpha )$ khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn hệ thức nào?

HĐ5. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$.
Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của $(\alpha )$.

HĐ6. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$, $\vec{v}=(a^{\mathrm{\prime }};b^{\mathrm{\prime }};c^{\mathrm{\prime }})$.
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$.
b) Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$.

HĐ7. Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng:
$A(1;2;3)$, $B(-1;3;4)$, $C(2;-1;2)$.
a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Vận dụng 2

Dạng bài: Ứng dụng phương trình mặt phẳng trong bài toán thực tế

Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.
a) Xác định toạ độ của vị trí $M_1$, $M_2$, $M_3$ của vật tương ứng với các thời điểm $t=0,$ $t=\frac{\pi }{2}$, $t=\pi$.
b) Chứng minh rằng $M_1$, $M_2$, $M_3$ không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng $(M_1{M}_2{M}_3)$.
c) Vị trí $M(\cos t-\sin t;\cos t+\sin t;\cos t)$ có luôn thuộc mặt phẳng $(M_1{M}_2{M}_3)$ hay không?

HĐ8. Tìm điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:
$(\alpha ):Ax+By+Cz+D=0,$ $(\beta ):A^{\mathrm{\prime }}x+B^{\mathrm{\prime }}y+C^{\mathrm{\prime }}z+D^{\mathrm{\prime }}=0,$
với hai vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$, $\overrightarrow{n^{\mathrm{\prime }}}=(A^{\mathrm{\prime }};B^{\mathrm{\prime }};C^{\mathrm{\prime }})$ tương ứng.
a) Góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha )$, $(\beta )$ và góc giữa hai giá của $\vec{n}$, $\overrightarrow{n^{\mathrm{\prime }}}$ có mối quan hệ gì?
b) Hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng $\vec{n}$, $\overrightarrow{n^{\mathrm{\prime }}}$ có mối quan hệ gì?

Hình/bảng: Hình ảnh một robot đang suy nghĩ, bên cạnh là một ghi chú: "Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng bất kì tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó."

Vận dụng 3

Dạng bài: Ứng dụng phương trình mặt phẳng trong kiến trúc

(H.5.10) Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh $O(0;0;0)$, $A(2;0;0)$, $B(2;3;0)$; $C(0;2\sqrt{2};0)$. Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.
a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.
b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Hình/bảng: Hình 5.10: Minh họa một căn phòng với sàn và các bức tường.

HĐ9. Tìm điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
$(\alpha ):Ax+By+Cz+D=0,$
$(\beta ):A^{\mathrm{\prime }}x+B^{\mathrm{\prime }}y+C^{\mathrm{\prime }}z+D^{\mathrm{\prime }}=0$
với các vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$, $\overrightarrow{n^{\mathrm{\prime }}}=(A^{\mathrm{\prime }};B^{\mathrm{\prime }};C^{\mathrm{\prime }})$ tương ứng.
Nếu hai mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$ song song hoặc trùng nhau thì các vectơ pháp tuyến $\vec{n}$, $\overrightarrow{n^{\mathrm{\prime }}}$ có mối quan hệ gì?

Hình/bảng: Hình 5.11: Minh họa hai mặt phẳng song song và các vectơ pháp tuyến của chúng.

Vận dụng 4

Dạng bài: Ứng dụng phương trình mặt phẳng trong bài toán thực tế

Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

HĐ10. Thiết lập công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ và mặt phẳng $(P):Ax+By+Cz+D=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$. Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (H.5.13).
a) Giải thích vì sao tồn tại số k để $\overrightarrow{MN}=k\vec{n}\mathrm{.}$ Tính toạ độ của N theo k, toạ độ của M và các hệ số A, B, C, D.
b) Thay toạ độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo toạ độ của M và các hệ số A, B, C, D.
c) Từ $\mathrm{\mid }\overrightarrow{MN}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }$, hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo toạ độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Hình/bảng: Hình 5.13: Minh họa điểm M, mặt phẳng (P) và hình chiếu N của M trên (P), cùng với vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.

Vận dụng 5

Dạng bài: Ứng dụng khoảng cách trong bài toán thực tế

(H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là ${115}^{\circ }$. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm $C(1;2;4)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): $x+2y+2z+3=0$. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.)

Hình/bảng: Hình 5.14: Minh họa góc quan sát của camera chiếu xuống mặt phẳng, tạo thành một hình nón.