Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không…

Yêu cầu cần đạt

Nhận biết các phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng.
Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương.
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.
Nhận biết vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Vận dụng kiến thức về phương trình đường thẳng, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

Thuật ngữ: Vectơ chỉ phương của đường thẳng · Phương trình tham số của đường thẳng · Phương trình chính tắc của đường thẳng · Hai đường thẳng vuông góc với nhau · Hai đường thẳng song song với nhau · Hai đường thẳng trùng nhau · Hai đường thẳng chéo nhau · Hai đường thẳng cắt nhau

Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát đặt ở điểm $M (2; 3; - 4)$ và vật cần quan sát đặt tại điểm $N (- 1; 0; 8)$ . Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm $O (0; 0; 0)$ , bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phẳng Oxy. Hỏi tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N hay không?

1. Phương trình đường thẳng

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

HĐ1. Hình thành khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Trong không gian, cho điểm M và vectơ $\vec{u}$ khác vectơ-không. Khẳng định nào trong hai khẳng định sau là đúng?
a) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và vuông góc với giá của $\vec{u}$ .
b) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với giá của $\vec{u}$ .

Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $Δ$ .

Chú ý

Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương.
Nếu $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của $Δ$ thì $k \vec{u}$ (với k là một số khác 0) cũng là một vecto chỉ phương của $Δ$ .

Ví dụ 1

Dạng bài: Xác định vectơ chỉ phương

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng BC' mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Hình/bảng: Hình 5.24: Hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Lời giải

Giải (H.5.24)
Đường thẳng BC' nhận các vectơ $\vec{B C^{'}}$ , $\vec{C^{'} B}$ , $\vec{A D^{'}}$ , $\vec{D^{'} A}$ là các vectơ chỉ phương.

Luyện tập 1

Dạng bài: Xác định vectơ chỉ phương

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?

Hình/bảng: Hình 5.25: Hình lăng trụ ABC.A'B'C'.

b) Phương trình tham số của đường thẳng

HĐ2. Hình thành khái niệm phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc không đổi $\vec{u} = (a; b; c) \neq \vec{0}$ và xuất phát từ điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ (H.5.26).
a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?
b) Giả sử tại thời điểm t $(t > 0)$ tính từ khi xuất phát, vật thể ở vị trí $M (x; y; z)$ . Tính x, y, z theo a, b, c, $x_{0}$ , $y_{0}$ , $z_{0}$ và t.

Hình/bảng: Hình 5.26: Minh họa một vật thể chuyển động trên đường thẳng $\Delta$ với vectơ vận tốc $\vec{u}$ và xuất phát từ điểm A.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . Hệ phương trình:
${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$
được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ (t là tham số, $t \in R$ ).

Chú ý

Với các số a, b, c không đồng thời bằng 0, hệ phương trình ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t (t \in R) \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ xác định một đường thẳng đi qua $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ .
Từ phương trình tham số của đường thẳng, mỗi giá trị của tham số tương ứng với một điểm thuộc đường thẳng đó và ngược lại.

Ví dụ 2

Dạng bài: Xác định điểm và vectơ chỉ phương từ phương trình tham số; viết phương trình tham số

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : {\begin{cases} x = - 1 + 3 t \\ y = 1 \\ z = 2 t . \end{cases}$
a) Hãy chỉ ra một điểm thuộc $Δ$ và một vectơ chỉ phương của $Δ$ .
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ^{'}$ đi qua $A (2; 1; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (3; 0; 2)$ .

Lời giải

Giải
a) Do $Δ$ có phương trình ${\begin{cases} x = - 1 + 3 t \\ y = 1 + 0 t \\ z = 0 + 2 t \end{cases}$
nên điểm $M (- 1; 1; 0)$ thuộc $Δ$ và $\vec{u} (3; 0; 2)$ là một vectơ chỉ phương của $Δ$ .
b) Đường thẳng $Δ^{'}$ có phương trình tham số là ${\begin{cases} x = 2 + 3 s \\ y = 1 \\ z = 2 s . \end{cases}$

Luyện tập 2

Dạng bài: Xác định điểm và vectơ chỉ phương từ phương trình tham số; viết phương trình tham số

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : {\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 t \\ z = 1 + t . \end{cases}$
a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc $Δ$ và một vectơ chỉ phương của $Δ$ .
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc toạ độ $O (0; 0; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (1; 3; 1)$ .

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

HĐ3. Hình thành khái niệm phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ (a, b, c là các số khác 0).
a) Điểm $M (x; y, z)$ thuộc $Δ$ khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{A M} = (x - x_{0}; y - y_{0}; z - z_{0})$ và $\vec{u} = (a; b; c)$ có mối quan hệ gì?
b) Điểm $M (x; y, z)$ thuộc $Δ$ khi và chỉ khi các phân số $\frac{x - x_{0}}{a}, \frac{y - y_{0}}{b}, \frac{z - z_{0}}{c}$ có mối quan hệ gì?

Ví dụ 3

Dạng bài: Xác định điểm và vectơ chỉ phương từ phương trình chính tắc

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 2}{1}$
Hãy chỉ ra một điểm thuộc $Δ$ và một vectơ chỉ phương của $Δ$ .

Lời giải

Giải
Đường thẳng $Δ$ có phương trình $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 0}{3} = \frac{z - (- 2)}{1}$ nên điểm $A (1; 0; - 2)$ thuộc $Δ$ và $\vec{u} = (2; 3; 1)$ là một vectơ chỉ phương của $Δ$ .

Luyện tập 3

Dạng bài: Xác định điểm và vectơ chỉ phương từ phương trình chính tắc

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{5} .$ Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của $Δ$ và hai điểm thuộc $Δ$ .

Ví dụ 4

Dạng bài: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $M (1; - 2; 4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (3; - 5; 1)$ .

Lời giải

Giải
Đường thẳng $Δ$ có phương trình tham số là: ${\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = - 2 - 5 t \\ z = 4 + t \end{cases}$ và có phương trình chính tắc là:
$\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 5} = \frac{z - 4}{1} .$

Luyện tập 4

Dạng bài: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (2; - 1; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 1; 2; 3) .$

Ví dụ 5

Dạng bài: Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $M (- 1; 4; 5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(α) : 3 x + 2 y = 0$ .

Lời giải

Giải
Mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; 2; 0)$ . Giá của $\vec{n} = (3; 2; 0)$ và $Δ$ cùng vuông góc với $(α)$ nên chúng trùng nhau hoặc song song với nhau. Do đó $Δ$ nhận $\vec{n} = (3; 2; 0)$ làm một vectơ chỉ phương.
Vậy $Δ$ có phương trình tham số là: ${\begin{cases} x = - 1 + 3 t \\ y = 4 + 2 t \\ z = 5. \end{cases}$

Nhận xét

Đường thẳng $Δ$ trong Ví dụ 5 không có phương trình chính tắc.

Luyện tập 5

Dạng bài: Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $M (2; - 1; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng Oyz.

d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

HĐ4. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1}), A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ .
a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng $A_{1} A_{2}$ .
b) Viết phương trình đường thẳng $A_{1} A_{2}$ .

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ . Đường thẳng $A_{1} A_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{A_{1} A_{2}} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})$ .

Đường thẳng $A_{1} A_{2}$ có phương trình tham số là ${\begin{cases} x = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t \\ y = y_{1} + (y_{2} - y_{1}) t (t \in R) . \\ z = z_{1} + (z_{2} - z_{1}) t \end{cases}$
Trong trường hợp $x_{1} \neq x_{2}$ , $y_{1} \neq y_{2}$ , $z_{1} \neq z_{2}$ thì đường thẳng $A_{1} A_{2}$ có phương trình chính tắc là:

$\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}$

Ví dụ 6

Dạng bài: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm $A (1; 2; - 1)$ và $B (2; 4; 0)$ .

Lời giải

Giải
Đường thẳng AB đi qua $A (1; 2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{A B} = (1; 2; 1) .$ Do đó AB có phương trình chính tắc là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1}$ và có phương trình tham số là ${\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2 t \\ z = - 1 + t . \end{cases}$

Luyện tập 6

Dạng bài: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A (2; 1; 3)$ và $B (2; 4; 6)$ .

Vận dụng 1

Dạng bài: Ứng dụng phương trình đường thẳng trong bài toán thực tế

(H.5.27) Trong tình huống mở đầu hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN.
b) Tính toạ độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy.
c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm M và N hay không?

Hình/bảng: Hình 5.27: Minh họa một người quan sát tại M và vật tại N, với tấm bìa chắn đường truyền.

2. Hai đường thẳng vuông góc

HĐ5. Tìm điều kiện để hai đường thẳng vuông góc với nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ .
a) Hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ có mối quan hệ gì?
b) Tìm điều kiện đối với $\vec{u_{1}}$ , $\vec{u_{2}}$ để $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ vuông góc với nhau.

Hình/bảng: Hình 5.28: Minh họa hai đường thẳng $\Delta_1$, $\Delta_2$ và các vectơ chỉ phương $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó:
$Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{u_{1}} \cdot \vec{u_{2}} = 0 \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0$ .

Ví dụ 7

Dạng bài: Kiểm tra hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:
$Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 - 3 t \\ z = 2 - t \end{cases}, Δ_{2} : {\begin{cases} x = 2 + s \\ y = 1 - 2 s \\ z = 3 + 8 s . \end{cases}$

Lời giải

Giải
Các đường thẳng $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (2; - 3; - 1), \vec{u_{2}} = (1; - 2; 8) .$
Do $\vec{u_{1}} \cdot \vec{u_{2}} = 2 \cdot 1 + (- 3) \cdot (- 2) + (- 1) \cdot 8 = 0$ nên $Δ_{1} ⊥ Δ_{2}$ .

Luyện tập 7

Dạng bài: Kiểm tra đường thẳng vuông góc với trục tọa độ

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1} .$ Hỏi đường thẳng $Δ$ có vuông góc với trục Oz hay không?

Vận dụng 2

Dạng bài: Ứng dụng điều kiện vuông góc của đường thẳng trong bài toán thực tế

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng:
$Δ_{1} : {\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases}, Δ_{2} : {\begin{cases} x = 1 - 2 s \\ y = 2 s \\ z = 1. \end{cases}$
Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

HĐ6. Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ (H.5.29).
a) Tìm điều kiện đối với $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ để $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song hoặc trùng nhau.
b) Giả sử $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0}$ và $\vec{A_{1} A_{2}} \cdot [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0$ thì $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có cắt nhau hay không?
c) Giả sử $\vec{A_{1} A_{2}} \cdot [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq 0$ thì $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có chéo nhau hay không?

Hình/bảng: Hình 5.29: Minh họa hai đường thẳng $\Delta_1$, $\Delta_2$ và các điểm $A_1$, $A_2$ cùng các vectơ chỉ phương $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$.

$Δ_{1} ∥ ∥ Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \notin Δ_{2}$ .
$Δ_{1} \equiv Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \in Δ_{2}$ .
$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} \cdot [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0. \end{cases}$
$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \vec{A_{1} A_{2}} \cdot [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq 0$ .

Ví dụ 8

Dạng bài: Kiểm tra vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau và chéo nhau:
$Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \end{cases}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 4}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 1} .$
$z = - 1 + 2 t$

Lời giải

Giải
Đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua điểm $A_{1} (1; 2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; - 1; 2) .$
Đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua điểm $A_{2} (4; - 1; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (3; 1; - 1)$ .
Vì $\vec{u_{1}} \cdot \vec{u_{2}} = 1 \cdot 3 + (- 1) \cdot 1 + 2 \cdot (- 1) = 0$ nên $\vec{u_{1}}$ vuông góc với $\vec{u_{2}} .$ Do đó $Δ_{1}$ vuông góc với $Δ_{2}$ .
Ta có $\vec{A_{1} A_{2}} = (3; - 3; 1)$ và $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (- 1; 7; 4)$ .
Do $\vec{A_{1} A_{2}} \cdot [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 3 \cdot (- 1) + (- 3) \cdot 7 + 1 \cdot 4 = - 20 \neq 0$ nên $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau.

Luyện tập 8

Dạng bài: Kiểm tra hai đường thẳng song song

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:
$Δ_{1} : \frac{x - 3}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{3}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{3} .$

Ví dụ 9

Dạng bài: Kiểm tra hai đường thẳng cắt nhau

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau cắt nhau:
$Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 + 2 t \end{cases},$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = - 6 + s \\ y = 5 + 2 s \\ z = 5. \end{cases}$

Lời giải

Giải
Đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua $A_{1} (1; 2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (- 1; 1; 2)$ . Đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua $A_{2} (- 6; 5; 5)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (1; 1; 2) .$ Ta có $\vec{A_{1} A_{2}} = (- 7; 3; 6)$ và $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (0; 4; - 2)$ .
Do $\vec{A_{1} A_{2}} \cdot [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (- 7) \cdot 0 + 3 \cdot 4 + 6 \cdot (- 2) = 0$ và $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0}$ nên hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau.

Luyện tập 9

Dạng bài: Kiểm tra vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{4}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{4} .$ Chứng minh rằng:
a) Hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song với nhau;
b) Đường thẳng $Δ_{1}$ và trục Ox chéo nhau;
c) Đường thẳng $Δ_{2}$ trùng với đường thẳng $Δ_{3} : \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 4}{4};$
d) Đường thẳng $Δ_{2}$ cắt trục Oz.

Chú ý

Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta cũng có thể dựa vào các vectơ chỉ phương và phương trình của hai đường thẳng đó theo tiêu chuẩn sau đây.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ và có phương trình tham số:
$Δ_{1} : {\begin{cases} x = x_{1} + a_{1} t \\ y = y_{1} + b_{1} t \\ z = z_{1} + c_{1} t, \end{cases}$ $Δ_{2} : {\begin{cases} x = x_{2} + a_{2} s \\ y = y_{2} + b_{2} s \\ z = z_{2} + c_{2} s . \end{cases}$
Xét hệ phương trình hai ẩn t, s: ${\begin{cases} x_{1} + a_{1} t = x_{2} + a_{2} s \\ y_{1} + b_{1} t = y_{2} + b_{2} s \\ z_{1} + c_{1} t = z_{2} + c_{2} s \end{cases}$ (*).
Khi đó:

$Δ_{1} ∥ ∥ Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và hệ (*) vô nghiệm.
$Δ_{1} \equiv Δ_{2} \Leftrightarrow$ Hệ (*) có vô số nghiệm.
$Δ_{1}$ cắt $Δ_{2} \Leftrightarrow$ Hệ (*) có nghiệm duy nhất.
$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.

Luyện tập 10

Dạng bài: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
$Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + t \\ z = 1 - t \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = 1 + 2 s \\ y = 2 + s \\ z = 3 s . \end{cases}$

Vận dụng 3

Dạng bài: Ứng dụng vị trí tương đối của đường thẳng trong bài toán thực tế

(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ $A (1; 2; 0)$ và $B (3; 5; 0)$ với vận tốc không đổi tương ứng là $\vec{v_{1}} = (2; 1; 3)$ , $\vec{v_{2}} = (1; 2; 1)$ . Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?

Hình/bảng: Hình 5.30: Minh họa hai vật thể chuyển động trên hai đường thẳng.

Bài tập

5.11.

Dạng bài: Viết phương trình đường thẳng song song

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $Δ$ đi qua $A (1; 1; 2)$ và song song với đường thẳng $d : \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 5}{3} .$

5.12.

Dạng bài: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $Δ$ đi qua $A (2; - 1; 4)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P) : x + 3 y - z - 1 = 0$ .

5.13.

Dạng bài: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $Δ$ đi qua hai điểm $A (2; 3; - 1)$ và $B (1; - 2; 4)$ .

5.14.

Dạng bài: Kiểm tra vị trí tương đối và viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
$Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 - t \end{cases}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 8}{- 1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 2}{2} .$
$z = 2 + 3 t$
a) Chứng minh rằng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ .

5.15.

Dạng bài: Kiểm tra vị trí tương đối và viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
$Δ_{1} : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{2}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 1}{3} = \frac{x + 1}{1} = \frac{z}{2} .$
a) Chứng minh rằng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song với nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ .

5.16.

Dạng bài: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
$Δ_{1} : {\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = 1 \\ z = 3 + 2 t \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = - 1 + 2 s \\ y = 2 + s \\ z = 1 + 3 s . \end{cases}$

Vận dụng 3

(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể
lần lượt xuất phát từ $A (1; 2; 0)$ và $B (3; 5; 0)$ với vận tốc không
đổi tương ứng là $\vec{v_{1}} = (2; 1; 3)$ $\vec{v_{2}} = (1; 2; 1)$ . Hỏi trong quá trình
chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?

Hình/bảng: Hình 5.30: Hai điểm A và B trên một mặt phẳng, có đường thẳng nối chúng.

5.17

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên
thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường
đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương
trình:
$Δ_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 1}{3}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1} .$
a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau
hay không?
b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông
khác mức hay không?

Hình/bảng: Hình 5.31. Hình ảnh một nút giao thông khác mức, thể hiện hai con đường giao nhau ở các độ cao khác nhau.

5.18

Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm $A (1; 3; 4)$ và trong 3 giây,
đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là $\vec{v} = (2; 1; 6)$ . Hỏi viên đạn
trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?
a) Mục tiêu đặt tại điểm $M (7; \frac{7}{2}; 21) .$
b) Mục tiêu đặt tại điểm $N (- 3; 1; - 8)$ .

5.19

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột
thẳng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột
đặt tại vị trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới
ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất
cách chân cột 3 m về hướng $S 60^{\circ} E$ (hướng tạo với
hướng nam góc $60^{\circ}$ và tạo với hướng đông góc 30°)
(H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gốc toạ độ là O, tia Ox
chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa
cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình
đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột
tại thời điểm đang xét.

Hình/bảng: Hình 5.32: Hệ trục tọa độ Oxyz với tia Ox hướng Nam, Oy hướng Đông, Oz hướng lên. Một cột thẳng đứng trên O. Hướng $S60^{\circ}E$ được biểu diễn với góc $60^{\circ}$ so với trục Ox (Nam) và $30^{\circ}$ so với trục Oy (Đông).

Xem bản PDF nguyên trang sách: Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống (trang 41–49).